新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第12講 不等式大小關(guān)系及不等式的解法（解析版）

第12講不等式大小關(guān)系及不等式的解法【知識點(diǎn)總結(jié)】一、基本概念不等關(guān)系與等量關(guān)系一樣，也是自然界中存在的基本數(shù)量關(guān)系，他們在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在.不等關(guān)系建立在表示數(shù)量的代數(shù)式之間，可以是常量、變量及稍復(fù)雜的代數(shù)式.用不等號（如“”，“”，“”，“”，“”等）連接的式子叫做不等式，其中“”或“”連接的不等式叫做嚴(yán)格不等式；用“”或“”連接的不等式叫做非嚴(yán)格的不等式.不等式可分為絕對值不等式（不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，不等式都成立）、條件不等式（只能用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，不等式才能夠成立）和矛盾不等式（不論用什么樣的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.二、基本性質(zhì)不等式的性質(zhì)是證明和解不等式的主要依據(jù).運(yùn)用時，對每一條性質(zhì)要弄清條件和結(jié)論，注意條件加強(qiáng)和放寬厚條件和結(jié)論之間的變化；不僅要記住不等式運(yùn)算法則的結(jié)論形式，還要掌握法則成立的條件，避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤.1.兩個不等式的同向合成，一律為“”（充分不必要條件）（1）（傳遞性，注意找中間量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意條件為正）2.一個不等式的等價變形，一律為“”（充要條件），這是不等式解法的理論依據(jù)（1）.（2）（對稱性）（3）（乘正保號性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保號性，注意條件為正）（7）（開方保號性，注意條件為正）（8）（同號可倒性）；.三、一元一次不等式（）（1）若，解集為.（2）若，解集為（3）若，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為四、一元一次不等式組（）（1），解集為.（2），解集為（3），解集為（4），解集為五、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為六、簡單的一元高次不等式的解法簡單的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具體步驟如下.例如，解一元高次不等式（1）將最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)（2）將分解為若干個一次因式或二次不可分因式（）（3）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線（注意重根情況，偶次方根切而不過，奇次方根既穿又過，簡稱“奇穿偶不穿”）.（4）根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的的值的符號變化規(guī)律寫出不等式的解集.七、分式不等式（1）（2）（3）（4）八、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【典型例題】例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高三期中（文））下列說法正確的有（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】A：若，則（），故A錯誤；B：若，則，所以，所以B正確；C：若，則，所以C錯誤；D：若，則，故D錯誤.故選：B.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個命題中，為真命題的是（）A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，則a2＞b2D．若a＞b，則【答案】C【詳解】當(dāng)c＝0時，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確．故選：C．例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）實(shí)數(shù)，，滿足且，則下列關(guān)系成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可得，利用完全平方可得由可得，所以，，，綜上，故選：D例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是或，則的值是___________.【答案】0【詳解】由題意，得：，且，2是方程的兩根，則，，解得，，則.故答案為：0.例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，.若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】由，得，得，所以，由，得，得，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以集合是集合的真子集，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解答關(guān)鍵是將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合是的真子集.例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_____．【答案】【詳解】當(dāng)時，不等式為有實(shí)數(shù)解，所以符合題意；當(dāng)時，不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向下，所以不等式有實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時，要使不等式有實(shí)數(shù)解，則需滿足，可得，所以，綜上所述：的取值范圍是，故答案為：.例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為_______【答案】【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立，所以符合題意；當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，則，解得：，綜上所述的取值范圍為：，故答案為：.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（）A．< B．a(chǎn)2>b2C．> D．a(chǎn)|c|>b|c|【答案】C【分析】舉特例即可判斷選項(xiàng)A，B，D，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可作答.【詳解】當(dāng)a=1，b=-2時，滿足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性質(zhì)得，C正確；當(dāng)c=0時，a|c|>b|c|不成立，排除D，故選：C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，求得，且，即可求解.【詳解】由，可得，又由，可得，因?yàn)椋傻?，所以，即的取值范圍?故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））下列說法正確的個數(shù)為（）①若a>|b|，則a2>b2；②若a>b，c>d，則a－c>b－d；③若a>b，c>d，則ac>bd；④若a>b>0，c<0，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正確；②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，則2－3<1－(－2)，故②錯誤；③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，則4×(－1)<1×(－2)，故③錯誤；④∵a>b>0，∴0<<且c<0，∴，∴④正確．故選：B4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，則m，n的大小關(guān)系為（）A．m＞n B．m≥nC．m＜n D．m≤n【答案】B【分析】運(yùn)用作差法進(jìn)行比較即可得到答案.【詳解】因?yàn)閙－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.所以m≥n.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知－3<a<－2，3<b<4，則的取值范圍為（）A．(1，3)B．C．D．【答案】A【分析】先求出a2的范圍，利用不等式的性質(zhì)即可求出的范圍.【詳解】因?yàn)椋?<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范圍為(1，3)，故選：A．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)＜＜＜1，則()A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜abC．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aa【答案】C【分析】先由題得到0＜a＜b＜1，再比較選項(xiàng)數(shù)的大小.【詳解】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案為C【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查比較法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三個不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】討論三種情況，利用不等式的性質(zhì)，逐一判斷即可.【詳解】（1）若以①②為條件，③為結(jié)論.則，因?yàn)椋?，故，即；則此時可以組成真命題；（2）若以①③為條件，②為結(jié)論.則由，即，結(jié)合，故可得.則此時可以組成真命題；（3）若以②③為條件，①為結(jié)論.則由，即，結(jié)合，即可得.則此時可以組成真命題.故可以組成正確命題的個數(shù)是：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若α，β滿足，則2α－β的取值范圍是A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－<2α－β< D．0<2α－β<π【答案】C【分析】由不等式的同向可加性得到，結(jié)合將右側(cè)范圍進(jìn)一步縮小，即可得到答案【詳解】由知：由知：∴又∵即∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，應(yīng)用不等式的同向可加性及同減相同的數(shù)符號不變，求范圍9．（2021·山東·濟(jì)寧市教育科學(xué)研究院高三期末）若集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡兩個集合A、B，再對兩個集合取并集.【詳解】故故選：C10．（2021·吉林·高三階段練習(xí)（文））設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求命題、對應(yīng)x的范圍，根據(jù)必要不充分條件列不等式求的取值范圍即可.【詳解】由題設(shè)，，，∵是的必要不充分條件，∴，解得.故選：A11．（2021·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】對分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】當(dāng)時，，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時，由題得且，所以.綜上：.故選：C12．（2012·重慶·高三階段練習(xí)（理））若不等式的解集是，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，利用韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)、的值，即可得解.【詳解】由題意可知，關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，且有，由韋達(dá)定理可得，解得，因此，.故選：B.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（）A． B．(－∞，1) C．∪(1，＋∞) D．【答案】A【分析】化簡不等式為，結(jié)合分式不等式的解法，即可求解.【詳解】原不等式，可化為，即，結(jié)合分式不等式的解法，解得，即不等式的解集為.故選：A.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可化簡集合，利用交集的定義即求.【詳解】由題意得，即，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，解得，所以集合，解不等式得，故集合，所以.故選：B．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式與指數(shù)不等式得到集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：由可得，可得，所以集合，，所以.故選：C.16．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過解不等式分別求出集合A，B，再求出.【詳解】解不等式得，則；解不等式得，則.所以，.故選：D.17．（2021·河北邢臺·高三階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三個“二次”的關(guān)系即得.【詳解】的解集是，和是方程的解.由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得.故選：D.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若關(guān)于的不等式的解集為或，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分式不等式化簡后根據(jù)解集即可得出答案.【詳解】根據(jù)原不等式可以推出，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以，是方程的兩根，且，所?故選:A19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有5個整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出不等式的解，由其中只有5個整數(shù)得出不等關(guān)系，從而求得參數(shù)范圍．【詳解】原不等式變形為，時，原不等式才有解．且解為，要使其中只有5個整數(shù)，則，解得．故選：D．20．（2021·山東·新泰市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象可以為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可得和是方程的兩個根，求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出.【詳解】由題可得和是方程的兩個根，且，，解得，則，則函數(shù)圖象開口向下，與軸交于.故選：C.21．（2021·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高三階段練習(xí)）二次不等式的解集為，則的值為（）A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與方程根的關(guān)系求解即可.【詳解】不等式的解集為，，原不等式等價于，由韋達(dá)定理知，，，，．故選：D．二、多選題22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，則【答案】BC【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可求解.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時，不等式不成立，故本命題是假命題；選項(xiàng)B:，，所以本命題是真命題；選項(xiàng)C:，，所以本命題是真命題；選項(xiàng)D:若時，顯然不成立，所以本命題是假命題；故選：BC．三、填空題23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，，那么，，的大小關(guān)系為_____________.【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)以及作差法即可比較大小.【詳解】由，，則，，，又，所以，所以.故答案為：24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、x滿足，則、、中的最大數(shù)為______【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：兩邊同乘得，兩邊同乘得，所以故、、中的最大數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）比較大?。篲_____（用“”或“”符號填空）．【答案】【分析】因?yàn)閮蓚€數(shù)都是正數(shù)，所以平方后，再做差比較大小.【詳解】解：，故，故，故答案為：26．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則_______．（用“>”或“<”填空）【答案】>【分析】作差，判斷差的符號可得答案.【詳解】因?yàn)?又，，所以，所以，故答案為：>.27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：解：，，，，的取值范圍是：．故答案為：.28．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因此得：，，，因?yàn)椋裕虼?，所?故答案為：29．（2019·江蘇·高三專題練習(xí)）不等式的解集是________．【答案】【分析】先由不等式化為，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椴坏仁降葍r于，即，解得：或；故原不等式的解集是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查解不等式，熟記絕對值不等式的解法以及一元二次不等式的解法即可，屬于?？碱}型.30．（2020·全國·高三專題練習(xí)）在上定義運(yùn)算，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值