廣東省三校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024－2025學(xué)年度下學(xué)期廣東省三校二月第一次模擬考試高三年級數(shù)學(xué)?試題參加學(xué)校：諾德安達學(xué)校，金石實驗中學(xué)，英廣實驗學(xué)校注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，請2B用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因所以，所以，故選：D.2.函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理，即可判斷.【詳解】和都是增函數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，，，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一零點，所以函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為.故選：B3.已知為橢圓上一動點，分別為其左右焦點，直線與的另一交點為的周長為16.若的最大值為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則由題設(shè)得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C．4.某醫(yī)院對該院歷年來新生兒體重情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性即可求解.【詳解】因為,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，且，所以，所以.故選：B.5.若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用扇形面積公式計算即可.【詳解】扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積.故選：B.6.三棱錐中，，平面，，，則直線和直線所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將三棱錐放到長方體中，然后利用長方體的特征和余弦定理求角即可.【詳解】如圖，將三棱錐放到長方體中，由題意知，∥，所以或其補角是直線和直線所成角，因為，，所以，，，.故選：C.7.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示．若此正八面體的棱長為，則下列說法正確的是（）A.正八面體的體積為B.正八面體的表面積為C.正八面體的外接球體積為D.正八面體的內(nèi)切球表面積為【答案】D【解析】【分析】把正八面體補形為正方體，求得正方體棱長為，利用正八面體和正方體的關(guān)系即可求解.【詳解】把正八面體補形為如圖所示正方體，因為正八面體棱長為，則正方體的棱長為選項A，正八面體的體積，設(shè)四棱錐的高為，則，所以，A錯誤；選項B，正八面體的表面積為八個面面積和，故，B錯誤；選項C，正八面體的外接球半徑為正方體棱長的一半，故，所以外接球體積，C錯誤；選項D，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則根據(jù)正八面體體積相等，，所以所以內(nèi)切球表面積為.D正確.故選：D.【點睛】思路點睛：補形法是解決正多面體的體積表面積外接球內(nèi)切球問題的常用方法，本題把正多面體補形為正方體，找到正多面體和正方體的關(guān)系，利用正方體和正多面體的棱長的關(guān)系，即可解決所求正多面體的體積表面積外接球和內(nèi)切球問題.8.已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（）A.3，3 B.3，－1 C.－1，3 D.－2，－2【答案】D【解析】【分析】由切線在的函數(shù)值求得，由切線的斜率得到.【詳解】由題意得，.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則A的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，結(jié)合角的范圍及函數(shù)值可得答案.【詳解】依題可得，即，則或，因為，所以或或．故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.是周期函數(shù)C. D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、周期性的定義可判斷A、B；由，可判定C；由與在上的單調(diào)性和值域，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可判斷的單調(diào)性.【詳解】易知的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，A正確；由，所以是周期函數(shù)，B正確；由，C錯誤；當(dāng)時，，且單調(diào)遞增，此時，時，，且單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增C.若方程有實根，則D.設(shè)定義域為的函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，且與的圖象共有2022個交點，記為，則的值為4044【答案】ACD【解析】【分析】對于A.根據(jù)題意改寫函數(shù)得到新解析式即可判斷；對于B.可用特殊值法判斷錯誤，也可根據(jù)增函數(shù)定義進行判斷；對于C.令寫出a的解析式即可判斷a的取值范圍；對于D根據(jù)題意可知和關(guān)于中心對稱，所以交點關(guān)于中心對稱，即對稱的橫或縱坐標(biāo)之和為2,由此得出答案.【詳解】對于A.由解析式可知是奇函數(shù)，故A正確；對于B.特殊值法，即，若，則在上不是單調(diào)遞增，故B錯誤.對于C.令，分離參數(shù)后，故，C正確；對于D.由A可知，當(dāng)時，關(guān)于中心對稱，且關(guān)于中心對稱，所以這2022個交點關(guān)于對稱，故，D正確.故選：ACD【點睛】思路點睛：①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)；②關(guān)于對稱中心對稱的兩個點，兩個點橫坐標(biāo)之和等于兩倍對稱中心的橫坐標(biāo)，兩個點縱坐標(biāo)之和等于兩倍對稱中心的縱坐標(biāo).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，，，則______.【答案】【解析】【分析】由余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】∵，，，∴由余弦定理可得：，∴解得：.故答案為：.13.在的展開式中，含的項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項式展開式通項公式寫出含的項，即可得答案.【詳解】的展開式中，含的項的系數(shù)是.故答案為：14.若圓與軸相切，則實數(shù)的值是_____.【答案】【解析】【分析】求得圓心與半徑，進而可得，求解即可.【詳解】由，可得，方程表示圓，則可得圓心為，半徑為，由圓與軸相切，則可得，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取到極值.（1）求的值；（2）當(dāng)時，證明；（3）如果，，滿足，那么稱比更靠近，當(dāng)且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由.【答案】（1）1（2）證明見解析（3）比更靠近，理由見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求解；（2）由題意可知：不等式為，令，用導(dǎo)數(shù)法證明；（3）設(shè)，，分，，比較大小即可.【小問1詳解】解：由，求導(dǎo)，由，則，解得：，的值為1；【小問2詳解】證明：由題意可知：不等式左邊為，設(shè)，則.，恒成立，∴在單調(diào)遞增；，∴，【小問3詳解】設(shè)，，∵，，∴在上為減函數(shù)，又，∴當(dāng)時，;當(dāng)時，.在上為增函數(shù)，又，∴時，，∴在上為增函數(shù)，∴.①當(dāng)時，，設(shè)，則，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，∴，∴，∴比更靠近.②當(dāng)時，，設(shè)，則，令,則，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，∴，∴，∴比更靠近.綜上，在，時，比更靠近.【點睛】方法點睛：證明不等式，往往轉(zhuǎn)化為，令，由證明.16.某運動產(chǎn)品公司生產(chǎn)了一款足球，按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)這款足球產(chǎn)品可分為一級正品?二級正品?次品共三個等級.根據(jù)該公司測算：生產(chǎn)出一個一級正品可獲利100元，一個二級正品可獲利50元，一個次品虧損80元.該運動產(chǎn)品公司試生產(chǎn)這款足球產(chǎn)品2000個，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，如下表：等級一級正品二級正品次品頻數(shù)1000800200（1）求這2000個產(chǎn)品的平均利潤是多少；（2）該運動產(chǎn)品公司為了解人們對這款足球產(chǎn)品的滿意度，隨機調(diào)查了100名男性和100名女性，每位對這款足球產(chǎn)品給出滿意或不滿意的評價，得到下面的列聯(lián)表：滿意不滿意總計男性3268100女性6139100總計93107200問：能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價有差異？附：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）62（元）.（2）能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價有差異.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)平均數(shù)計算公式即可；（2）計算出卡方值再與臨界值比較即可.【小問1詳解】依題意可得平均利潤為（元）.【小問2詳解】假設(shè)：男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價無差異，依題意可得，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價有差異.17.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）當(dāng)為何值時，數(shù)列是等比數(shù)列？（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，，點在直線上，在（1）的條件下，若不等式對于但成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義求解即可；（2）由題意可得，從而可得是等差數(shù)列，進而可求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求出，再利用分離參數(shù)法求解即可.小問1詳解】由，得，兩式相減得，即，所以，由及，得，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以只需要，解得，此時，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得，因為點在直線上，所以，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時，，滿足該式，所以，不等式，即，令，則，兩式相減得，所以，由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則的最小值為，所以實數(shù)的最大值是.18.已知圓的圓心坐標(biāo)為，且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若動圓與圓相外切，又與軸相切，求動圓圓心的軌跡方程；（3）直線與圓心軌跡位于軸右側(cè)的部分相交于兩點，且，證明直線必過一定點，并求出該定點.【答案】（1）（2）或（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，，根據(jù)圓心到直線求出半徑，即可得解；（2）根據(jù)拋物線的定義即可得解；（3）設(shè)，，，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，，再根據(jù)求出，即可得解.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，，由圓心到直線的距離為，由弦長公式可得，解得，可得圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，由動圓與圓相外切，又與軸相切，，當(dāng)；當(dāng)，故可得動圓圓心的軌跡方程為或；【小問3詳解】設(shè)代入拋物線，消去得，設(shè)，，則，，∴，令，∴，∴，∴直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.19.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：（）左、右焦點分別為，，離心率為，經(jīng)過且傾斜角為（）的直線l與C交于A，B兩點（其中點A在x軸上方），且的周長為8.現(xiàn)將平面沿x軸向上折疊，折疊后A，B兩點在新圖象中對應(yīng)的點分別記為，，且二面角為直二面角，如圖所示.（1）求折疊前C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時，折疊后，求平面與平面夾角的余弦值；（3）探究是否存在使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求出得解；（2）法一，以原來的軸為軸，軸正半軸所在直線為軸，軸負(fù)半軸所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用公式求解；法二，由三維空間三角形面積的計算公式求得，，根據(jù)投影面積法求解；（3）設(shè)折疊前，則折疊后，，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)折疊前后的周長關(guān)系得到，變形得到，代入兩根之和，兩根之積，求出，進而求出的值.【小問1詳解】由題意得：，解得.故折疊前橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問2詳解】當(dāng)時，直線的方程為：，聯(lián)立，解得，，以原來的軸為軸，軸正半軸所在直線為軸，軸負(fù)半軸所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則：，，，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，，故，.平面的一個法向量為，