2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、放縮問題【課件】

第六章數(shù)列補(bǔ)上一課數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、放縮問題1.數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.2.證明數(shù)列不等式，有時(shí)需要應(yīng)用放縮法結(jié)合數(shù)列的求和解決，求解的方法有先放縮再求和或先求和再放縮.題型一奇偶項(xiàng)問題角度1含有(－1)n的類型例1

已知bn＝(－1)nn2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解∵bn＝(－1)nn2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]所以Tn>Sn；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]所以Tn>Sn.綜上可知，當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.感悟提升1.含有(－1)n的數(shù)列求和問題一般采用分組(并項(xiàng))法求和；2.對(duì)于通項(xiàng)公式奇、偶項(xiàng)不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.訓(xùn)練1(2024·青島模擬)已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝13，a＝3a4，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a2－1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以an＝a1·qn－1＝3n－1，所以b1＝a1＝1，b2＝a2－1＝2，所以等差數(shù)列{bn}的公差為1，故bn＝1＋(n－1)×1＝n.所以c2n－1＋c2n＝－(2n－1)·32n－1＋2n·32n－1＝32n－1＝a2n，所以T20＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c19＋c20＝(c1＋c2)＋(c3＋c4)＋…＋(c19＋c20)題型二放縮問題感悟提升先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，再對(duì)數(shù)列求和(可以等差、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減、分組求和、倒序相加、裂項(xiàng)相消求和等)，再對(duì)最后的和進(jìn)行放縮，完成解題目標(biāo).感悟提升解得x＝2k＋1(k∈Z)，所以方程|f(x)|＝2的正數(shù)解從小到大依次為1，3，5，7，…，所以an＝2n－1.課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN2.設(shè)cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1)解因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，公比q≠－1，則a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋