2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計與概率5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征學(xué)案新人教B版必修第二冊

PAGE1-5．1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)基本數(shù)字特征理解數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征：最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)據(jù)分析數(shù)字特征的應(yīng)用會用數(shù)字特征解決相關(guān)問題數(shù)學(xué)運算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P61－P67的內(nèi)容，思索以下問題：1．?dāng)?shù)據(jù)的數(shù)字特征主要有哪些？2．實際問題是如何用數(shù)字特征刻畫的？3．方差與標(biāo)準(zhǔn)差有什么關(guān)系？1．最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反應(yīng)的是這組數(shù)最極端的狀況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．2．平均數(shù)(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xi＝nt；其中符號“∑”表示求和，讀作“西格瑪”.(2)求和符號的性質(zhì)：①eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,)xi＋eq\i\su(i＝1,n,)yi；②eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,)xi；③eq\i\su(i＝1,n,)t＝nt；④eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(axi＋b)＝aeq\o(x,\s\up6(－))＋b．3．中位數(shù)、百分位數(shù)(1)假如一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；假如一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．(2)設(shè)一組數(shù)依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，x3，…，xn，計算i＝np%的值，假如i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取xi0為p%分位數(shù)；假如i是整數(shù)，取eq\f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數(shù)．特殊地，規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值)．4．眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．5．極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)極差：一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．(2)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2．(3)假如a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)方差的算術(shù)平方根為標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的離散程度．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)．()(2)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．()(3)一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，且穩(wěn)定在平均數(shù)旁邊．()答案：(1)×(2)√(3)√奧運會體操競賽的計分規(guī)則為：當(dāng)評委亮分后，其成果先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分?jǐn)?shù)的平均值，這是因為()A．削減計算量 B．避開故障C．剔除異樣值 D．活躍賽場氣氛解析：選C.因為在體操競賽的評分中運用的是平均分，記分過程中采納“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分?jǐn)?shù)對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公允．已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________，25%分位數(shù)為________．答案：65樣本中共有5個個體，其值分別為a，0，1，2，3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為________．解析：由題意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以樣本方差為s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2利用概念求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)某電冰箱專賣店出售容積為182L、185L、228L、268L四種型號的同一品牌的冰箱，每出售一臺，售貨員就做一個記錄，月底得到一組由15個268，66個228，18個185和11個182組成的數(shù)據(jù)．(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有實際意義嗎？(2)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少？(3)專賣店總經(jīng)理關(guān)切的是中位數(shù)還是眾數(shù)？【解】(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有實際意義，對專賣店經(jīng)營沒有任何參考價值．(2)這組數(shù)據(jù)共有110個，中位數(shù)為228，眾數(shù)為228.(3)專賣店總經(jīng)理最關(guān)切的是眾數(shù)，眾數(shù)是228，說明容積為228L型號的冰箱銷售量最大，它能為專賣店帶來較多的利潤，所以這種型號的冰箱要多進些．eq\a\vs4\al()一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是眾數(shù)，它是我們關(guān)切的一種集中趨勢，通常選擇眾數(shù)進行決策．若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位數(shù)是3.5，則其眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．解析：由題意eq\f(x＋3.4,2)＝3.5，x＝3.6，所以眾數(shù)是3.2，平均數(shù)是eq\f(1,6)(3.2＋3.4＋3.2＋3.6＋3.9＋3.7)＝3.5.答案：3.23.5利用三數(shù)——平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)解決問題某校欲聘請一名數(shù)學(xué)老師，學(xué)校對甲、乙、丙三位候選人進行了三項實力測試，各項測試成果滿分均為100分，依據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用．三位候選人的各項測試成果如下表所示：測試項目測試成果甲乙丙教學(xué)實力857373科研實力707165組織實力647284(1)假如依據(jù)三項測試的平均成果，誰將被錄用，說明理由；(2)依據(jù)實際須要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項實力測試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成果，誰將被錄用，說明理由．【解】(1)甲的平均成果為：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成果為：(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成果為：(73＋65＋84)÷3＝74，所以候選人丙將被錄用．(2)甲的測試成果為：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的測試成果為：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的測試成果為：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，所以候選人甲將被錄用．eq\a\vs4\al()5、3、2即各個數(shù)據(jù)的“權(quán)”，反映了各個數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度，按加權(quán)平均數(shù)來錄用．小王數(shù)學(xué)成果分別為：測驗一得89分，測驗二得78分，測驗三得85分，期中考試得90分，期末考試得87分，假如依據(jù)平常、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王該學(xué)期的總評成果應(yīng)當(dāng)為多少？解：小王平常測試的平均成果eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(89＋78＋85,3)＝84(分)．所以eq\f(84×10%＋90×30%＋87×60%,10%＋30%＋60%)＝87.6(分)．所以小王該學(xué)期的總評成果應(yīng)當(dāng)為87.6分．極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差某社區(qū)打算在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參與集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的總成果(單位：環(huán))相同，小宇依據(jù)他們的成果繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表，并計算了甲成果的平均數(shù)和方差(見小宇的作業(yè))．小宇的作業(yè)：解：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(9＋4＋7＋4＋6)＝6，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]＝eq\f(1,5)(9＋4＋1＋4＋0)＝3.6.甲、乙兩人射箭成果統(tǒng)計表第1次第2次第3次第4次第5次甲成果94746乙成果757a7(1)a＝________；eq\o(x,\s\up6(－))乙＝________；(2)請完成圖中表示乙成果改變狀況的折線；(3)①視察圖，可看出________的成果比較穩(wěn)定(填“甲”或“乙”)．參照小宇的計算方法，計算乙成果的方差，并驗證你的推斷．②請你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中．【解】(1)由題意得：甲的總成果是：9＋4＋7＋4＋6＝30，則a＝30－7－7－5－7＝4，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝30÷5＝6，故答案為：4，6；(2)如圖所示：(3)①視察圖，可看出乙的成果比較穩(wěn)定，故答案為：乙；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6，由于seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,甲)，所以上述推斷正確．②因為兩人成果的平均水平(平均數(shù))相同，依據(jù)方差得出乙的成果比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中．eq\a\vs4\al()此題主要考查了方差的定義以及折線圖和平均數(shù)的意義，依據(jù)已知得出a的值進而利用方差的意義比較穩(wěn)定性即可．某工廠甲、乙兩名工人參與操作技能培訓(xùn)．現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參與的若干次測試成果中隨機抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參與操作技能競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪名工人參與合適？請說明理由．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分、84分．(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85分，所以seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①從平均數(shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲，乙的成果好于甲；③從方差來看，因為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成果較穩(wěn)定；④從數(shù)據(jù)特點看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙的成果好些；⑤從數(shù)據(jù)的改變趨勢看，乙后幾次的成果均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力．綜上分析可知，甲的成果雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成果的次數(shù)及發(fā)展勢頭等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢，所以應(yīng)派乙參賽更有望取得好成果．1．已知一組數(shù)據(jù)2，1，x，7，3，5，3，2的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．2 B．2.5C．3 D．5解析：選B.由眾數(shù)的意義可知x＝2，然后依據(jù)從小到大的依次排列這組數(shù)據(jù)，則中位數(shù)應(yīng)為eq\f(2＋3,2)＝2.5.2．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，方差是eq\f(1,3)，那么另一組數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均數(shù)和方差分別為()A．2，eq\f(1,3) B．2，1C．4，eq\f(2,3) D．4，3答案：D3．樣本101，98，102，100，99的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.eq\r(2) B．0C．1 D．2解析：選A.樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝100，方差為s2＝2，所以標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(2)，故選A.4.eq\i\su(i＝1,5,)（2i－1）＝.解析：eq\i\su(i＝1,5,)(2i－1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：255．甲、乙兩人競賽射飛鏢，兩人所得的平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)的方差為13，乙所得環(huán)數(shù)如下：2，5，6，9，8，則成果比較穩(wěn)定的是________．解析：由題意知eq\o(x,\s\up6(－))乙＝6，seq\o\al(2,乙)＝6<seq\o\al(2,甲)，則乙的成果比較穩(wěn)定．答案：乙[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知一組數(shù)據(jù)3，a，4，5的眾數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B.由數(shù)據(jù)3，a，4，5的眾數(shù)為4，可得a為4，再求這組數(shù)據(jù)3，4，4，5的平均數(shù)為4.2．小華所在的年級一班共有50名學(xué)生，一次體檢測量了全班學(xué)生的身高，由此求得該班學(xué)生的平均身高是1.65米，而小華的身高是1.66米，則下列說法錯誤的是()A．1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平B．班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會超過25人C．這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不肯定是1.65米D．這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不肯定是1.65米解析：選B.本題考查了一組數(shù)據(jù)中中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的概念及三者的取法，由平均數(shù)所反映的意義知A選項正確，由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項正確，由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項正確，由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極大、小值的影響，故B選項錯誤．3．某排球隊12名隊員的年齡如下表所示：年齡/歲1819202122人數(shù)/人14322則該隊隊員年齡的眾數(shù)與中位數(shù)分別是()A．19歲，19歲 B．19歲，20歲C．20歲，20歲 D．20歲，22歲解析：選B.由眾數(shù)的定義可知，數(shù)據(jù)19出現(xiàn)的次數(shù)最多達(dá)4次，12個數(shù)據(jù)中，由小到大排列后第6個與第7個位置上的數(shù)都是20，這兩個數(shù)的平均數(shù)也是20.所以該隊隊員年齡的眾數(shù)與中位數(shù)分別是19歲，20歲．4．已知一組數(shù)據(jù)：12，5，9，5，14，則下列說法不正確的是()A．平均數(shù)是9 B．中位數(shù)是9C．眾數(shù)是5 D．極差是5解析：選D.數(shù)據(jù)描述類的題目，主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差的計算，題目數(shù)據(jù)比較簡潔，先從簡潔的眾數(shù)入手，C是正確的，其次從小到大排列5，5，9，12，14，B是正確的，再算平均數(shù)，所以A也正確，故選擇D.5．現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個數(shù)的平方和是100，那么這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.由s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，即標(biāo)準(zhǔn)差s＝1.6．某校為了豐富校內(nèi)文化，實行初中生書法大賽，決賽設(shè)置了6個獲獎名額，共有11名選手進入決賽，選手決賽得分均不相同．若知道某位選手的決賽的得分，要推斷他是否獲獎，只需知道這11名學(xué)生決賽得分的()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．眾數(shù) D．方差解析：選A.由中位數(shù)的概念，即最中間一個或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；可知11人成果的中位數(shù)是第6名的得分．依據(jù)題意可得：參賽選手要想知道自己是否能進入前6名，只須要了解自己的得分以及全部得分的中位數(shù)，比較即可．7．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模愛好班．其中甲班有40人，乙班有50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，則該校數(shù)學(xué)建模愛好班的平均成果是________分．解析：由題意得，該校數(shù)學(xué)建模愛好班的平均成果是eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分)．答案：858．某住宅小區(qū)6月份隨機抽查了該小區(qū)6天的用水量(單位：噸)，結(jié)果分別是30、34、32、37、28、31，那么，請你估計該小區(qū)6月份(30天)的總用水量約是________噸．解析：(30＋34＋…＋31)÷6＝32，所以估計該小區(qū)6月份(30天)的總用水量約是32×30＝960(噸)．答案：9609．某學(xué)校抽查了某班級某月5天的用電量，數(shù)據(jù)如下表(單位：度)：度數(shù)91011天數(shù)311(1)求這5天用電量的平均數(shù)；(2)求這5天用電量的眾數(shù)、中位數(shù)；(3)學(xué)校共有36個班級，若該月按22天計，試估計該校該月的總用電量．解：(1)因為(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6，所以這個班級5天用電量的平均數(shù)為9.6度．(2)眾數(shù)是9度，中位數(shù)是9度．(3)因為9.6×36×22＝7603.2，所以估計該校該月的總用電量為7603.2度．10．甲、乙兩名射擊運動員參與某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成果如下表(單位：環(huán))．甲108999乙1010799假如甲、乙兩人只有1人入選，你認(rèn)為應(yīng)如何選擇？解：甲的平均數(shù)為：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(10＋8＋9＋9＋9)＝9.乙的平均數(shù)為：eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(10＋10＋7＋9＋9)＝9.甲的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(8－9)2]＝eq\f(2,5).乙的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2]＝eq\f(6,5).甲、乙兩人平均數(shù)相同，但seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，說明乙的波動性大，故應(yīng)讓甲入選．[B實力提升]11．(2024·湖南省張家界市期末聯(lián)考)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9，(x，y∈N)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選A.由這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因為不要干脆求出x、y，只要求出|x－y|，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.故選A.12．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務(wù)期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事務(wù)在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)記為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，肯定符合該標(biāo)記的是()A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為3解析：選D.依據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，選項A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，假如數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項D中，依據(jù)方差公式，假如有大于7的數(shù)存在，那么方差不會為3，故選D.13．一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，中位數(shù)為22，則x＝________．解析：由題意知eq\f(x＋23,2)＝22，則x＝21.答案：2114．對劃艇運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.依據(jù)以上數(shù)據(jù)，試推斷他們誰更優(yōu)秀．解：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝eq\f(198,6)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈15.7；eq