初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第一講：因式分解(一)

多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是(4)a7-a5b2+a2b;,-b7.

我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解解⑴原式二?2x"7y"(x'n?2x2ny2+y')

方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，=-2xn,yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而目.對(duì)于=-2xn-,yn(x2n-y2)2

培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，=-2xn-'yn(xn-y)2(xn+y)2.

都有著十分獨(dú)特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中主要(2)原式:x'+(-2y)V(-z)3-3x(-2y)(-Z)

介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

法和十字相乘法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教(3)原式二(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作=(a-b)2+2C(a-b)+c2

進(jìn)一步的介紹.=(a-b+c)2.

1.運(yùn)用公式法本小題可以稍加變形，直接使用公式(5),解

在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公法如下：

式.現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的原式二a，(小)2+(?+2(-b)c+2ca+2a(-b)

公式，例如：=(a-b+c)2

(1)a-b*-(a+b)(a-b)；(4)原式=(a7-a5b2)+(a:b-b7)

(2)a2±2ab+b=(a±b)；=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

(3)a3+b3=(a+b)(a2-cib+b")；=(a2-b2)(a5+b5)

(4)a;i-b-(a-b)(aJ+ab+b2).

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：=(a+b)(a-b)(a+b)(a'-ab+aJb-ab+b')

(5)a'+b2+c'+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)L；=(a+b)2(a-b)(a1-a；lb+a2b'-cib；i+b1)

例2分解因式:a+b'+c'-3abc.

(6)a3+b'+c-3abc=(a+b+c)(a'+b+c'-ab-bc-ca)：本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面

(7)an-bn=(a-b)(an-,+an-2b+a_3b2+-+abn-2+bn-1)給出的公式(6).

其中n為正整數(shù)；分析我們已經(jīng)知道公式

(8)a“W=(a+b)(廣田飛+球年…?+abf>T),(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

其中n為偶數(shù)；的正確性，現(xiàn)將此公式變形為

(9)an+bn=(a+b)(a-'-a^b+a^b2--abn-2+bn-,),a：，+b-(a+b)-3ab(a+b).

其中n為奇數(shù).這個(gè)。式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助

運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特于它來(lái)推導(dǎo).

點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c'-3abe

地選擇公式.=[(a+b)3+c：']-3ab(a+b+c)

例1分解因式：=(a+b+c)

(l)-2x5n-,yn+4x3n-,yDt2-2xn-,yn44；L(a+b)'-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

(2)x'-8y-zf-6xyz；=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).

說(shuō)明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它稱(chēng)為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式;能用

可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式分組分解法進(jìn)行因式分解.

(6)變形為例4分解因式：xs-9x+8.

a+b3+c-3abc分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、

添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)

(a+b+c)(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

的目的與技巧.

=g(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].

解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.

顯然,當(dāng)a+b+c=0時(shí),則a'+b'+cJ3abc；當(dāng)原式=x'-9x-l+9

a+b+c>0時(shí)，則a'+b'+c：3abe20,即a'+b'+c'=(x3-l)-9x+9

>3abc,而且,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.=(x-l)(X2+X+1)-9(X-1)

如果令x=，20,y=b3^0,z=c3^0,則有=(x-l)(X2+X-8).

中)麻解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.

原式二x'-x-8x+8

等號(hào)成立的充要條件是x刊二z.這也是一個(gè)

=(X5-X)+(-8X+8)

常用的結(jié)論.

=x(x+l)(x-l)-8(x-l)

例3分解因式：x"+x"+x八+…+x[+x+L

=(x-l)(X2+X-8).

分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最

解法3將三次項(xiàng)(拆成9X~8X3.

高次項(xiàng)一開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0,由此

原式=9x—8xL9x+8

想到應(yīng)用公式a”-b”來(lái)分解.

=(9X3-9X)+(-8X3+8)

解因?yàn)?/p>

=9x(x+l)(x-l)-8(x-l)(x'+x+l)

xI6-l=(x-l)(x1+xll+xl3+*,*x2+x+l),

=(x-l)(x2+x-8).

所以

解法4添加兩項(xiàng)-Y+x,.

(x-l)(xu+xM+x13+--hca+z+l)z16-l

原式=

X-1X原式=x-9x+8

(2

X’I1)(24.l)(X?l)(X>t)(X1)322

X-1=x-x+x-9x+8

84

-(x+l)(x+1)(x2+D(x+1)=X2(X-1)+(X-8)(X-1)

說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以

=(x-l)(X2+X-8).

(X-1),再除以(X-1)的技巧，這一技巧在等式

說(shuō)明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法

變形中很常用.

分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定

2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式

活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解者方法

乘法運(yùn)算時(shí).，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并中技巧性最強(qiáng)的一種.

為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵

例5分解因式：

消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢(Dx^d；

復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中

(2)(m-1)(n-l)+4mn；

的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添(3)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4：

上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者(4)a3b-ab3+a2+b2+l.

解(1)將-3拆成-1-1-1.

原式=x9+x6+x’-1-1-1體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于

=(x9-l)+(x6-l)+(x3-l)y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了.

=(x3-l)(x6+x3+l)+(x3-l)(x3+l)+(x3-l)解設(shè)x?+x=y,則

=(x3-l)(x6+2x3+3)原式=(y+l)(y+2)-12;y2+3y-10

=(x-l)(x2+x+l)(X6+2X3+3).=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

⑵將4inn拆成2mn+2mn.=(x-l)(x+2)(X2+X+5).

原式(nJl)+2mn+2mn說(shuō)明本題也可將x〉+x+l看作一個(gè)整體，比

=m'n-m-n'+l+2mn+2mn如今x2+x+l=u,一樣可以得到同樣的結(jié)果,有

=(m2n2+2mn+1)-(m'-2mn+n')興趣的同學(xué)不妨試一試.

=(mn+l)2-(m-n)2例7分解因式：

=(mn+m-n+l)(mn-m+n+1).(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-90.

⑶將(x」)2拆成2代?1)2心2?1)2.分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然

原式=(X+〉+2(X2-1)2-(X2?1)2+(X-1)4后再重新組合.

=[(X+1)4+2(X+1)2(X-1)2+(X-1)4]-(X2-1)2解原式=(x+l)(x+2)(2x+l)(2x+3)-90

=[(x+l)2+(x-l)2]2-(x2-l)2=[(x+l)(2x+3)][(x+2)(2x+l)]-90

=(2X2+2)2-(X2-1)2=(3X2+1)(X2+3).=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2)-90.

(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab.令y=2x?+5x+2,則

原^=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab原式二y(y+l)-90=y2+y-90

=(a'b-ab')+(a2-ab)+(ab+b-+1)二(y+10)(y-9)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b'+l)=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7)

=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b*+1)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).

=[a(a-b)+l](ab+b2+l)說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业?/p>

=(a2-ab+l)(b'+ab+l).新元(y)的基礎(chǔ).

說(shuō)明(4)是一道較難的題目，由于分解后的例8分解因式：

因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab,(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.

而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是解設(shè)xMx+8=y,則

先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因原式二y+3xy+2x1(y+2x)(y+x)

式.這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極=(x:+6x+8)(X2+5X+8)

強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn).=(x4-2)(x+4)(X2+5X+8).

3.換元法說(shuō)明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，

一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢?/p>

這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰.一起變形，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式.

例6分解因式：(x2+x+l)(X2+X+2)-12.例9分解因式：6X'+7X3-36X2-7X+6.

分析將原式展開(kāi)，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，解法1原式=63+1)+7x(x0)-36x2

分解因式較困難.我們不妨將犬+x看作一個(gè)整=6[(X,-2X2+1)+2X2]

+7x(x-1)-36x

=6[(x2-l)2+2x1+7x(X2-1)-36X2

=6(X2-1)2+7X(X2-1)-24X2

=[2(X2-1)-3X][3(X--1)+8X]

=(2x-3x-2)(3X2+8X-3)⑵x"2；

=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

說(shuō)明本解法實(shí)際上是將x』看作一個(gè)整體,

但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元

法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體.

解法2(3)x4-2x2y2-4xyJ+4x3y+y2(4x2+^y2);

原式=/(6x，+7x-36-：+g")

“匣斕4T河

令x'=t則d+J=『+2,于是

XX

原式二x16(t2+2)+7t?36]

(4)(x5+/+x3+x2+x+l)2-x5.

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=X2[2(X-1/X)-3][3(x-l/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

2.分解因式:

例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y").

(1)X3+3X2-4；,222；

分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字(2)x-llxy+y

母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式

叫作二元對(duì)稱(chēng)式.對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式,

經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式.

解原式=[(x+y)2?xyr-4xy[(x+y)'-2xy].令

x+y=u,xy=v,貝i]

(3)X3+9X2+26X+24；(4)?-12x+323

原式二(IAV)2?4V(U2-2V)

=u'-6u:v+9v"

=(U2-3V)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2.

練習(xí)一

3.分解因式:

1.分解因式：

(1)(2X2-3X+1)2-22X2+33X-1：

(1)x2n+xn+：；

(2)?+7X3+14X2+7X+1；(4)(x+3)(x2-l)(x+5)-20.

(3)(x+y):,+2xy(l-x-y)-l；

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第二講：因式分解(二)

1.雙十字相乘法即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分

于某些二元二次六項(xiàng)式解

(ax'4-hxy+c.y2+dx+ey+f),我們也可以用十字相

乘法分解因式.

例如，分解因式2x2因xy-22y2-5x+35y-3.我

(-lly+1)

xy

們將上式按降基排列，并把當(dāng)作常數(shù)，于所以，原式二[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

是上式可變形為=(x+2y-3)(2x-lly+l).

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3),

上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘

可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在

對(duì)千常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式,一起，可得到下圖:

也可以用十字相乘法，分解為

它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式:

(x+2y)(2x-lly)=2x"-7xy-22y2；(3)xy+y2+x-y-2；

(x-3)(2X+1)=2X2-5X-3：解(1)

(2y-3)(-Uy+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式

ax+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟原式二(x-5y+2)(x+2yT).

是：(2)

(D用十字相乘法分解ax7+bxy+cy\得到一

個(gè)十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列

原式=(x+y+l)(x-y+4).

上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的

(3)原式中缺X，項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0

和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十

來(lái)分解.

字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-l0y-+x+9y-2；

(2)x;!-y+5x+3y+4；

原式:(2x-3y+z)(3x+y-2z).

當(dāng)x二a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示,如

對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)

f(l)=l2-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.

定理1(因式定理)若a是一兀多項(xiàng)式f(x)

2.求根法的根，即根a)=0成立,則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)

nn1-

我們把形如anx+an.1x-+—+aix+ao(n為非負(fù)因式xa.

整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次

用f(x),g(x),…等記號(hào)表示，如因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意

f(x)=x-3x+2,g(x)=x5+x2+6,多項(xiàng)式f(x),要求出它的根是沒(méi)有一般方法

的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，說(shuō)明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式

即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即

它是否有有理根.-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根.因此，必須

定理2對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.

若既約分?jǐn)?shù)9是越系數(shù)多項(xiàng)式例3分解因式：9X-3X3+7X2-3X-2.

p

an1n2

f(x)-aox+a1x-+a2x"+—+an_1x+an分析因?yàn)?的約數(shù)有±1,±3,±9；-2的

的根,則必有p是a。的約數(shù),q是3n的約數(shù).特約數(shù)有±1,±

別地，當(dāng)①=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,±|,±|,±!,

1019

根均為an的約數(shù).經(jīng)檢驗(yàn).只有.初專(zhuān)是原式的根,所以原式有因式x+g和又因

我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定為：

多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分(x+^)(x-1)=1(3x+1)(3x-2)

解.-1(9X3-3X-2),

例2分解因式:x'-4x'+6x-4.

所以，原式有因式9X2-3X-2.

分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有

解9X-3X3+7X2-3X-2

整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù):=9X-3X-2X2+9X2-3X-2

±1,±2,±4,只有2

=x(9X3-3X-2)+9X2-3X-2

f(2)=2-4X22+6X2-4=0,

=(9X2-3X-2)(X2+1)

即:《=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1,=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

原式必有因式x-2.說(shuō)明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出

解法1用分組分解法，使每組都有因式的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中

(x-2).

的因式

原式二(x:，-2x)-(2x;-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x-2x+2).可以化為9X2-3X-2,這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程.

解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x),如果能找到

x2-2x+2一個(gè)一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解為

x-2/X3-4X2+6X-4

,-2x2(x-a)g(x),而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多

-2X2+6X項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分

-2x2+

2x-4-解了.

2x-43.待定系數(shù)法

o'

所以

原式二(x-2)(x'-2x+2).

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待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方能是±1,±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不

法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有

應(yīng)用.一次因式,如果原式能分解，只能分解為

在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以(x+ax+b)(x2+cx+d)的形式.

斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中解設(shè)

的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一?些字母來(lái)原式=(x'+ax+b)(x^+cx+d)

表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因=x'+(a+c)x'+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd,

式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)所以有

項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾a+c=-2,

b+d+ac=-27,

個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程ad+be=-44,

組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解bd=7.

由bd=7,先考慮b=l,d=7有

的方法叫作待定系數(shù)法.

a+c=-2,

例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

ac=-35,

分析由于

I7a+c=-44,

(xMxy+2y2)=(x+2y)(x+y),

a=-7

若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)c=5.

一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定所以{

系數(shù)法即可求出m和n,使問(wèn)題得到解決.原式二(x'-7x+l)(x?+5x+7).

解設(shè)說(shuō)明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-l,

x2+3xy+2y2+4x+5y+3d=-7等可以不加以考慮.本題如果b=l,d=7

=(x+2y+m)(x+y+n)代入方程組后，無(wú)法確定d,c的值，就必須

=x+3xy+2y?+(m+n)x+(m+2n)y+mn,將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定

比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有系數(shù)為止.

本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分

m+n=4,

1m+2n=5,解因式.但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二

mn=3.

次因式.由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中

解之得m=3,n=l.所以

也有用武之地.

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

練習(xí)二

說(shuō)明本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自

1.用雙十字相乘法分解因式：

己解一下.

(1)x--8xy+15yJ+2x-4y-3；

例5分解因式：X-2X-27X2-44X+7.

(2)x2-xy+2x+y-3；

分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)

前面講過(guò)的求根法，若原式有有理根，則只可

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3.用待定系數(shù)法分解因式:

(1)2xJ+3xy-9y'+14x-3y+20；

(3)3x-11xy+6y2-xz-4yz-2z2.(2)X4+5X3+15X-9.

2.用求根法分解因式:

(l)x3+xJ-10x-6；

(2)X'+3X3-3X2-12X-4；

(3)4X4+4X3-9X2-X+2.

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第三講實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用

實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ).在是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)

初中代數(shù)中沒(méi)有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理淪，是因?yàn)閷W(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的.本講主要介紹實(shí)數(shù)的一

它涉及到極限的概念.這一概念對(duì)中學(xué)生而言,些基本知識(shí)及其應(yīng)用.

有一定難安.但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有實(shí)數(shù)

的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無(wú)形如：:(n^O)的數(shù)叫有理數(shù)，其中m,n為整數(shù).這種定義可

用于睛決許多問(wèn)題，例如，不難證明：任何兩

法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了.例如，即使是一元二次方

程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的.因個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者

此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及說(shuō)，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))

運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的基本方法，不僅是封閉的.

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性質(zhì)1任何一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成有限小數(shù)在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最大

（整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù)）或循環(huán)的實(shí)數(shù).任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大小.全體

小數(shù)的形式，反之亦然.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.在實(shí)數(shù)

例集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運(yùn)算，

1證明嘴環(huán)小數(shù)2.61545454…=2.61；，是有理數(shù).其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)（即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉

性）.任一實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)

分析要說(shuō)明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它

數(shù)；只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開(kāi)偶次

能否寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比的形式.

方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù).

證設(shè)

例2

x=26154,①

兩邊同乘以100得求證U，是有理數(shù).

f2）彳nf

100x=261.54=261,5454.②

分析

②-①得

要證明所給的數(shù)能表示成巴（m,n為整數(shù),n#0）的形式，關(guān)槎

99x=261.54-2.61=258.93,n

是要證明］1122:25是完全平方數(shù).

25893

所以x=--------

9900證

11-122-25

8?1）個(gè)n個(gè)

既然X能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比的形式，從而也就證明了2.61訝是有理數(shù).

?RJX10…茲yX10+5

（n?l）個(gè)nt

10nZ10n-l

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù).有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)=----------X10n+1+2X---------X10+5

99

算是封閉的，而無(wú)理

=-IO1'*1+2XKT+1-20+45）

數(shù)與無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù).例如，尤為無(wú)理但

1T=1（：02n+10X10n+25）=1（10n+5）2

應(yīng)一點(diǎn)=0是一個(gè)有理數(shù)；冗是無(wú)理數(shù)，5f=1是有數(shù)，理數(shù)，也就

是說(shuō)，無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有所以

如卜.性質(zhì).--A-

.H-J22---2510n+5

1?

性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù)，b為無(wú)理數(shù)，則

（l）a+b,a-b是無(wú)理數(shù);

（2）當(dāng)a盧。時(shí)，a*b,；是無(wú)理數(shù).因?yàn)閕on+5與建為整數(shù)，所以,；一是有理數(shù).

bY（n-i）Tnr

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，即例3證明正是無(wú)理數(shù).

分析要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是

突數(shù)（小數(shù)）

僧爾卜數(shù)

無(wú)限小數(shù)（不循環(huán)小數(shù)一現(xiàn)數(shù)一件極難辦到的事.由于有理數(shù)與無(wú)理數(shù)共同

組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，

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所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，常常采用反解假設(shè)冷口是有理數(shù)，設(shè)其為A,即

證法.

----二4

證用反證法.b+6

假設(shè)我不是無(wú)理數(shù)，所以我必為有理數(shù).設(shè)?叵=整理得：a+J5=Ab+AJ5.

B（p,q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方有由例4知

q

p2=2q\①a=Ab,1=A,

所以P一定是偶數(shù).設(shè)P=2m（m是自然數(shù)），8Pa=b,這與已知arb矛盾.所以原假設(shè)匕境是有理數(shù)造誤，故

b+V3

代入①得當(dāng)是無(wú)理數(shù)

b+>/3

4m~=2q2,q2=2m2,

說(shuō)明本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自

己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)

所以q也是偶數(shù).p,q均為偶數(shù)和p與q互頂矛盾，所以我不是有理

數(shù)，于是、歷是無(wú)理數(shù).論.解這樣的巨整時(shí)，可以先找到一個(gè)立足點(diǎn)，如本例以為

有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基涼.

說(shuō)明只要p是質(zhì)數(shù)，6就一定是無(wú)理數(shù)，這個(gè)結(jié)論的證明并不

困難，請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

例6已知a,b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且aVb,

例4若a1+bia=a2+b2a（其中a”a,b,,b?為

2求證：a與b之間存在著無(wú)窮多個(gè)杓埋數(shù)（即有

有理數(shù)，a為無(wú)理數(shù)），則a^2,b.=b,反之，

2理數(shù)集具有稠密性）.

亦成立.

分析只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即

分析設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于

可被證明.

無(wú)理數(shù)來(lái)證明.

證因?yàn)閍Vb,所以2aVa+bV2b,所以

證將原式變形為（匕也）8=a2a.若bHb?,

a<學(xué)<b.

則

_a2-al設(shè)'■等，a1顯然是有理數(shù)（因?yàn)閍,b為有理數(shù)）.因?yàn)閍［〈b,

abj-b"

2所以，同理可證設(shè)町=當(dāng)士，a,顯然也是有理數(shù).

依此類(lèi)推，設(shè)1=卷2n為任意自融:，則有a<aa2<，“<an

因?yàn)閍是無(wú)瞰，而善善是有理數(shù)，矛盾.所以必有b1二b〃<-<b,且％為每里數(shù)，所以在mb之間存在無(wú)窮多個(gè)有理數(shù).

瓦心

有a1=電?說(shuō)明構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式

子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的

反之，顯然成立.一種數(shù)學(xué)建模的思想方法.

說(shuō)明本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性例7已知a,b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且aVb,

質(zhì).問(wèn)是否存在無(wú)理數(shù)a,使得aVaVb成立？

解因?yàn)閍〈b,廄-1>0,所以

例5與b是兩個(gè)不相等的荀聯(lián)出判斷實(shí)數(shù)段是有理婁還（應(yīng)-l）b,

即應(yīng)〈（圾7）b+a①

是無(wú)理數(shù)，并說(shuō)明理由.

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又因?yàn)閍〈b=b+、氏-點(diǎn)