中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)重難點(diǎn)練習(xí)專題26 二次函數(shù)與定值定點(diǎn)問題（解析版）

專題26二次函數(shù)與定值定點(diǎn)問題直擊中考1．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除、外），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點(diǎn)．試問，是否為定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②是，定值為，理由見解析【分析】（1）由當(dāng)時(shí)，，可知，是的兩根，代入方程可得從而得解；（2）①把代入拋物線解析式可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而得知線段軸，利用配方法可知點(diǎn)F坐標(biāo)，從而利用求面積；②設(shè)，用待定系數(shù)法求出直線與直線的解析式，再令得，，從而得出，的長，從而得到是定值8．【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，，∴，是的兩根，，∴，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）①把代入得：，．又當(dāng)，，，線段軸．，，；②設(shè)，直線，，因此可得：或，解得：或，直線，．令得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識，掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若四邊形為矩形，．點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止．當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線圖像上的動(dòng)點(diǎn)．若過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別與線段、相交于點(diǎn)、，求證：為定值．【答案】(1)；頂點(diǎn)為(2)或(3)見解析【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，將、代入，進(jìn)行計(jì)算即可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；（2）依題意，秒后點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為，則，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為，分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，進(jìn)行解答即可得；（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)得，根據(jù)直線與拋物線圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，直線的解析式為：，聯(lián)立，結(jié)合已知，解得：，同理可得：，運(yùn)用三角函數(shù)求出GH，GK即可得．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，將、代入得：，解得，，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，又，，頂點(diǎn)為；（2）解：依題意，秒后點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為，則，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為．①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上得，當(dāng)或時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似；（3）解：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，直線與拋物線圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，△，即：，解得：，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，直線的解析式為：，聯(lián)立，結(jié)合已知，解得：，同理可得：，則：，，，的值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式等知識，聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系求出點(diǎn)和的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意，分情況討論，①過點(diǎn)作關(guān)于的對稱點(diǎn)，即可求P的坐標(biāo)，②軸上取一點(diǎn)，使得，則，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；（3）設(shè)，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求得，即可求解．【詳解】（1）解：∵由二次函數(shù)，令，則，，過點(diǎn)，，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，，解得，，（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，拋物線的對稱軸為，①如圖，過點(diǎn)作關(guān)于的對稱點(diǎn)，，，，，②軸上取一點(diǎn)，使得，則，設(shè)，則，，解得，即，設(shè)直線CD的解析式為，，解得，直線CD的解析式為，聯(lián)立，解得或，，綜上所述，或，（3）的值是定值，設(shè)，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，，，即，，，，，．即的值是定值【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，角度問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于除原點(diǎn)和點(diǎn)，且其頂點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的對稱軸上存在定點(diǎn)，使得拋物線上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離總相等．①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．證明：當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，是定值，并求出該定值；（3）點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，在軸，軸上分別找點(diǎn)，使四邊形周長最小，直接寫出的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；，證明見解析（3），【分析】（1）先求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，在設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，即可求出其解析式；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合題目已知列出等量關(guān)系；設(shè)直線的解析式為，直線與拋物線交于點(diǎn)，直線方程與拋物線聯(lián)立得出，在結(jié)合的結(jié)論，分別表示出的值，即可求解；（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求【詳解】解：（1）點(diǎn)B關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為拋物點(diǎn)過原點(diǎn)解得拋物線解析式為：即（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為由題意可得：整理得：點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為，直線與拋物線交于點(diǎn)整理得：由得整理得：（3）點(diǎn)在拋物線上，如圖：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)則點(diǎn)，點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則此時(shí)四邊形PQBC周長最小設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)間距離公式，以及線段最值問題，以及點(diǎn)的對稱問題，綜合性較強(qiáng)5．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)值：x…0123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是拋物線對稱軸上長為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點(diǎn)E．試問：線段的長是否為定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用平移和找對稱點(diǎn)的方式，將的長轉(zhuǎn)化為，再利用兩點(diǎn)之間線段最短確定的最小值等于CE的長，加1后即能確定的最小值；（3）設(shè)出圓心和D點(diǎn)的坐標(biāo)，接著表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓心到B點(diǎn)的距離等于圓心到D點(diǎn)的距離，求出q和e的關(guān)系，得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定EF的長為定值．【詳解】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)（0,3）代入解析式得：3=a+4，∴，∴拋物線解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由表格可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0），C（0,3），如圖3，將A點(diǎn)向上平移一個(gè)單位，得到，則∴四邊形是平行四邊形，∴，作關(guān)于MQ的對稱點(diǎn)E，則∴，∴，當(dāng)P、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，最短，設(shè)直線CE的解析式為：，將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：，∴，∴直線CE的解析式為：，令，則，∴當(dāng)時(shí)，P、E、C三點(diǎn)共線，此時(shí)最短，∴的最小值為．（3）是；理由：設(shè)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱，所以圓心位于該直線上，所以可設(shè)的外接圓的圓心為，作，垂足為點(diǎn)N，則，由軸，∴，∵，且由表格數(shù)據(jù)可知∴，化簡得：，∵點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且拋物線解析式為，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的長不變，為1．【點(diǎn)睛】本題涉及到了動(dòng)點(diǎn)問題，綜合考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、點(diǎn)的平移、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握相關(guān)概念與公式，能將題干信息與圖形相結(jié)合，挖掘圖中隱含信息，本題有一定的計(jì)算量，對學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力都有較高的要求，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．6．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊）．（1）的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上．①如圖（1），若點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；②如圖（2），若點(diǎn)在拋物線上，且的面積是12，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（3），是原點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證的值是定值．【答案】（1）①，；②點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，令y=0，求出，點(diǎn)E在拋物線上，求出縱坐標(biāo)為，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出；②連，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，與點(diǎn)在拋物線上，得到，再由則，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用求解即可；方法二：先用待定系數(shù)法求出直線與直線l的表達(dá)式，根據(jù)直線l與拋物線有唯一的交點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，再求出結(jié)果．【詳解】（1）解：①∵拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊），∴令=0，解得：，，∴，∵點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，∴，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴∴；②設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．∵四邊形是平行四邊形，∴將沿平移可與重合，點(diǎn)坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴．解得，，所以．連，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為．則，∵，，∴．∴，解得，（不合題意，舍去）．∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）方法一：證明：依題意，得，，∴設(shè)直線解析式為，則，解得．∴直線的解析式為．同理，直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為．聯(lián)立，消去得．∵直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，．聯(lián)立，且，解得，，同理，得．∵，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴．∴．∴的值為．方法二：證明：同方法一得直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為，與拋物線唯一公共點(diǎn)為．聯(lián)立，消去得，∴．解得．∴直線的解析式為．聯(lián)立，且，解得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．同理，點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，∴．∴的值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形面積、方程組等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，學(xué)會(huì)用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于壓軸題．7．（2020·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4【分析】（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標(biāo)，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得G和H的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長，直接代入計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，m），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1﹣，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當(dāng)四邊形PGHQ為正方形時(shí)，邊長為6+2或2﹣6；（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），延長BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF為定值4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長，可解決問題．8．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點(diǎn)A（3，0）．(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時(shí)，求拋物線的解析式；(2)證明：無論m為何值，拋物線必過定點(diǎn)D，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，連接AB，PD交于點(diǎn)M，PD與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)S=S△PAM－S△BMN，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S有最大值？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)證明見解析，；(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4），．過程見解析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，從而求得m，進(jìn)而求得拋物線的解析式；（2）將拋物線的解析式變形為：y=－x2+m（2x+3），進(jìn)而根據(jù)2x+3=0，求得x的值，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）將S變形為：S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP－S△AOB，設(shè)P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)P和點(diǎn)D坐標(biāo)代入，從而求得PD的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得S關(guān)于m的解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當(dāng)2x+3=0時(shí)，即時(shí)，，∴無論m為何值，拋物線必過定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)是；（3）如圖，連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式為：y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP-S△AOB，∵，當(dāng)x＝0時(shí)，y=-x2+2x+3＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)求最值、三角形的面積等知識，解決問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和變形S，轉(zhuǎn)化為常見的面積計(jì)算．9．（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B．(1)求a的值；(2)將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？(3)Q是x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)M恰好在拋物線F上．試探究：此時(shí)無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)a＝2(2)m＝﹣(3)存在，G（0，﹣）【分析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)式可直接得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線F可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可分別表達(dá)A，B的縱坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出m的值；（3）過點(diǎn)Q作x軸的垂線KN，分別過點(diǎn)P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，則△PKQ∽△QNG，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可表達(dá)點(diǎn)Q和點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，，．（2）解：直線與拋物線，分別交于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，的最大值為4，，解得，，．（3）解：存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，點(diǎn)在軸正半軸上，且，，，，，．如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，分別過點(diǎn)，作軸的平行線，與分別交于，，，，，，，，，即．，，，解得．．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形得出方程進(jìn)行求解．10．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1．

(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，．(2)【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請直接寫出△HME的面積值．【答案】(1)（0，），，(2)，4）或（，4）(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；（2）先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；（3）如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解即可；（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），則，求出，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出，則；同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近H的黃金分割點(diǎn)時(shí)△HME的面積．【詳解】（1）解：由題意得拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程分別為（0，），，故答案為：（0，），，（2）解：由題意得拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程為，∵點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（，4）；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，）直線l的解析式為：y＝﹣，∴，，∴△FDB∽△FHC，∴，∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∵，∴△AEF∽△BDF，∴，∴，∵，∴，∴EF=2，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），∴，∴，∴，解得（負(fù)值舍去）；（4）解：如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），∴，∴，∴HN=2，∵點(diǎn)E是靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)，∴，∴；同理當(dāng)E時(shí)靠近H的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)，，∴，∴，綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．11．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．(1)當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)或(3)是，【分析】(1)解方程組，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，兩種情形求解．(3)設(shè)直線A的解析式為y=px+q，根據(jù)題意求得p，q的值，結(jié)合方程組的意義，確定與y軸的交點(diǎn)即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，整理得到，解方程，得，當(dāng)x=-3時(shí)，y=-9；當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-9），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1）．（2）∵A，B是拋物線圖像上的點(diǎn)，設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），當(dāng)k＞0時(shí)，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個(gè)根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=