湖北省部分名校2024-2025學年高三上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

湖北部分名校新高考協(xié)作體屆高三1月聯(lián)考高三數(shù)學試題?8小題，每小題5分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知，則()A.1B.C.D.2.設(shè)集合，，，則()A.B.C.D.3.學校為促進學生課外興趣發(fā)展，積極開展各類校園社團活動，某同學計劃從美術(shù)、街舞等五個社團中選擇三個參加，若美術(shù)和街舞中最少選擇一個，則不同的選擇方法共有()A.7種B.8種C.9種D.10種4.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為A.B.C.D.5.若，則()A.B.C.D.6.作邊長為3的正三角形的內(nèi)切圓，再作這個圓的內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓，如此下去，則前n個內(nèi)切圓的面積之和為A.B.C.D.7.若是奇函數(shù)，則的值為()A.B.1C.D.8.已知橢圓上存在兩點，到點的距離相等，則橢圓離心率的取值范圍為A.B.C.D.3分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知圓錐的頂點為P，AB為底面圓O的直徑，，，點C在圓O上，則()第1頁，共1頁A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的體積為C.三棱錐體積的最大值為1D.該圓錐內(nèi)部最大的球的半徑為10.某校一數(shù)學興趣小組設(shè)計了一款飛行器模型，其平面圖的輪廓線C為：平面內(nèi)動點P到定點的距離與到定直線的距離之和為6，點P的軌跡為曲線C，則下列說法中正確的有()A.曲線C關(guān)于y軸對稱B.點在曲線C的內(nèi)部C.若點在C上，則D.曲線C上到直線和到點F的距離相等的點有無窮多個11.已知函數(shù)，則下列命題中正確的是A.0是的極小值點B.有可能有三個零點C.當時，D.若存在極大值點，且，其中，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12.對于隨機事件A，B，若，，，則.13.如圖所示，已知中，點P，Q，R依次是邊BC上的三個四等分點，若，，則.14是邊長為2的正方形ABCD在平面上的投影光線、、、互相平行與平面所成角為ABCD，在轉(zhuǎn)動過程中保持平面且ABCD與平面所成角為的第1頁，共1頁體積的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知數(shù)列的前n項和為，若，求若，為數(shù)列的前n項和，求16.本小題15分記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知求已知邊，求的取值范圍.17.本小題15分如圖在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，平面ABCD，，若G為EC中點，證明：平面在棱EC上有一點M，且M到平面BCF的距離為，求二面角的正弦值.第1頁，共1頁18.本小題17分已知雙曲線的上下頂點分別是MNF的直線l與雙曲線的上支交于PQ兩點在y軸左側(cè)求直線l斜率的取值范圍；若，求直線l的方程；探究直線MP和直線NQ的斜率之比是否為定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，請說明理由.19.本小題17分1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，算法之一為：若函數(shù)和滿足下列條件：①，②在點a的去心鄰域內(nèi)與可導(dǎo)，且③，那么據(jù)此回答下面問題：求的值，并用導(dǎo)數(shù)的定義證明：已知ⅰ求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;ⅱ若對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.第1頁，共1頁答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.先計算z，再求【解答】解：因為，所以，所以，則，所以故選2.【答案】D【解析】【分析】本題考查了交并補混合運算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)補集和并集的定義結(jié)合已知條件進行求解即可.【解答】解：因為，，則，又因為，則故選3.【答案】C【解析】【分析】本題考查了排列組合，屬于基礎(chǔ)題.分兩種情況進行討論，結(jié)合組合知識進行求解即可.【解答】解：由題知共有兩種情況，第一種情況：美術(shù)、街舞都選，則需從剩余的三個社團中選擇一個，共有種選擇方法;第二種情況：美術(shù)、街舞中選擇一個，則還需從剩余的三個社團中選擇兩個，共有種選擇方法，第1頁，共1頁故不同的選擇方法共有種.故選4.【答案】D【解析】【分析】本題考查了利用單調(diào)性求參，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)對稱性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可.【解答】解：因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得：故選5.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二倍角正弦、余弦、正切公式，屬于中檔題.利用二倍角的正弦、余弦、正切公式化簡即可.【解答】解：，，，，故選：6.【答案】B【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的概念及其前n項和公式，屬于中檔題.首先得到第n個內(nèi)切圓的半徑和第n個正三角形的邊長間的關(guān)系，進而得到內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系為等比數(shù)列，代入求和公式即可.第1頁，共1頁【解答】解：設(shè)第n個正三角形的內(nèi)切圓半徑為，第n個正三角形的邊長為，可知正三角形內(nèi)切圓半徑是正三角形邊長的，又半徑為的圓內(nèi)接三角形的邊長滿足，即，所以，，即從第二個正三角形開始，每個正三角形的邊長是前一個的，每個正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個正三角形內(nèi)切圓半徑的，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則，設(shè)前n個內(nèi)切圓的面積和為，則，故選7.【答案】A【解析】【分析】本題考查了利用函數(shù)奇偶性求參，對數(shù)型函數(shù)定義域，屬于中檔題.根據(jù)已知條件得到，求出a，結(jié)合函數(shù)的定義域及，求出b，進而可得結(jié)果.第1頁，共1頁【解答】解：函數(shù)的定義域需滿足，即，又函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域關(guān)于坐標原點對稱，即，解得，所以定義域為又，即，所以故選8.【答案】D【解析】【分析】本題考查了求橢圓的離心率，屬于中檔題.AB中點為，則，，得到AB中垂線方程：，得出，進而可得結(jié)果.【解答】解：設(shè)AB中點為，則，，由題意，點在線段AB中垂線上，坐標代入橢圓方程得，所以，所以AB中垂線方程：，令，則，又，所以，，故選9.【答案】BCD【解析】【分析】本題考查圓錐的側(cè)面積，圓錐的體積，棱錐的體積，以及球的切接問題，屬于中檔題.根據(jù)題干條件及所需知識點逐個分析即可.第1頁，共1頁【解答】解：對于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯誤;對于B，該圓錐的體積為，B正確;對于C，當C為中點時，體積最大為1，C正確;對于D，當球與圓錐內(nèi)切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設(shè)為，球半徑為r，過向PB作垂線，垂足為D，則，又，所以，所以，D正確，故選：10.【答案】ACD【解析】【分析】本題考查曲線與方程，屬于中檔題.根據(jù)題意列等式，去根號和絕對值，即可求解曲線C的軌跡方程，從而對各選項逐一判斷.【解答】解：設(shè)點，因為點P到定點的距離與到定直線的距離之和為6，所以，當時，得，兩邊平方得，當時，得，兩邊平方得，對于A，由圖易知，兩段拋物線弧均關(guān)于y軸對稱，故曲線C關(guān)于y軸對稱，故A正確；對于B，如圖，曲線C由兩段拋物線弧組成，在中，令，得，故點不在曲線C的內(nèi)部，故B錯誤；第1頁，共1頁對于C，若點在上，得，所以，若點在上，同理得，故C正確；D，F(xiàn)為焦點，為準線，故D正確.故選：11.【答案】ACD【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)中的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題.討論a的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而判斷A，B；當時，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，判斷，的大小關(guān)系，進而判斷C；若存在極大值點，則，即，因為，化簡等式，即可判斷【解答】解：由題意可得，令，當時，得或，對于A，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，第1頁，共1頁所以在處取得極小值；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對于B，只有一個零點，故B錯誤；對于C，當時，在上單調(diào)遞減，又，，所以，故C正確；對于D，若存在極大值點，則，即，因為，所以，所以，，即，又，所以，故D正確.故選：12.【答案】【解析】【分析】本題考查條件概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.利用條件概率計算即可求解.【解答】解：，且，，，，則故答案為：13.【答案】8第1頁，共1頁【解析】【分析】本題考查向量的加法、減法、數(shù)乘運算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.利用平面向量的四則運算，得到，可得，，再化簡，即可求解.【解答】解：，，故答案為：14.【答案】【解析】【分析】本題考查了空間距離的計算，線面平行的判定與性質(zhì)，線面垂直的判定，直線與平面所成的角，柱體的體積公式，屬于中檔題.首先證明多面體為直四棱柱，再求出該棱柱的底面邊長和高即可.【解答】解：因為，，，AB、平面，所以平面，因為平面，平面，且平面平面，所以，又因為，所以為平行四邊形，所以，同理可得，又因為，所以多面體為直四棱柱，作交于點M，所以平面平面，第1頁，共1頁又因為平面，所以作于N，所以，即，又，、平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，即，所以在中由正弦定理得，，，點B到直線的距離為，所以多面體的體積，化簡得，當且僅當時取等.故答案為15.【答案】解：，當時，，當時，，，，第1頁，共1頁，又，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，，，又時也滿足上式，；，，，【解析】本題考查等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的遞推關(guān)系，分組法求和，屬于中檔題.利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解即可；采用分組轉(zhuǎn)化求和法求解即可.16.【答案】解：由，可得，即，所以，即，因為，所以，又，所以；由正弦定理可得，第1頁，共1頁，因為為銳角三角形，則，解得，，所以的取值范圍是【解析】本題考查正弦定理解三角形，屬于中檔題.根據(jù)已知等式和正弦定理，化簡即可求解.利用正弦定理得到的取值范圍，從而得解.17.【答案】解：證明：連接BD交AC于N，連接GN，GF，是菱形，，且N是AC的中點，且，，，且，四邊形BNGF是平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，，又因為，且AC、平面EAC，平面EAC，平面EAC，又平面EAC，，四邊形ABCD是菱形，，，，G為EC中點，，又因為，且EC、平面EFC，平面EFC；第1頁，共1頁，平面ABCD，平面ABCD且，以N為原點，NC，NB，NG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，設(shè)平面BCF的法向量為，則，取，得到x1，z1，故平面BCF的一個法向量為，M在棱CE上，設(shè)，點M到平面BCF的距離，，故，又，，設(shè)平面MBD的法向量為，第1頁，共1頁，取，得y2，z2，故平面MBD的一個法向量為，又平面ABCD的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，，綜上，二面角的正弦值為【解析】本題考查利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，線面垂直的判定，利用空間向量求點、線、面之間的距離，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.利用幾何關(guān)系得到，，即可證明；M面之間的夾角.18.【答案】解：當直線l的斜率不存在時，此時直線l與雙曲線交于上下頂點，與題意矛盾；故直線l的斜率一定存在，可設(shè)直線l的方程為：，，，聯(lián)立，得，所以，令，解得；第1頁，共1頁依題，解得，因為，所以，故，直線方程為；，，，由，可知，代入上式得為定值.【解析】本題考查圓錐曲線與向量的綜合，雙曲線中定值問題，屬于中檔題.設(shè)直線l的方程為：，，即可；由題意得，又，求解即可得k，從而得到直線方程;得到直線MP和直線NQ的斜率之比表達式，將根與系數(shù)表達式代入即可證明.19.【答案】解：，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：因為，定義域為R，所以，令