九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

第26章二次函數(shù)

26.1二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解掌握二次函數(shù)的概念和一般形式.（重點(diǎn)）

2.會(huì)利用二次函數(shù)的概念解決相關(guān)問題.

3.能從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型.（難點(diǎn)）

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.（1）若在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量％和y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y

都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說），是x的,x叫做.

（2）形如產(chǎn)（#））的函數(shù)是一次函數(shù)，當(dāng)40

時(shí)，它是函數(shù)；形如產(chǎn)（和）的函數(shù)是反比例函數(shù).

2.用含。的代數(shù)式填空：

（1）矩形ABCD的寬為aciii,K比寬的2倍多1cni,則矩形的K為uni,矩形的面積

S=cm2；

（2）某商店銷售一種水果，進(jìn)價(jià)為3元/kg,售價(jià)為a元/kg,每天可銷售20kg,則一天的銷售額為

元，利潤(rùn)為元.

二、新知預(yù)習(xí)

（預(yù)習(xí)課本P24）填空并完成練習(xí)：

形如尸（a,b,c是常數(shù)，#））的函數(shù)叫做二次函數(shù).

練習(xí)：下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（填序號(hào)）：

①S=2Ax+3;②廣/=0；③12+1;④產(chǎn)a?+bx+c;⑤尸（x+2）（x-2）-N.

x

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義

問題1；如圖，總長(zhǎng)為20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個(gè)矩形的花圃.怎樣圍才能使花圃的面積最大？

（1）填表：

AB的長(zhǎng)x(m)123456789

8c的長(zhǎng)(m)12

面積y(m2)48

（2）設(shè)矩形花圃的垂直于墻的一邊A8的長(zhǎng)為xm,則8C的長(zhǎng)為m（用含x的代數(shù)式表示）；

（3）x的取值范圍為;

（4）我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)（》）確定后，矩形的面積。）也就隨之確定，即y是x的函數(shù)，試寫出這個(gè)

函數(shù)的關(guān)系式:.

問題2某商店將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，一天可售出約100件.該店想通過降低售

價(jià)、增加銷售量的辦法來提高利潤(rùn).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低0.1元，其銷售量可增加約

10件.將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，能使銷售利潤(rùn)最大？

（1）設(shè)每件商品降價(jià)X元，則一天的銷量博加件，一天的銷量為件（用含x的代數(shù)式表

示）此時(shí)每件商品的售價(jià)為元，每件商品的利澗為元；

（2）寫出x的取值范圍：;

（3）設(shè)每天的利潤(rùn)為y元，易知y是x的函數(shù)，試寫出這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式:.

思考：觀察所得的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，他們有什么共同點(diǎn)？

它們都是用自變量的來表示的.

【要點(diǎn)歸納】二次函數(shù)的概念：

形如產(chǎn)加+bx+c（a、b、c是常數(shù)，。對(duì)）的函數(shù)叫做二次函數(shù).加叫做二次項(xiàng)，。為二次項(xiàng)系數(shù)；縱叫

做一次項(xiàng)，〃為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)，

注意：（1）關(guān)系式都是整式；（2）自變量的最高次數(shù)是二次；（3）二次項(xiàng)系數(shù)不等于零.

【典例精析】

碼當(dāng)函數(shù)產(chǎn)（。-1）爐+公+c是二次函數(shù)時(shí)，。的取值為（）

A.u-\B.a--1C.D.

【針對(duì)訓(xùn)練】當(dāng)機(jī)取哪些值時(shí)，函數(shù)）=（m2加）/+〃優(yōu)+加+1是以工為自變量的二次函數(shù)？

易錯(cuò)提醒：解決此類問題需要注意二次項(xiàng)系數(shù)在0這一限制條件.

探究點(diǎn)2：從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型

而如

圖，在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆

的長(zhǎng)方形花面，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為5平方米./（/////，///"%,/

（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（2）若墻的最大可用長(zhǎng)度為9米，求此時(shí)自變量x的取值范圍.

分析：根據(jù)題意和圖形，可得兩個(gè)等量關(guān)系：BC

&S=ABx;?BC+_AB=24.

則當(dāng)AB=x時(shí)，BC=；

由AB>0可知x;由_______>0可知xV.

易錯(cuò)提醒：在根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要注意自變量的取值范圍

【針對(duì)訓(xùn)練】寫出下列各函數(shù)關(guān)系式，并判斷它們是什么類型的函數(shù).

（1）寫出圓的面積y（cm2）與它的直徑x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）菱形的兩條對(duì)角線的和為26cm,求菱形的面積S（cm2）與一對(duì)角線長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式.

二、課堂小結(jié)

二次函數(shù)的定義形式相關(guān)概念判別方式

ax?叫做______,—為二次項(xiàng)系右邊是整式；

y=_________(a*0,自變量的最高次數(shù)是；

數(shù)；bx叫做______,—為-一次2

是常數(shù))

a,b,c二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

項(xiàng)系數(shù)；c為________.

①找：找等量關(guān)系；

從實(shí)際問題中抽

②列：用含自變量的代數(shù)式表示相關(guān)量，再根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；

象二次函數(shù)模型

③定：確定自變量的取值范圍

當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（)

y=4e一

A.y=—B.產(chǎn)（x+3）a-資C.+2%1D.y=x(x-1)

x~

2.為方便市民進(jìn)行垃圾分類投放，某環(huán)保公司第一個(gè)月投放。個(gè)垃圾桶，計(jì)劃第三個(gè)月投放垃圾桶y

個(gè)，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放垃圾桶數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為h那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是（

）

A.y=a（\+x）2B.y=a（1-x）2C.尸（1-x）2+aD.

3.某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià).若每件商品的售價(jià)為“元

,則可賣出（350-lOx）件，銷售這批商品所得利潤(rùn)y（元）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為—

4.已知），=（〃卜2）1渥-〃，+34+6是二次函數(shù)，求出它的表達(dá)式，并寫出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)

項(xiàng).

5.某批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和市場(chǎng)行情，預(yù)計(jì)夏季某一段時(shí)間內(nèi)，甲種水果的銷售利潤(rùn)

y（萬元）與進(jìn)貨量x（噸）近似滿足函數(shù)關(guān)系嚴(yán)加+公（其中〃和，a,人為常數(shù)，工20）,且進(jìn)貨量x為

1噸時(shí)，銷售利潤(rùn)y為1.4萬元：進(jìn)貨量x為2噸時(shí)，銷售利潤(rùn)1，為2.6萬元.求y（萬元）與噸）之

間的函數(shù)關(guān)系式.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

,

I.(1)函數(shù)自變量(2)kx+bk正比例k

x

2.(1)(2?+1)a(2tz+l)(2)20?20(a-3)

二、新知預(yù)習(xí)

cu^+bx+ca

練習(xí)：①?

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義

問題1(1)填表如下：

48的長(zhǎng)x(m)123456789

8c的長(zhǎng)(m)18161412108642

面積y(m2)183242485048423218

(2)(20-2x)

(3)0<JT<10

(4)y=x(20-2x)=-2^+20^(0<^<10)

問題2(1)100x(lOO+lOOx)(10-x)(10-x-8)

⑵0WxW2

(3)y=(10-x-8)(lOO+lOOx)=?100『+100x+200(0WxW2)

思考二次整式

【典例精析】顧1|D

【針對(duì)訓(xùn)練】解：由題意得病-〃#(),則*0且*1.

探究點(diǎn)2：從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型

【典例精析】甌分析：8C(或A。)324-3x>0BC8

解：(1)S=BCxAB=(24-3x)x=-3》+24x.由題意得24-3x>0,解得xV8,則自變量工

的取值范圍為0VxV8.

(2)由題意得24-3xW9,解得x25.由(1)知0VxV8,則5WxV8.

【針對(duì)訓(xùn)練】解：(1)產(chǎn)四爐,二次函數(shù)

*4

(2)S=^x(26-x),二次函數(shù).

二、課堂小結(jié)

ar+^+c二次項(xiàng)。一次項(xiàng)b常數(shù)項(xiàng)

當(dāng)堂檢測(cè)

l.D2.A3.y=-10x2+560x-7350

2__2

4.解：由題意可知，'解得m=-l.當(dāng)〃/-1時(shí)，二次函數(shù)為y=-3f+3x+6,其二次項(xiàng)系數(shù)為-3,一

/H-2。0,

次項(xiàng)系數(shù)為3,常數(shù)項(xiàng)為6.

。+/?=1.4,a=—0.1,

5.解：由題意得＜解得！

4。+處=2.6,6=1.5.

???y(萬元)與x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為產(chǎn)-0.1州+1.5-

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)），="2的圖象與性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)嚴(yán)加的圖象（重點(diǎn)）

2.根據(jù)對(duì)特殊函數(shù)圖象的觀察，歸納得出二次函數(shù)產(chǎn)以2的性質(zhì).（難點(diǎn)）

3.進(jìn)一步理解二次函數(shù)和拋物線的有關(guān)知識(shí)，并能解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.一次函數(shù)的圖象是—，反比例函數(shù)的圖象是

2.用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟:

3.下面是一次函數(shù)產(chǎn)x-2的圖象，根據(jù)圖象，你能看出函數(shù)的哪些性質(zhì)？

合作探究

二、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)產(chǎn)Of的圖象

【要點(diǎn)歸納】函數(shù)嚴(yán)加的圖象是一條拋物線，它是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸（或直線x=0），拋物線與

坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，叫做拋物線的頂點(diǎn).其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）.

【典例精析】

而在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y\y=f的圖象.

3

【針對(duì)訓(xùn)練】在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)），=-；/，y=-f的圖象

【要點(diǎn)歸納】對(duì)于拋物線、=加，當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋

物線的最低點(diǎn)；當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是），軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)；且⑷

越大，拋物線的開口越小.

練一練

1.函數(shù)y=4f的圖象的開口,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)是；

2.函數(shù)），=-3爐的圖象的開口,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)是,頂點(diǎn)是拋物線的最點(diǎn);

探究點(diǎn)2：二次函數(shù)廣〃f的性質(zhì)

觀察與思考

問題1如圖①，觀察二次函數(shù)嚴(yán)小的圖象，y隨x的變化如何變化?

問題2如圖②，觀察二次函數(shù)產(chǎn)一『的圖象，y隨x的變化如何變化?

【自主歸納】拋物線），=，〃的性質(zhì)

拋物線y=axL(tz>0)y=ar(?<0)

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

位置

開口方向

增減性

最值

【典例精析】

例2|已知正方形周長(zhǎng)為xcm,面積為5cm2.

（1）求S和X之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象;

(2)判斷點(diǎn)(4,2),(8,4),(-4,1)是否在該函數(shù)的圖象上.

麗己知y=+是二次函數(shù),且其圖象開口向上，求〃?的值和函數(shù)表達(dá)式.

【針對(duì)訓(xùn)練】已知y=(Z+2)f、i是二次函數(shù)，且當(dāng)％＞0時(shí)，y隨x增大而增大，則:.

亟已知二次函數(shù)

⑴若斫2,點(diǎn)(23)與(3,刃)在此二次函數(shù)的圖象上，則凹以填或

(2)若。＞0,點(diǎn)(2,yi)與(3,”)在此二次函數(shù)的圖象上，則yi力(填"或"v")；

(3)若。＜0,點(diǎn)(-2,yi)與(3,")，(5,”)在此二次函數(shù)的圖象上，則州，”，丫3的大小關(guān)系是.

方法總結(jié)：二次函數(shù)了=加中比較函數(shù)值的大小的方法：

①直接代入法:將x的值分別代入函數(shù)表達(dá)式中，求出y值再比較大小，多用于。值確定的情況，如例4(1);

②性質(zhì)判斷法:結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性)及自變量x之間的大小關(guān)系,得出其對(duì)應(yīng))，值的大小關(guān)系；多用

于自變量x在對(duì)稱軸同一側(cè)的情況，如例4(2)；

③草圖法：畫出二次函數(shù)的草圖，描點(diǎn)，根據(jù)圖象直接判斷y值的大小.多用于＜7值不確定且x值不在對(duì)稱軸

同側(cè)的情況，如例4(3).

二、課堂小結(jié)

畫法描點(diǎn)法-在對(duì)稱軸兩側(cè)對(duì)稱取點(diǎn)

圖象拋物線一軸對(duì)稱圖形

二次函數(shù)丁=加的圖

1開.口方向及大?。?/p>

象及性質(zhì)

2.對(duì)稱軸；

性質(zhì)

3頂.點(diǎn)坐標(biāo)

4增.減性

當(dāng)堂檢測(cè)

1.拋物線產(chǎn)5f的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是，在對(duì)稱軸的側(cè)J隨著K的增大而增大；

在對(duì)稱軸的側(cè),隨著X的增大而減小，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y的值最小，最小值是.

2

2.拋物線y=位置在1軸的方(除頂點(diǎn)外)，在對(duì)稱軸的左側(cè)j隨著x的增大而；在對(duì)

稱軸的右側(cè),)，隨著x的增大而當(dāng)A0時(shí)，函數(shù)y的值最大，最大值是當(dāng)x0時(shí)，產(chǎn)0.

3.如圖，觀察函數(shù)產(chǎn)伏一1)F的圖象，則k的取值范圍是.

4.已知拋物線產(chǎn)內(nèi)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)人(2,-8),求:

(1)該拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷點(diǎn)B(3,-18)是否在該拋物線上；

(3)求出此拋物線上縱坐標(biāo)是-50的點(diǎn)的坐標(biāo).

5.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo))，的對(duì)應(yīng)值如下表所示:

X-4-2024

y41014??.

(1)在給定的坐標(biāo)系中，畫出該二次函數(shù)的圖象;

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(3)若A(Myi)?B(X2，52)在這條拋物線上，且即42<0，貝U巾ys.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.直線雙曲線

2.列表描點(diǎn)連線

3.解：①一次函數(shù)尸六2的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；②函數(shù)值)，隨上的增大而增大

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)的圖象

畫一畫

(1)列表如下：

X???-2-1.5-1011.52…

y=2x2???84.52024.58???

y=-2x2???-8-4.5-20-2-4.5-8???

(2)描點(diǎn)、連線如圖①所示.

（3）相同點(diǎn)：①對(duì)稱軸均為y軸

不同點(diǎn)：①開口方向不同；②尸2A2的圖象有最低點(diǎn)，產(chǎn)-浮的圖象有最高點(diǎn)；③當(dāng)xVO時(shí)，產(chǎn)源的圖

象呈下降趨勢(shì)，）=2?的圖象呈上升趨勢(shì)

【典例精析】

而解：（1）列表如下:

X???-3-1013???

1,

v=—x2??.303...

333

X.??-2-1012???

y=x2???41014…

描點(diǎn)、連線，如圖②所示.

【針對(duì)訓(xùn)練】

解：（1）列表如下:

X???-3-1013—

1,_1

y=——X”???-30-3???

3~33

X…-2-1012…

片-x2???-4-10-1-4???

描點(diǎn)、連線，如圖③所示：

練一練1.向上y軸（0,0）2.向下y軸（0,0）高

3.向上y軸（0,0）低4.向下），軸（0,0）

探究點(diǎn)2：二次函數(shù)產(chǎn)好2的性質(zhì)

問題1從二次函數(shù)尸2的圖象可以看出：當(dāng)xVO時(shí)，），隨x的增大而減??；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而

增大.

問題2從二次函數(shù)產(chǎn)的圖象可以看出：當(dāng)xVO時(shí)，），隨x的增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，），隨工的增大而

減小.

【自主歸納】

拋物線y=6L￥2(?>0)y=ar2(^<0)

頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,0)

對(duì)稱軸y軸y軸

位置第一、二象限第三、四象限

開口方向向上向下

當(dāng)xVO時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)，隨的增大而增大；

增減性“V0yx

當(dāng)x>0時(shí)，_>，隨/的增大而增大.當(dāng)x>0時(shí)，y隨工的增大而減小.

最值最小值，為0最大值，為0

【典例精析】/解：（1）由題意得S=\x2（彳>0）.畫函數(shù)圖象略

（2）點(diǎn)（4,2）,（-4J）不在該函數(shù)圖象上，點(diǎn)（8,4）在該函數(shù)圖象上.

-----〃7+1>0①，

例3解：依題意有<…由①得1,解②得〃刀二-2,桃2=1，，切=1,此時(shí)，二次函數(shù)的表

m~+用=2②.

達(dá)式為y=2jr.

【針對(duì)訓(xùn)練】2

例4<<y\>yi>y3

當(dāng)堂檢測(cè)

1.（0,0）y軸右左002.下方增大減小0#3.&>1

4.解：（1）把點(diǎn)A（2?-8）代入y=a/,得-8=〃x22,解得a=-2,則拋物線的表達(dá)式為y=-2-；

（2）V-2X32=-18,；,點(diǎn)B（3,-18）在該拋物線上；

（3）由題意得，-2/=?50,解得x=±5,??.此拋物線上縱坐標(biāo)是?50的點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,?50）、（-

5,-50）.

5.解：（1）畫圖象略；

（2）由圖象可設(shè)該二次函數(shù)為產(chǎn)加,將點(diǎn)（2,1）代入得4*1,解得.則該二次函數(shù)的表達(dá)式為尸,

44

X2.

⑶〉

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2,二次函數(shù)產(chǎn)〃產(chǎn)+加葉。的圖象與性質(zhì)

第1課時(shí)二次函數(shù)丁二0妙+4的圖象與性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)面二次函數(shù)尸五+2的圖象.（重點(diǎn)）

2.掌握二次函數(shù)產(chǎn)批4女的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.（難點(diǎn)）

3.理解尸“與尸加以之間的聯(lián)系.（重點(diǎn)）

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

I.填寫下表：

y=3x2y=-3x2

開口方向

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增人而,在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增人而,

增減性

在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而.在對(duì)稱軸的右側(cè)，V隨x的增大而.

2.將直線尸2%向上平移2個(gè)單位，得到的新的直線的表達(dá)式為;直線尸2口3是由直線尸.2x

通過怎樣的變換得到的？

思考：產(chǎn)？與產(chǎn)儲(chǔ)+3的圖象之間能通過平移變換得到嗎？

二、新知預(yù)習(xí)

（預(yù)習(xí)課本P9-10）試說出函數(shù)嚴(yán)加+攵（a#是常數(shù)，且存0）的圖象的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo):

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

a>0開口向______

y=ax2+k

a<0開口向_

練習(xí)；

I.拋物線）的開口,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,它可以看做是由拋物線丁二

向______平移一個(gè)單位得到.

2

2.將拋物線產(chǎn)源-3的圖象向上平移4個(gè)單位后，所得拋物線是____________,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是______,當(dāng)x

時(shí)，y隨x而增大而增大；當(dāng)x時(shí)，,隨x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，y取最值，為.

合作探究

三、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)嚴(yán)批2+A的圖象及平移

做一做在同一直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)產(chǎn)2?,產(chǎn)源+1的圖象.

⑴列表：

X???-1.5-1011.5???

yi=2x2??????

y2=2x2+l???

y

（2）列表，連線.6

5

（3）觀察列表，當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值之間有什么

關(guān)系？

7-3-2-101

(4)將(3)中的數(shù)值轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)，反映在函數(shù)圖象上，觀察圖象，相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的位置有什么關(guān)系？

【要點(diǎn)歸納】一次函數(shù)產(chǎn)的圖象可以由y=a?的圖象平移得到：

當(dāng)&>0時(shí)，向上平移%個(gè)單位得到.當(dāng)&<0舟，向下平移一2個(gè)單位得至I」.

規(guī)律總結(jié)為：平方項(xiàng)不變，常數(shù)項(xiàng)上加下減.

【典例精析】

國(guó)拋物線產(chǎn)源-5通過平移，得到拋物線產(chǎn)2X2,則平移方式正確的是()

A.向左平移5個(gè)單位B.向右平移5個(gè)單位

C.向上平移5個(gè)單位D.向下平移5個(gè)單位

【針對(duì)訓(xùn)練】(1)將拋物線產(chǎn)R向上平移3個(gè)單位后，得到的拋物線的表達(dá)式是:

(2)將拋物線產(chǎn)十+2向下平移4個(gè)單位后所得新拋物線的表達(dá)式為.

探究點(diǎn)2：二次函數(shù)尸"2+々的圖象和性質(zhì)

思考圖形平移之后，性質(zhì)會(huì)發(fā)生改變嗎？你能通過二次函數(shù)y=2『的性質(zhì)推斷出函數(shù)產(chǎn)發(fā)+1的性質(zhì)嗎？

觀察觀察二次函數(shù),y=2f+l的圖象，填寫下表：

二次函數(shù)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性

當(dāng)x___0時(shí)，y隨x的

yi=2x2向_____

——增大而增大；

當(dāng)x___0時(shí)，y隨x的

y=2x2+l向_____

2——增大而減小

【要點(diǎn)歸納】二次函數(shù)產(chǎn)公視)的性質(zhì)

當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開口方向向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,k),當(dāng)尸0時(shí)，y有最小值為上當(dāng)xVO時(shí),

了隨x的增大而減小：x>0時(shí)，y隨x的增大而增大.

做一做在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)產(chǎn)一,/,產(chǎn)-1f_2,產(chǎn)一

22

的圖象，并說一說它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)最值、函數(shù)增減

2

性.

觀察與思考根據(jù)圖象何答下列問題：

(1)三條拋物線的開口方向；(2)對(duì)稱軸都是：

(3)從上而下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是;

(4)頂點(diǎn)都是最一點(diǎn)，函數(shù)都有最—值，從上而下最大值分別為、、

(5)函數(shù)的增減性都相同:.

【要點(diǎn)歸納】二次函數(shù)^二五+2團(tuán)羊。)的性質(zhì)

當(dāng)時(shí)，拋物線開口方向向下，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,攵)，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值為々.當(dāng)xV0時(shí),

)，隨x的增大而增大；x>0時(shí)，)，隨x的增大而減小.

【典例精析】

而關(guān)于二次函數(shù)產(chǎn)2A44,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.其圖象的開口方向向上B.當(dāng)40時(shí)，y有最大值4

C.其圖象的對(duì)稱軸是y軸D.其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)

【針對(duì)訓(xùn)練】關(guān)于拋物線尸-f+1與產(chǎn)Pl,下列說法正確的是（）

A.開口方向相同B.頂點(diǎn)相同

C.對(duì)稱軸相同D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

【方法歸納】熟記一次函數(shù)丫=履+。在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（開口

方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等）是解決問題的關(guān)鍵.

四、課堂小結(jié)

開口向_____：當(dāng)

a>0」____時(shí)，y隨X的增大而增大，

對(duì)稱軸是_________,當(dāng)

」一時(shí)，），隨x的增大而減小

圖象的特頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________.

二次函數(shù)嚴(yán)加+k

占開口向_____.

3和）的圖象和性當(dāng)X_—時(shí)，y隨x的增大而增大，

a<0對(duì)稱軸是_________,

質(zhì)當(dāng)X_—時(shí)，y隨x的增大而減小

頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________.

平移規(guī)律k正向_____平移；k負(fù)向下_____平移.

當(dāng)堂檢測(cè)

1.對(duì)于拋物線尸2自1,下列說法中，正確的有（填序號(hào)）.

①頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）；②對(duì)稱軸為），軸；③開口方向向上；④可由拋物線產(chǎn)源向下平移1個(gè)單位得至IJ;

⑤GLyi）,（3”）是該拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則》V”.

2.已知拋物線嚴(yán)加+七

（1）若拋物線嚴(yán)加+人的形狀與尸源相同，開口方向相反，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0「3）,則該拋物線的函數(shù)表達(dá)

式是；

（2）若拋物線尸五+A向上平移兩個(gè)單位后得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為尸,則°=k=:

（3）若拋物線產(chǎn)加+A的最小值為4,且經(jīng)過點(diǎn)（1,5）,則該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是;將拋物線

產(chǎn)加+k向下平移3個(gè)單位，得到的新的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是.

3.二次函數(shù)吁3我處5）的圖象的頂點(diǎn)在x軸下方，求機(jī)的值.

4.已知二次函數(shù)產(chǎn)爐+%的圖象經(jīng)過點(diǎn)p(.2,3).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)畫出此二次函數(shù)的圖象；

(3)若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為與％軸正半軸的交點(diǎn)為A,求的面積.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.向上向下(0,0)(0,0)y軸)，軸減小增大增大減小

2.產(chǎn)2x+2直線)，=-2x-3是由直線y=-2x通過向下平移3個(gè)單位得到

二、新知預(yù)習(xí)

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

a>0開口向上y軸(0,k)

y=ax2+k

a<0開口向下y軸(0,k)

練習(xí)：1.向上y軸(0,-3)下32.尸2?+1(0,1)>0<0=0小1

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)產(chǎn)。爐+攵的圖象及平移

做一做：

(1)填表如下：

X???-1.5—1011.5???

yi=2x2???4.52024.5…

2.?????

y2=2x+l5.53135.5

(2)列表，連線如圖①所示：

(3)當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時(shí)，函數(shù)值以比y大1.

(4)函數(shù)沖=2?十1的圖象上的每一點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上相應(yīng)點(diǎn)的上方1個(gè)單位.

［針對(duì)訓(xùn)練】(1)產(chǎn)-W+3(2)尸＜2

圖②

探究點(diǎn)2：二次函數(shù)產(chǎn)苗十%的圖象和性質(zhì)

觀察填表如下：

二次函數(shù)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性

當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增

y=2x2向上(0,0)y軸

大而增大；

當(dāng)W0時(shí)，y隨x的增

2向上軸

y=2x+l(0,1)y大而減小

做一做：二次函數(shù)產(chǎn)一gx2,產(chǎn)一；P2,產(chǎn)一的圖象如圖②所示.

觀察與思考(1)向下(2))軸(或直線mO)(3)(0,2),(0,0),(0,-2)

(4)高大y=2y=0y=—2

(5)對(duì)稱軸左側(cè)；y隨x的增大而增大，對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小

【典例精析】EB【針對(duì)訓(xùn)練】C甌D【針對(duì)訓(xùn)練】D

二、課堂小結(jié)

上)，軸(0,k)>0<0下y軸(0,k)VO>0上下

當(dāng)堂檢測(cè)

1.②③④⑤

2.(1)y=-2r-3(2)-0.5-3(3)尸d+4+1

3.解：由題意得用2-4時(shí)3=2,且m-5<0,則m=-l.

4.解：(1)把(-2,3)代入產(chǎn)￡+%得4+"3,解得仁1,

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為尸尸1；

(2)拋物線產(chǎn)￡?1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?1),當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，戶1=0,解得汨=1,X2=-L則拋物線與入軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(1,0),如圖所示.

(3)設(shè)直線PD的表達(dá)式為廣區(qū)+"將點(diǎn)(23),(0,-1)代人得<'解得4,'即直線

PQ的表達(dá)式為尸-2x-L當(dāng)尸0時(shí)，2?1=0,解得4-；.設(shè)直線PO與x軸的交點(diǎn)為C,則C(一;,0)

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2.二次函數(shù)產(chǎn)“3+加的圖象與性質(zhì)

第2課時(shí)二次函數(shù)產(chǎn)a（x?〃）2的圖象與性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)面二次函數(shù)廣。（心力產(chǎn)的圖象.（重點(diǎn)）

2.掌握二次函數(shù)產(chǎn)〃（不力）2的性質(zhì).（難點(diǎn)）

3.比較函數(shù)尸or2與）=.（心〃）2的聯(lián)系.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.將直線產(chǎn)2x向右平移1個(gè)單位，新直線的表達(dá)式為.

2.拋物線），=加+封。＜0,攵＞0）的開口向，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.將拋物線

產(chǎn)公2向平移個(gè)單位，可得到拋物線嚴(yán)加+A.

思考：二次函數(shù)尸Kt/）2的圖象能否由尸加的圖象通過平移得到？

二、新知預(yù)習(xí)

在如圖①所示的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)產(chǎn)2?和產(chǎn)234）2的圖象.

（1）列表：

x-2-1012

y=2x2???…

y=2（x-l）2____________________________________________________________________…N

（2）描點(diǎn)、連線，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.1

觀察根據(jù)所畫出的圖象，在下表中填出這兩個(gè)函數(shù)的圖象的開口方向、

對(duì)稱軸和頂耳坐標(biāo).

x開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

*2x2--

y=2（x-i）2

圖①

思考這兩個(gè)函數(shù)的圖象之間有什么關(guān)系？

概括（1）通過觀察、分析，可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=2（X-1）2與y=&的圖象，開口方向相同，但對(duì)稱

軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)不同.

函數(shù)y=2（x-1）2的圖象可以看作是將函數(shù)y=*的圖象向平移個(gè)單位得到的.它的

對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（,）.

（2）可以由函數(shù)），=2?的性質(zhì)，得到函數(shù)），=2（x-1）2的性質(zhì)：

當(dāng)______時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減??；當(dāng)_____時(shí)，函數(shù)值隨工的增大而增大；當(dāng)_____時(shí)，函數(shù)取

得最值，最值￥=.

合作探究

五、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：二次函數(shù)廣〃（六加2的圖象和性質(zhì)

問題在圖②所示的坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=—（x+l）2,y=—（x—l）2的圖象，并分別指出它們的開口

方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

想一想通過上述例子，函數(shù)產(chǎn)a（x/）2的性質(zhì)是什么？

【要點(diǎn)歸納】二次函數(shù)產(chǎn)4。-力）2（和）的性質(zhì)

當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開口方向向上，對(duì)稱軸為直線尸力，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（小0）,當(dāng)戶力時(shí)，有最小值為0.當(dāng)“＜力

時(shí)，1隨X的增大而減??；〃時(shí)，y隨工的增大而增大.

當(dāng)時(shí)，拋物線開口方向向下，對(duì)稱軸為直線產(chǎn)兒頂點(diǎn)坐標(biāo)為（加0）,當(dāng)m人時(shí)，有最大值為。.當(dāng)xV/z

時(shí)，『隨x的增大而增大；彳＞/?時(shí)，『隨x的增大而減小.

【典例精析】

硒已知二次函數(shù)y=；（X-1）4

（3）寫出該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

（4）當(dāng)x取何值時(shí)，丁隨x的增大而增大？

（5）若3WxW5,求y的取值范圍;

想一想：若-1WXW5,求x的取值范圍;

（6）若拋物線上有兩點(diǎn)A（xi，＞,i）,8（x2，”），如果xiVx2〈l，試比較yi與方的大小.

探究點(diǎn)2：二次函數(shù)產(chǎn)"2與尸a（x?〃）2的關(guān)系

問題在圖②中畫出產(chǎn)的圖象，比較二次函數(shù)y=—*+1）2,產(chǎn)-f,丫=_（1一1）2的圖象，說一說他們

之間有什么關(guān)系.

【要點(diǎn)歸納】二次函數(shù)產(chǎn)與產(chǎn)。（六〃）2的關(guān)系

產(chǎn)av2向右平移h（/?>0）個(gè)單位得到廣，（x-?2；

產(chǎn)ar2向左平移h（/?>0）個(gè)單位得到產(chǎn)成r+/z）2.

左右平移規(guī)律：括號(hào)內(nèi)左加右減，括號(hào)外不變.

【典例精析】

酗將拋物線產(chǎn);x2向左平移2個(gè)單位后，得到的新拋物線的表達(dá)式是（）

11,11,

A.y=—（x+2）~B.y=—x~+2C.y=—（x-2）~D.y=-x—2

【針對(duì)訓(xùn)練】由拋物線產(chǎn)f平移得到拋物線產(chǎn)（X-3）2,則下列平移方式可行的是（）

A.向上平移3個(gè)單位B.向下平移3個(gè)單位

B.向左平移3個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位

恒已知二次函數(shù)尸;人將其圖象向右平移，使圖象過點(diǎn)（1,3）,求平移后的拋物線的表達(dá)式.

【針對(duì)訓(xùn)練】將拋物線），=以2向左平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-%且新拋物線經(jīng)過點(diǎn)

（1,-6）,求〃的值.

六、課堂小結(jié)

開口向_____,

aX)當(dāng)了時(shí)，y隨x的增大而增大，