2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)4分析法含解析北師大版選修2-2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(四)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．要證明eq\r(2)＋eq\r(7)>2eq\r(3)，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是()A．綜合法 B．分析法C．比較法 D．歸納法B[由分析法和綜合法定義可知選B.]2．若a，b∈R，則eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)成立的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)b>0 B．b>aC．a(chǎn)<b<0 D．a(chǎn)b(a－b)<0C[由a<b<0?a3<b3<0?eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)，但eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)不能推出a<b<0，∴a<b<0是eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)的一個(gè)充分不必要條件．]3．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0D[要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要證明(a2－1)(1－b2)≤0，即證(a2－1)(b2－1)≥0.]4．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿意什么條件()A．a(chǎn)2<b2＋c2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2>b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2C[由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．]5．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”，則索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0C[eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.]二、填空題6．設(shè)A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a>0，b>0)，則A，B的大小關(guān)系為_(kāi)_______．A≥B[∵A－B＝eq\f(a＋b,2ab)－eq\f(2,a＋b)＝eq\f(a＋b2－4ab,2aba＋b)＝eq\f(a－b2,2aba＋b)≥0，∴A≥B.]7．假如aeq\r(a)>beq\r(b)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿意的條件是______．a(chǎn)>b>0[要使aeq\r(a)>beq\r(b)成立，只需(aeq\r(a))2>(beq\r(b))2，只需a3>b3>0，即a，b應(yīng)滿意a>b>0.]8．如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(側(cè)棱與底面垂直)中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿意條件________時(shí)，有A1C⊥B1DB1D1⊥A1C1(答案不唯一)[要證明A1C⊥B1D只需證明B1D1⊥平面A1C因?yàn)镃C1⊥B1D1，只要再有條件B1D1⊥A1C1，就可證明B1D1⊥平面A1從而得B1D1⊥A1C1．三、解答題9．當(dāng)a＋b>0時(shí)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[證明]要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))eq\s\up16(2)，即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.因?yàn)閍2＋b2≥2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．因此不等式得證．10．已知三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，其面積為S，求證：a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[證明]要證a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S，只要證a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2eq\r(3)absinC，即證a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因?yàn)?absin(C＋30°)≤2ab，只需證a2＋b2≥2ab，明顯上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[實(shí)力提升練]1．已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，則()A.eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B.eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)C.eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D．以上均可能A[先取特別值檢驗(yàn)，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，則eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，滿意eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B，C不正確．要證eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，∴只需證a(b＋d)<b(a＋c)，即證ad<bc.只需證eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可證eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正確，D不正確．]2．下列不等式不成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)(a>0，b>0)C.eq\r(a)－eq\r(a－1)<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)D.eq\r(2)＋eq\r(10)>2eq\r(6)D[對(duì)于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca對(duì)于B，∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(a＋b))2＝a＋b，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)；對(duì)于C，要證eq\r(a)－eq\r(a－1)<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)成立，只需證明eq\r(a)＋eq\r(a－3)<eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，兩邊平方得2a－3＋2eq\r(aa－3)<2a－3＋2eq\r(a－2a－1)，即eq\r(aa－3)<eq\r(a－2a－1)，兩邊平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2．因?yàn)?<2明顯成立，所以原不等式成立；對(duì)于D，(eq\r(2)＋eq\r(10))2－(2eq\r(6))2＝12＋4eq\r(5)－24＝4(eq\r(5)－3)<0，∴eq\r(2)＋eq\r(10)<2eq\r(6)，故D錯(cuò)誤．]3．使不等式eq\r(3)＋2eq\r(2)>1＋eq\r(p)成立的正整數(shù)p的最大值是_______．12[由eq\r(3)＋2eq\r(2)>1＋eq\r(p)，得eq\r(p)<eq\r(3)＋2eq\r(2)－1，即p<(eq\r(3)＋2eq\r(2)－1)2，所以p<12＋4eq\r(6)－4eq\r(2)－2eq\r(3)，由于12＋4eq\r(6)－4eq\r(2)－2eq\r(3)≈12．7，因此使不等式成立的正整數(shù)p的最大值是12．]4．若直線2ax＋by－4＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－2x－4y－8＝0的面積，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為_(kāi)_______．eq\f(3,2)＋eq\r(2)[由條件知直線過(guò)圓心(1,2)，∴2a＋2b－4＝0，即a＋b＝2．∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(a＋b)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1＋\f(a,b)＋\f(2b,a)))≥eq\f(1,2)(3＋2eq\r(2))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2).]5．求證：以過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與直線x＝－eq\f(p,2)相切．[證明]如圖所示，過(guò)點(diǎn)A，B分別作AA′，BB′垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)A′，B′，取AB的中點(diǎn)M，作MM′垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)