布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

第八章

布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

第一節(jié)證券價(jià)格的變化過程

一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對(duì)新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的。效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。

弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）來表述。隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過程，則其未來價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。二、布朗運(yùn)動(dòng)

（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足（6.1）：

（6.1）其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(2)特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，和的值相互獨(dú)立。

考察變量z在一段較長時(shí)間T中的變化情形，我們可得：

（6.2）當(dāng)

0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：（6.3）（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)

我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng)：（6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

三、伊藤過程

普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤過程（ItoProcess）：(6.5）

其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

四、證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為

的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得：（6.6）

從（6.6）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見，也具有正態(tài)分布特征(6.7)例6.1設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為每年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年20%，其目前的市價(jià)為100元，求一周后該股票價(jià)格變化值的概率分布。

五、伊藤引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：（6.8）由于（6.9）根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過程：

(6.10)六、證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過程

令，由于代入式（6.10）:

（6.11）

證券價(jià)格對(duì)數(shù)G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng),且：

設(shè)A股票價(jià)格的當(dāng)前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動(dòng)率為每年20%,該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),且該股票在6個(gè)月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個(gè)月后的價(jià)格ST的概率分布。例6.3請問在例6.2中，A股票在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差等多少？

例6.2第二節(jié)布萊克——舒爾斯期權(quán)

定價(jià)模型

一、布萊克——舒爾斯微分方程

（一）布萊克——舒爾斯微分方程的推導(dǎo)

我們假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)：則：（6.12）假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則：（6.13）（6.14）為了消除，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價(jià)值，則：(6.15)

在時(shí)間后：（6.16）將式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得：

（6.17）在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：把式（6.15）和（6.17）代入上式得：

布萊克——舒爾斯微分分程化簡為：(6.18)

這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。

（二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理

假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克——舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。例子假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元

二、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：其現(xiàn)值為（6.19）對(duì)數(shù)股票價(jià)格的分布為：（6.20）對(duì)式（6.19）求解：（6.21）其中，

我們可以從三個(gè)角度來理解這個(gè)公式的金融含義：首先，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。

最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-notingcalloption）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothingoption）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式（6.23）也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式

：

（6.22）由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。

三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。

當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。

對(duì)于歐式期貨期權(quán)，其定價(jià)公式為：

（6.23）（6.24）其中：例6.4假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格。

3.05美分。（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)1．美式看漲期權(quán)

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。例6.5假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。近似為7.2824元

2．美式看跌期權(quán)

由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第三節(jié)布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究和應(yīng)用

一、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式實(shí)證研究

布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)；高估實(shí)值期權(quán)的價(jià)格，低估虛值期權(quán)的價(jià)格。

造成用布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)：

1.

計(jì)算錯(cuò)誤；2.

期權(quán)市場價(jià)格偏離均衡；3.

使用的錯(cuò)誤的參數(shù)；4、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。

二、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用

（一）評(píng)估組合保險(xiǎn)成本

（二）給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)：可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此可轉(zhuǎn)換債券相當(dāng)于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。（三）為認(rèn)股權(quán)證估值：認(rèn)股權(quán)證相當(dāng)于一份看漲期權(quán)謝謝2月-2501:14:0701:1401:142月-252月-2501:1401:1401:14:072月-252月-2501:14:072025/2/171:14:079、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。2月-252月-25Monday,February17,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。01:14:0701:14:0701:142/17/20251:14:07AM11、夫?qū)W須志也，才須學(xué)也，非學(xué)無以廣才，非志無以成學(xué)。2月-2501:14:0701:14Feb-2517-Feb-2512、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯(cuò)兒。01:14:0701:14:0701:14Monday,February17,202513、志不立，天下無可成之事。2月-252月-2501:14:0701:14:07February17,202514、ThankyouverymuchfortakingmewithyouonthatsplendidoutingtoLondon.ItwasthefirsttimethatIhadseentheToweroranyoftheotherfamoussights.IfI'dgonealone,Icouldn'thaveseennearlyasmuch,becauseIwouldn'