河北省石家莊市2024-2025學年高一上學期期末數(shù)學試題【含答案解析】

石家莊市2024～2025學年度第一學期期末教學質(zhì)量檢測高一數(shù)學（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合交集的概念，即可求解.【詳解】由集合，集合B由，所有偶數(shù)構(gòu)成，集合A中只有-2,2兩個偶數(shù)，故.故選：B.2.已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，根據(jù)條件求出，然后根據(jù)函數(shù)的解析式，列出不等式求得定義域.【詳解】設，∵函數(shù)的圖象過點，∴，則，∴，∴，∴且，即，則函數(shù)的定義域為.故選：D.3.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求絕對值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關系即可判斷充分、必要關系.【詳解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A4.已知，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先使用誘導公式，將要求的式子進行化簡，然后再將帶入即可完成求解.【詳解】由已知使用誘導公式化簡得：，將代入即.故選：A.5.已知定義在R上函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x)，且函數(shù)f(x)在(﹣∞，0)上是減函數(shù)，若則a，b，c的大小關系為（）A.a<c<b B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得（1），，進而分析可得在上為增函數(shù)，又由，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則函數(shù)為偶函數(shù)，（1），，又由函數(shù)在上是減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且，則；故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應用，考查指數(shù)對數(shù)大小的比較，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．6.若“，使成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為，使成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題，求導確定最值即可求解.【詳解】若“，使成立”是假命題，則“，使成立”是真命題，即，；令，則，則在上單增，，則.故選：C.7.“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量（億噸）與時間（年）滿足函數(shù)關系式，已知經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為（億噸）．若該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要實現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.13年 B.14年 C.15年 D.16年【答案】D【解析】【分析】由條件列式先確定參數(shù)，再結(jié)合對數(shù)運算解方程.【詳解】由題意可得，即，所以，令，即，故，即，可得，即．故選：D8.已知定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，令，推得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】由題意知：，可得，且，即，令，不妨設，可得，則，即，所以在上單調(diào)遞減，則不等式，且，轉(zhuǎn)化為，因為，所以，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由作差法結(jié)合題意可判斷選項正誤.【詳解】對于A，，因，則，故A錯誤；對于B，，因，則，故B正確；對于C，，因，則，故C正確；對于D，，因，故，故D正確.故選：BCD10.如圖，函數(shù)（，，）的部分圖象，則（）A.的最小正周期為B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.直線是圖象的一條對稱軸【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出函數(shù)的解析式，再逐項分析判斷.【詳解】觀察函數(shù)圖象知，，函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，而，則，，對于A，的最小正周期為，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，當時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對于D，，直線是圖象的一條對稱軸，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，關于的方程有6個不同的實數(shù)根，則下列選項正確的是（）A.函數(shù)的零點個數(shù)為1 B.實數(shù)的取值范圍為C.函數(shù)無最值 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】對于ACD，由題可畫出大致圖象，據(jù)此可判斷選項正誤；對于B，由有6個不同根，可得和共有6個根，其中的兩根為，然后由數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合二次方程根的分布知識可得答案.【詳解】由題可得的圖象大致如下.對于A，由圖可得零點有3個，故A錯誤；對于B，由題可得和共有6個根，即圖象與直線，共有6個交點.其中的兩根為，則判別式為或.注意到，結(jié)合圖象可得，同號，且一個大于1，一個小于1大于0.設，則，由圖可得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故B正確；對于C，由函數(shù)圖象可得無最值，故C正確；對于D，由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的零點所在區(qū)間為，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】利用零點存在性定理以及函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.【詳解】在上遞增，，所以的零點在區(qū)間，所以的值為.故答案為：13.若函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)過定點可得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)性質(zhì)，利用復合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知，令，可得,因此函數(shù)的圖象經(jīng)過定點；即；所以，顯然，解得或；即函數(shù)的定義域為；利用二次函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，利用復合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：14.科技的發(fā)展改變了世界，造福了人類，我們生活中處處享受著科技帶來的“紅利”.例如主動降噪耳機讓我們在嘈雜的環(huán)境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲（如圖所示）.已知某噪聲聲波曲線為，且經(jīng)過點，降噪芯片生成的降噪反向聲波曲線為.下述四個結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；③對于，都有；④.使得.其中所有正確結(jié)論的編號是______.【答案】①③【解析】【分析】由經(jīng)過可求出的解析式，利用圖象平移得到解析式，進而可以得到的解析式，就可判斷①；求出相位的取值范圍，再結(jié)合正弦曲線即可判斷②；求的值，可判斷③，利用，分、、三種情況求的化簡式可判斷④.【詳解】因經(jīng)過，所以，即，解得，又，所以，則對于①，令函數(shù)的周期為T，則由圖可知，將噪聲聲波曲線向左平移，即可得到降噪反向聲波曲線，所以;所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故①對；對于②，因為，當時，，所以在時單調(diào)遞增，故②錯；對于③，，所以恒為0，故③對；對于④，當時，，當時，，當時，，故④錯誤；故答案為：①③四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，及；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），，.（2）.【解析】【分析】（1）運用集合交、并、補運算即可.（2）分別解、、時一元二次不等式的解集，結(jié)合集合包含關系求解即可.【小問1詳解】當時，，又則，，.【小問2詳解】因為，所以，又①當時，，顯然成立；②當時，，顯然不成立；③當時，，因為，，所以，即此時.綜上，.故的取值范圍為.16.已知不等式的解集是.（1）求常數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.（3）若關于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用韋達定理，由一元二次不等式的解集求系數(shù)；（2）由二次函數(shù)單調(diào)性的特征，求實數(shù)的取值范圍；（3）由一元二次不等式恒成立的條件，求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】不等式的解集是，和3是方程的解，且，∴，解得.【小問2詳解】若在上單調(diào)遞減，則，解得，則實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】若關于的不等式的解集為，則，解得，實數(shù)的取值范圍為.17.已知銳角的終邊與單位圓相交于點.（1）求實數(shù)及的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意列式即可求解m，再由正切函數(shù)定義即可得解；（2）由銳角的終邊上點的坐標求得，結(jié)合余弦兩角和公式和倍角公式即可計算得解；（3）由和角的范圍，求得，再巧妙地把所求轉(zhuǎn)化為，然后借助正弦兩角差公式即可計算得解.【小問1詳解】由于點在單位圓上，且是銳角，可得，，則，；【小問2詳解】因為銳角的終邊與單位圓相交于點，所以，，可得，，所以.【小問3詳解】因為為銳角，所以，又，所以，因為，所以，所以.18.近年來，某市認真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向.為擴大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計劃在如圖所示的扇形區(qū)域OMN內(nèi)修建矩形水池ABCD，矩形一邊AB在OM上，點在圓弧MN上，點在邊ON上，且，米，設.（1）求扇形OMN的面積；（2）若，求矩形ABCD的面積；（3）若矩形ABCD的面積為，當為何值時，取得最大值，并求出這個最大值.【答案】（1）平方米.（2）平方米.（3），最大值.【解析】【分析】（1）由扇形面積公式可得；（2）根據(jù)，求得和的長度，即可求得矩形的面積；（3）利用直角三角形利用半徑與分別表示出，進而可得矩形面積表達式，利用輔助角公式將化簡變形，結(jié)合角的范圍求最大值可得.【小問1詳解】由題意，，扇形半徑即米，則扇形OMN的面積為平方米.【小問2詳解】因為，在中，，，在中，，則，所以.則矩形ABCD的面積.所以當時，矩形ABCD的面積平方米.【小問3詳解】在中，，，在中，，則，所以.則矩形ABCD的面積，所以，其中.由于，則當時，即時，.所以當時，取得最大值，最大值為.19.已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）若對，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正實數(shù)，使得在上的取值范圍是？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）直接由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，單調(diào)性的定義證明即可.（2）將原問題轉(zhuǎn)換為不等式對恒成立.通過換元法以及對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.（3）由函數(shù)單調(diào)性以及換元法轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題即可得解.【小問1詳解】