2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章推理與證明2數(shù)學(xué)證明學(xué)案北師大版選修1-2

PAGE1-§2數(shù)學(xué)證明學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解演繹推理的概念．(重點(diǎn))2．駕馭演繹推理的基本模式，并能用它們進(jìn)行一些簡潔的推理．(重點(diǎn))3．能用“三段論”證明簡潔的數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))通過對演繹推理的理解及應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).1．證明(1)證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理．(2)證明的方法：演繹推理．2．演繹推理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：(1)大前提：供應(yīng)了一個一般性道理．(2)小前提：探討對象的特殊狀況．(3)結(jié)論：依據(jù)大前提和小前提作出的推斷．[特殊提示]運(yùn)用三段論推理時，?？墒÷源笄疤峄蛐∏疤?，對于困難的證明，也常把前一個三段論的結(jié)論作為下一個三段論的前提．1．下面幾種推理中是演繹推理的為()A．由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電B．猜想數(shù)列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,nn＋1)(n∈N＋)C．半徑為r的圓的面積S＝πr2，則單位圓的面積S＝πD．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推想空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2C[A，B為歸納推理，D為類比推理，C為演繹推理．]2．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，假如∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三全部班級中的人數(shù)都超過50人C．由平面三角形的性質(zhì)，推想空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，通過計算a2，a3，a4猜想出an的通項(xiàng)公式A[A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理．]3．函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：_____________________________________________；小前提：_____________________________________________；結(jié)論：_______________________________________________.[答案]一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù)函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線把演繹推理寫成三段論的形式【例1】將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；(2)三角形的內(nèi)角和為180°，Rt△ABC的內(nèi)角和為180°；(3)通項(xiàng)公式為an＝3n＋2(n≥2)的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．思路點(diǎn)撥：三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“假如b?c，a?b，則a?c.”其中，b?c為大前提，供應(yīng)了已知的一般性原理；a?b為小前提，供應(yīng)了一個特殊狀況；a?c為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果．[解](1)一切奇數(shù)都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇數(shù)．(結(jié)論)(2)三角形的內(nèi)角和為180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的內(nèi)角和為180°.(結(jié)論)(3)數(shù)列{an}中，假如當(dāng)n≥2時，an－an－1為同一常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列．(大前提)通項(xiàng)公式an＝3n＋2，n≥2時，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數(shù))．(小前提)通項(xiàng)公式為an＝3n＋2(n≥2)的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(結(jié)論)把演繹推理寫成“三段論”的一般方法1．用“三段論”寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提供應(yīng)了一個一般性原理，小前提供應(yīng)了一種特殊狀況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊狀況的內(nèi)在聯(lián)系．2．在找尋大前提時，要保證推理的正確性，可以找尋一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．1．將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)平行四邊形的對角線相互平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線相互平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，則∠A＝∠B.[解](1)平行四邊形的對角線相互平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提)菱形的對角線相互平分．(結(jié)論)(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，(小前提)∠A＝∠B.(結(jié)論)演繹推理在幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：DE＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理．思路點(diǎn)撥：用三段論的模式依次證明：(1)DF∥AE，(2)四邊形AEDF為平行四邊形，(3)DE＝AF.[解](1)同位角相等，兩直線平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(結(jié)論)(2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四邊形AEDF為平行四邊形．(結(jié)論)(3)平行四邊形的對邊相等，(大前提)DE和AF為平行四邊形AEDF的對邊，(小前提)所以DE＝AF.(結(jié)論)“三段論”證題的步驟及一般原理1．用“三段論”證明命題的步驟(1)理清晰證明命題的一般思路；(2)找出每一個結(jié)論得出的緣由；(3)把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來．2．幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊狀況，就能得出相應(yīng)結(jié)論．2．證明：假如梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個角．[解]已知在梯形ABCD中(如圖所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對角線，求證：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.證明：①等腰三角形的兩底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)∠1＝∠2.(結(jié)論)②兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，(大前提)∠1和∠3是平行線AD，BC被AC所截的內(nèi)錯角，(小前提)∠1＝∠3.(結(jié)論)③等于同一個量的兩個量相等，(大前提)∠2，∠3都等于∠1，(小前提)∠2和∠3相等．(結(jié)論)即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.演繹推理在代數(shù)中的應(yīng)用[探究問題]1．演繹推理的結(jié)論肯定正確嗎？[提示]演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論肯定正確．2．因?yàn)閷?shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)是增函數(shù)，而y＝logeq\f(1,3)x是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logeq\f(1,3)x是增函數(shù)．上面的推理形式和結(jié)論正確嗎？[提示]推理形式正確，結(jié)論不正確．因?yàn)榇笄疤崾清e誤的．【例3】已知a，b，m均為正實(shí)數(shù)，b<a，用三段論形式證明：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).思路點(diǎn)撥：利用不等式的性質(zhì)證明．[解]因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€正數(shù)，不等號不變更方向，(大前提)b<a，m>0，(小前提)所以mb<ma.(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁由弦粋€數(shù)，不等號方向不變，(大前提)mb<ma，(小前提)所以mb＋ab<ma＋ab，即b(a＋m)<a(b＋m)．(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁砸粋€正數(shù)，不等號方向不變，(大前提)b(a＋m)<a(b＋m)，a(a＋m)>0，(小前提)所以eq\f(ba＋m,aa＋m)<eq\f(ab＋m,aa＋m)，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).(結(jié)論)代數(shù)問題中常見的利用三段論證明的命題1．函數(shù)問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性等．2．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等．3．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)．5．不等式的證明．3．當(dāng)a，b為正實(shí)數(shù)時，求證：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).[解]因?yàn)橐粋€實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)，(大前提)而eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,2))－\r(\f(b,2))))2是一個實(shí)數(shù)的平方，(小前提)所以eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)是非負(fù)實(shí)數(shù)，即eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)≥0.所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).(結(jié)論)1．演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在著必定的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具．2．“三段論”的常用格式可以說明為大前提：M是P；(說明為M中的元素都具有P性質(zhì))小前提：S是M；(說明為S中的元素都是M中的元素)結(jié)論：S是P.(說明為S中的元素都具有P性質(zhì))3．三段論中的大前提供應(yīng)了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊狀況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊狀況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個命題——結(jié)論．三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個前提是否正確，推理形式(即S與M的包含關(guān)系)是否正確．1．推斷正誤(1)“三段論”就是演繹推理．()(2)演繹推理的結(jié)論是肯定正確的．()(3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()[答案](1)×(2)×(3)×2．用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2>0”，你認(rèn)為這個推理()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．是正確的A[這個三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a2>0”．明顯結(jié)論錯誤，緣由是大前提錯誤．]3．如圖所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因?yàn)椤鰽BC和△CDA的三邊對應(yīng)相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的兩個步驟中分別省略了________、________.[答案]大前提大前提4．用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(2)0.eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\