2.2.1不等式及其性質(zhì) 高一數(shù)學(xué)（人教B版2019必修第一冊）

2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)第2章

等式與不等式問題引入

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怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢？

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初中的時候，我們就已經(jīng)歸納了不等式的三個性質(zhì)：

嘗試與發(fā)現(xiàn)：你能利用前面的知識，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個性質(zhì)的證明嗎？新知探索

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充要充要充要

在不等式的證明與求解中，我們還經(jīng)常用到以下不等式的性質(zhì).

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另外，值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母.例題

例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握.新知探索

需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1的方法，其實質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.在證明不等式時，當(dāng)然也可以直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等.從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法.下面用綜合法來得出幾個常用的不等式性質(zhì)的推論.

推論1表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊.推論1通常稱為不等式的移向法則.

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很明顯，這個推論也可以推廣為更一般的結(jié)論：

幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向.

新知探索這個結(jié)論的證明只要多次使用推論3的結(jié)論即可.

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可以看出，推論5中證明方法的實質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法.嘗試與發(fā)現(xiàn)：證明推論5中不等式得方法具有什么特征？

例題

例題

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例題

練習(xí)題型一：用不等式(組表示不等關(guān)系)

練習(xí)方法技巧：1.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確條件中的不等關(guān)系的個數(shù)；(2)適當(dāng)設(shè)未知數(shù)表示變量；(3)用不等式表示每一個不等關(guān)系，并寫成不等式組的形式.2.用不等式表示不等關(guān)系的注意點(diǎn)(1)利用不等式表示不等關(guān)系時，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以比較大小的兩個量才可用，沒有可比性的兩個量之間不能用不等式來表示.(2)在用不等式表示實際問題時，一定要注意單位統(tǒng)一.練習(xí)

練習(xí)題型二：比較實數(shù)(式子)的大小

練習(xí)方法技巧：比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟：(1)作差.對要比較大小的兩個實數(shù)(或式子)作差；(2)變形.對差進(jìn)行變形；(3)判斷差的符號.結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)得出結(jié)論.上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵.在變形中，一般變得越徹底，越有利于下一步的判斷.其中變形的技巧較多，常見的有因式分解法、配方法、有理化法等.練習(xí)

練習(xí)

練習(xí)題型三：不等式性質(zhì)的大小應(yīng)用

角度(一)判斷命題的真假練習(xí)

角度(二)證明不等式練習(xí)

角度(三)求取值范圍練習(xí)方法技巧：利用不等式判斷正誤的2種方法：(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的，只需舉出一個反例即可.(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性.練習(xí)方法技巧：(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式，一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)及其推論，并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步證明，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.方法一(性質(zhì)法)簡單快捷，但