《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》同步學(xué)案情境導(dǎo)入滿天繁星的夜空,偶爾流星劃過,留下一道明亮的光線.一些星星連線構(gòu)成一個(gè)星座圖.我們知道,流星線可以看成由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的線,星座圖可以看成由若干條相交的線構(gòu)成.據(jù)此大家思考,空間中的點(diǎn)、直線、平面如何用向量表示呢?自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量________來表示.我們把向量________稱為點(diǎn)P的_________.2.空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向就能唯一確定一條直線l.用向量表示直線l,就是用點(diǎn)A和直線l________的來表示直線上的任意一點(diǎn).設(shè)a是直線l的方向向量,在直線l上取向量AB=a,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得_________,即_______.進(jìn)一步地,取定空間中的任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使________,3.取定空間任意一點(diǎn)O,空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使__________.若直線l?α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的________.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過點(diǎn)A,且以向量a為的平面完全確定,可以表示為集合_________.答案:1.OPOP位置向量2.方向向量AP=taAP=tAB3.OP=OA+xAB預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.若A10-1,B212在直線A.1B.1C.3D.-32.直線l1與l2不重合,直線l1的方向向量v1=-112,直線l23.已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量a=23A.1B.2C.-2D.-1答案1.B解析:AB=2.垂直解析:因?yàn)関1?v23.C解析:顯然向量a與b不平行,設(shè)該平面的法向量為n=xyz,則有a?n=0,b?n=0,新知探究探究點(diǎn)1直線的方向向量知識(shí)詳解空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)方向確定.如圖,A是直線l上一點(diǎn),在直線l上取非零向量e,我們把與向量e平行的非零向量稱為直線l的方向向量.注意:(1)直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè),哪個(gè)易求求哪個(gè).(2)利用直線上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線的方向向量可以確定直線的位置,進(jìn)而利用向量的運(yùn)算可以確定直線上任一點(diǎn)的位置.典例探究例1在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A201,B(2,6,3),P是直線AB上一點(diǎn),且滿足AP:PB=3:2,則直線AB的一個(gè)方向向量為___________,解析:AB=062由AP:PB=3:2,得AP=設(shè)Pxyz,即x-2=0,y=18解得x=2,y=18所以直線AB的一個(gè)方向向量是062,點(diǎn)P的坐標(biāo)為答案:0變式訓(xùn)練1已知向量a=2-13和b=(-4,2x2,6x)A.-1B.1或-1C.-3D.1答案:A解析:由題意得a//b,所以2x探究點(diǎn)2平面的法向量知識(shí)詳解設(shè)向量:設(shè)平面的法向量為n選向量:在平面內(nèi)選兩個(gè)不共線向量AB列方程組:由n?解方程組:解方程組賦值:取x,y,z中一個(gè)為某值(常取±1)得結(jié)論:得到平面的一個(gè)法向量典例探究例2如圖,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA?平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,求平面解析:因?yàn)榕c平面垂直的向量為平面的法向量,所以先觀察圖中有無垂直于平面的直線,若有,利用直接法求出;若沒有,設(shè)出法向量n,再利用待定系數(shù)法求解.答案:因?yàn)锳D,AB,AS是三條兩兩垂直的線段,所以以A為原點(diǎn),以AD,AB,AS的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A00設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量n=1λu則n?所以λ=-1同理,n?所以u(píng)=12,所以即n=1-1變式訓(xùn)練2已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為B答案:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系(不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C所以AM=設(shè)平面AMN的法向量為n=則n取y=2,則x=-3,z=-4,所以n=-32-4易錯(cuò)易混解讀例下列說法正確的個(gè)數(shù)是()(1)若向量AB是直線l的一個(gè)方向向量,則向量BA也是l的一個(gè)方向向量.(2)若向量a是直線l的一個(gè)方向向量,則向量ka也是直線l的一個(gè)方向向量(3)若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反.(4)一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè),它們是共線向量.(5)一個(gè)平面的法向量就是這個(gè)平面的垂線的方向向量.A.2 B.3 C.4 D.5 錯(cuò)解:由于直線的方向向量只有一個(gè),故(1)(2)錯(cuò)誤;(3)正確,(4)(5)正確,故選B.錯(cuò)因分析:對(duì)方向向量的概念掌握不到位,認(rèn)為方向向量是唯一的,造成錯(cuò)解.正解:根據(jù)方向向量以及法向量的概念,知(1)(3)(4)(5)均正確.對(duì)于(2),當(dāng)k=0時(shí)不成立,故選C.糾錯(cuò)心得:(1)在空間中,一個(gè)向量成為直線的方向向量必須滿足以下兩個(gè)方面的限制:(1)不能為零向量;(2)向量所在的直線與該直線平行或重合.(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線l的方向向量,且直線l的方向向量有無數(shù)個(gè).課堂檢測(cè)1.已知直線l過點(diǎn)A321,B222,且aA.2B.-2C.3D.-32.已知點(diǎn)A100,B0A.-1B.1C.-D.33.已知點(diǎn)A100,B14.已知AB=221,答案:1.B解析:AB=-101,由題意知,a//AB,則存在實(shí)數(shù)λ,使a=λAB,即22.C解析:由題意得AB=-110,AC=-101.設(shè)n=xy3.1解析:設(shè)平面ABC的法