新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第14講 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量(解析版)_第1頁
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文檔簡介

第14講等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量【知識點總結(jié)】一、基本概念1.數(shù)列(1)定義.按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當(dāng)自變量時,所對應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2.等差數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項公式.若等差數(shù)列的首項是,公差是,則其通項公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項.若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即或.在一個等差數(shù)列中,從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.(4)等差數(shù)列的前項和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)為且常數(shù)項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.3.等比數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項公式.等比數(shù)列的通項,是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).(5)等比數(shù)列的前項和 二、基本性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項的推廣.當(dāng)時,則有,特別地,當(dāng)時,則有.(2)等差數(shù)列線性組合.①設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.②設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特別地若,則有最大值(所有正項或非負(fù)項之和);若,則有最小值(所有負(fù)項或非正項之和).(4)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項和為,則為等差數(shù)列,公差為.3.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項的推廣.若時,則,特別地,當(dāng)時,.(2)①設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.②設(shè)與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定).當(dāng)或時,為遞增數(shù)列;當(dāng)或時,為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項和為,則為等比數(shù)列,公比為(當(dāng)時,不為偶數(shù)).4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.【典型例題】例1.(2022·全國·高三專題練習(xí))等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為()A.-24 B.-3C.3 D.8【答案】A【詳解】根據(jù)題意得,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得d=0(舍去),d=-2,所以數(shù)列{an}的前6項和為.故選:A例2.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列的前項和為,且,則()A.38 B.50 C.36 D.45【答案】D【詳解】.故選:D例3.(2022·全國·高三專題練習(xí))等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=()A. B. C. D.【答案】C【詳解】因為S3=a2+10a1,所以a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即=9a1,解得=9,又因為a5=9,所以=9,解得,故選:C.例4.(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,若S10∶S5=1∶2,則S15∶S5=()A. B. C. D.【答案】A【詳解】解析:∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且其前n項和記為Sn,∴S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列.∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,∴等比數(shù)列S5,S10-S5,S15-S10的公比為=-.∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.∴S15=S5+S10=S5.∴S15∶S5=.故選:A.例5.(2020·全國·高考真題(理))北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為,第一層共有n環(huán),則是以9為首項,9為公差的等差數(shù)列,,設(shè)為的前n項和,則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為,因為下層比中層多729塊,所以,即即,解得,所以.故選:C例6.(2019·海南·嘉積中學(xué)高三階段練習(xí))已知是等差數(shù)列前項和,,,當(dāng)取得最小值時().A.2 B.14 C.7 D.6或7【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,∵,,∴,,聯(lián)立解得:,,∴,令,解得.當(dāng)取得最小值時或7.故選:D.例7.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列、都是等差數(shù)列,設(shè)的前項和為,的前項和為.若,則()A. B. C. D.【答案】A【詳解】∵,∴,故選:A例8.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知正項數(shù)列滿足,且對任意的正整數(shù)n,是和的等差中項,證明:是等差數(shù)列,并求的通項公式.【詳解】證明:由題知,得,所以是以為首項,公差為2的等差數(shù)列,即,當(dāng)時,,當(dāng)時,也符合題意,所以,又所以.例9.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,且點在函數(shù)的圖象上,求證:是等比數(shù)列,并求的通項公式:【詳解】由點在函數(shù)的圖象上,可得,所以,即,也即,由,所以,所以是首項和公比均為的等比數(shù)列,則,所以;例10.(2022·全國·高三專題練習(xí))有下列三個條件:①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,②是公差為1的等差數(shù)列,③,在這三個條件中任選一個,補充在題中“___________”處,使問題完整,并加以解答.設(shè)數(shù)列的前項和為,,對任意的,都有___________.已知數(shù)列滿足,是否存在,使得對任意的,都有?若存在,試求出的值;若不存在,請說明理由.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.【詳解】記,從而有().選擇①,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,因為,所以,即.所以,所以.由,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以當(dāng)或2時,取得最大值,即取得最大值.所以存在,2,使得對任意的,都有.選擇②,方法一:是公差為1的等差數(shù)列,因為,所以,當(dāng)時,,則,當(dāng)時,上式成立,所以.所以,從而.由,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以當(dāng)時,取得最大值,即取得最大值.所以存在,使得對任意的,都有.方法二:利用“夾逼法”,即利用來求解.,由(),得,解得.選擇③,方法一:,則,從而,即.又,所以數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以.所以,從而,即,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,故不存在,使得對任意的,都有.方法二:利用求解.,,則,因為,所以不存在,使得對任意的,都有.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1.(2022·全國·高三專題練習(xí))在等差數(shù)列中,,其前項和為,若,則等于()A. B. C. D.【答案】B【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列,由已知等式可求得其公差,結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得,進而得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,又,解得:,又,,.故選:B.2.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列是等比數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列,若,則()A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的中項性質(zhì),化簡已知得,,代入即得解.【詳解】設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,若,則,,即為,,即,,則.故選:A3.(2022·全國·高三專題練習(xí))記等差數(shù)列的前項和為,若,則的公差為()A.3 B.2 C.-2 D.-3【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,將條件轉(zhuǎn)化為和表示,得到方程組,解得的值.【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,所以,解得:.故選:A.4.(2021·湖北·高三階段練習(xí))已知是等差數(shù)列的前項和,若,則()A.22 B.45 C.50 D.55【答案】D【分析】利用等差中項和等差數(shù)列前n項和公式求解【詳解】由題意得,,則,故.故選:D5.(2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(理))已知數(shù)列的前項和,且滿足,,若,則()A.9 B. C.10 D.【答案】B【分析】根據(jù)判斷出是等差數(shù)列,然后將條件化為基本量,進而解出答案.【詳解】由可知,是等差數(shù)列,設(shè)公差為,所以,由,所以.故選:B.6.(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意的n∈N*,都有=,則+的值為()A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),逐步化簡,即可得到本題答案.【詳解】由題意可知b3+b13=b5+b11=b1+b15=2b8,∴+======故選:C.7.(2022·全國·高三專題練習(xí))等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值是()A.20 B.22 C.24 D.8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因為a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故選:C.8.(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè)是等差數(shù)列,且,,則()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知,,成等差數(shù)列,由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列,,,成等差數(shù)列,,.故選:D.9.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù),其中所有奇數(shù)項之和為,所有偶數(shù)項之和為,則該數(shù)列的中間項為()A. B. C. D.【答案】B【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列共有項,然后通過即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列共有項,則,,中間項為,故,,故選:B.10.(2022·全國·高三專題練習(xí))等差數(shù)列的前n項和為,若,則數(shù)列的通項公式可能是()A. B.C. D.【答案】B【分析】由已知可得得,逐項排除可得答案.【詳解】因為是等差數(shù)列,且,得,對于A,,故錯誤;對于B,,故正確;對于C,,故錯誤;對于D,,故錯誤.故選:B.11.(2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(文))等差數(shù)列的前項和為,若且,則()A. B.C. D.【答案】A【分析】等差數(shù)列前n項和構(gòu)成的數(shù)列{}為等差數(shù)列,公差為原數(shù)列公差的一半﹒【詳解】設(shè)的公差為d,∵∴,即{}為等差數(shù)列,公差為,由知,故﹒故選:A﹒12.(2021·安徽定遠(yuǎn)·高三階段練習(xí)(理))等差數(shù)列和的前項和分別為和,且,則()A. B. C. D.【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式,由此能求出結(jié)果【詳解】解:等差數(shù)列,的前項和分別為,,若,與是兩個等差數(shù)列,它們的前項和分別為和,又等差數(shù)列的前項和公式,.所以故選:B.【點睛】本題考查兩個等差數(shù)列的前5項和的比值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.13.(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則()A.28 B.34 C.40 D.44【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以由,可得所以,所以,故選:D14.(2021·廣東廣州·高三階段練習(xí))已知是等差數(shù)列的前項和,,,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù),可得,再根據(jù),得,從而可得出答案.【詳解】解:因為,所以,又,所以,所以的最小值為.故選:C.15.(2022·全國·高三專題練習(xí))我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:今有鈔二百三十八貫,令五等人從上作互和減半分之,只云戊不及甲三十三貫六百文,問:各該鈔若干?其意思是:現(xiàn)有錢238貫,采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人,現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文),問各人各得錢多少?在這個問題中,戊所得錢數(shù)為()A.30.8貫 B.39.2貫 C.47.6貫 D.64.4貫【答案】A【分析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)組成等差數(shù)列,由等差數(shù)列項的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結(jié)果.【詳解】解:依次記甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)為a1,a2,a3,a4,a5,由數(shù)列{an}為等差數(shù)列,可記公差為d,依題意得:,解得a1=64.4,d=﹣8.4,所以a5=64.4﹣33.6=30.8,即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列項的性質(zhì)與應(yīng)用問題,也考查了運算求解能力,是基礎(chǔ)題.16.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則()A. B.5 C.10 D.15【答案】B【分析】利用等比中項和對數(shù)的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,所以.故選:B.17.(2022·浙江·高三專題練習(xí))已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,若,,則的值是()A. B. C. D.【答案】B【分析】利用等差中項和等比中項的性質(zhì)分別求得、的值,然后利用特殊角的三角函數(shù)值可得出結(jié)果.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得,,由等比中項的性質(zhì)可得,,因此,.故選:B.18.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知正項等比數(shù)列的前n項和為,,,則的公比為()A.1 B. C.2 D.4【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為,,為正項等比數(shù)列,所以,解得.故選:B.19.(2022·全國·高三專題練習(xí)(文))等比數(shù)列{an}中,每項均為正數(shù),且a3a8=81,則log3a1+log3a2+…+log3a10等于()A.5 B.10 C.20 D.40【答案】C【分析】由對數(shù)運算法則,等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】是等比數(shù)列,則,所以log3a1+log3a2+…+log3a10.故選:C.20.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5=()A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【分析】結(jié)合等比數(shù)列的中項性質(zhì)以及完全平方公式即可求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列{an}是等比數(shù)列,所以,所以,又因為,所以,所以,故選:A.21.(2021·陜西安康·高三期中(理))等比數(shù)列的前項和為,,,則()A.1 B.5 C.1或31 D.5或11【答案】D【分析】由已知條件可得,求出公比,從而可求出結(jié)果【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,∴或1,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,故選:D.22.(2021·四川·雙流中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知為等比數(shù)列,是它的前n項和.若,且與的等差中項為,則()A.29 B.31 C.33 D.35【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由已知可得和,代入等比數(shù)列的求和公式即可【詳解】因為,,,所以,,故選:B.23.(2021·西藏·拉薩那曲第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)(文))記等比數(shù)列的前項和為,若,,則公比()A. B. C. D.或2【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再由,可得,分別求出,即可得出答案.【詳解】解:在等比數(shù)列中,若,則,,所以,由,,解得,或,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以或2.故選:D.24.(2021·山西運城·高三期中(文))數(shù)列中,,對任意,若,則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】取,可得出數(shù)列是等比數(shù)列,求得數(shù)列的通項公式,利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式,由可求得的值.【詳解】在等式中,令,可得,,所以,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,則,,,則,解得.故選:C.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值,解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式,考查計算能力,屬于中等題.25.(2021·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中)等比數(shù)列的前項和為,若,則()A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和公式的結(jié)構(gòu)求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,當(dāng)時,,不合題意;當(dāng)時,等比數(shù)列前項和公式,依題意.故選:A26.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項和為,且,則()A. B. C. D.【答案】C【分析】先根據(jù),,成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減,求出公比,再由即可求出,再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解:由,,成等差數(shù)列,得:,設(shè)的公比為,則,解得:或,又單調(diào)遞減,,,解得:,數(shù)列的通項公式為:,.故選:C.27.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知為等比數(shù)列,且,與的等差中項為,則()A.1 B.2 C.31 D.【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列出首項和公比的方程組可得答案.【詳解】由得,①又,得,②由①②得,,.故選:A.28.(2022·浙江·高三專題練習(xí))已知1,a1,a2,9四個實數(shù)成等差數(shù)列,1,b1,b2,b3,9五個數(shù)成等比數(shù)列,則b2(a2﹣a1)等于()A.8 B.﹣8 C.±8 D.【答案】A【分析】由已知條件求出公差和公比,即可由此求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,則有,,解之可得,,.故選:A.二、多選題29.(2022·江蘇·高三專題練習(xí))等差數(shù)列是遞增數(shù)列,公差為,前項和為,滿足,下列選項正確的是()A. B.C.當(dāng)時最小 D.時的最小值為【答案】BD【分析】由題意可知,由已知條件可得出,可判斷出AB選項的正誤,求出關(guān)于的表達式,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及二次不等式可判斷出CD選項的正誤.【詳解】由于等差數(shù)列是遞增數(shù)列,則,A選項錯誤;,則,可得,B選項正確;,當(dāng)或時,最小,C選項錯誤;令,可得,解得或.,所以,滿足時的最小值為,D選項正確.故選:BD.三、填空題30.(2022·全國·高三專題練習(xí))在等比數(shù)列中,,,成等差數(shù)列,則_______.【答案】3【分析】根據(jù)條件可得,解出,即解.【詳解】∵成等差數(shù)列,則,由為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則,可得:,解得,所以.故答案為:3.31.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知為等差數(shù)列的前項和,且,,則當(dāng)取最大值時,的值為___________.【答案】7【分析】根據(jù)條件,由等差數(shù)列通項公式及求和公式求得首項和公差,從而變成函數(shù)問題,找到最大值.【詳解】方法一:設(shè)數(shù)列的公差為,則由題意得,解得則.又,∴當(dāng)時,取得最大值.方法二:設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵,∴,∴,解得,則,令解得,又,∴,即數(shù)列的前7項為正數(shù),從第8項起各項均為負(fù)數(shù),故當(dāng)取得最大值時,.故答案為:7.32.(2022·上海寶山·一模)已知數(shù)列的前項和為,且滿足,,則___________.【答案】【分析】根據(jù)通項公式列出方程求出,利用前n項和公式求解.【詳解】因為,所以,所以是以2為公差的等差數(shù)列,所以,故答案為:33.(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè)等差數(shù)列的前項和為,,,,則______.【答案】15【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的等差中項的性質(zhì)利用求得,進而根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知,求得.【詳解】因為,所以.又,所以.故答案為:1534.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列的前項和有最小值,且,則使得成立的的最小值是________.【答案】22【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和有最小值,得到公差,再由,得到,利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合前n項和公式求解.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和有最小值,所以等差數(shù)列的公差,又因為,所以,所以,,所以使得成立的的最小值是22,故答案為:2235.(2022·全國·高三專題練習(xí))在等差數(shù)列中,,,求____【答案】【分析】利用等差數(shù)列等距離片段和的性質(zhì)求即可.【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)有,∴.故答案為:36.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知公比大于1的等比數(shù)列滿足,,則公比等于________.【答案】2【分析】由等比數(shù)列以及,可知,由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式可知,聯(lián)立方程求解,根據(jù)可解的答案.【詳解】解:由題意得則,又因為解得:或(舍去)故答案為:237.(2022·全國·高三專題練習(xí))在等比數(shù)列{an}中,各項均為正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,則a4+a8=________.【答案】【詳解】分析:利用的等比數(shù)列的性質(zhì),求解.詳解:由題意,∴,又,∴.故答案為.點睛:在等差數(shù)列和等比數(shù)列中一般可用基本量法求解,得數(shù)列的這個性質(zhì)要盡量進行應(yīng)用,若是等差數(shù)列,若,則,若,則;若是等比數(shù)列,若,則,若,則.38.(2021·海南·三亞華僑學(xué)校高三階段練習(xí))若數(shù)列為等比數(shù)列,且,,則___________.【答案】256【分析】由等比數(shù)列片段和性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,即可求解【詳解】∵是等比數(shù)列,∴,,,,為等比數(shù)列,且公比,∴.故答案為:39.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等比數(shù)列中,為其前項之和,,則______【答案】260【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),可知,,成等比數(shù)列,結(jié)合等比中項公式,即可求解.【詳解】解:根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),可知,,成等比數(shù)列,則,即,解得.故答案為:.40.(2021·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三階段練習(xí))已知等比數(shù)列的前n項和,則________.【答案】2【分析】由題設(shè)得,若有與不相等,與假設(shè)矛盾,進而根據(jù)等比前n項和公式,結(jié)合已知列方程求參數(shù)a即可.【詳解】由題設(shè),,若時,,故與矛盾,∴,即,顯然成立.故答案為:2.四、解答題41.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①數(shù)列是等差數(shù)列:②數(shù)列是等差數(shù)列;③.【答案】答案見解析.【分析】首先確定條件和結(jié)論,然后結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和前項和公式證明結(jié)論即可.【詳解】選擇①③為條件,②結(jié)論.證明過程如下:設(shè)數(shù)列的公差為,由題意可得:,,數(shù)列的前項和:,故,據(jù)此可得數(shù)列是等差數(shù)列.選擇①②為條件,③結(jié)論:設(shè)數(shù)列的公差為,則:,數(shù)列為等差數(shù)列,則:,即:,整理可得:,.選擇③②為條件,①結(jié)論:由題意可得:,,則數(shù)列的公差為,通項公式為:,據(jù)此可得,當(dāng)時,,當(dāng)時上式也成立,故數(shù)列的通項公式為:,由,可知數(shù)列是等差數(shù)列.42.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列中,,.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若數(shù)列前n項和,求n的最小值.【答案】(1)證明見解析;(2)5.【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列定義,結(jié)合遞推公式,可證明,即得證;(2)由(1)可得,分組求和可得,化簡為,解不等式即可【詳解】(1)證明:因為所以,因為,所以數(shù)列為首項為,公差為的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,即.令,則,故為等比數(shù)列;設(shè),則,故為等差數(shù)列.分組求和可得,∴,∴,∴n的最小值為5.43.(2021·江西南昌·模擬預(yù)測(文))已知等差數(shù)列的前項和為,,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2).【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)已知條件列方程組求、,寫出通項公式;(2)由(1)可知時,,而,,分別求出、時數(shù)列的前項和即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,∴,解得,∴.(2)由(1)知:,則,得,又,∴時,,而,,∴數(shù)列的前項和,而,,∴,故.44.(2021·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列的前項和為,且(1)求通項公式;(2)求數(shù)列的前項和【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù),利用“”法求解.(2)令,解得,然后分,去掉絕對值,利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】(1)在等差數(shù)列中,因為,所以,解得,所以.(2)令,解得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,,所以.45.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前項和為.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的最大值及取得最大值時的值.【答案】(1)證明見解析;(2)前16項或前17項和最大,最大值為.【分析】(1)先由求通項公式,再利用定義法證明即可;(2)先判斷的n的范圍,得到數(shù)列的正負(fù)分布,即得何時最大.【詳解】解:(1)證明:當(dāng)時,,又當(dāng)時,,滿足,故的通項公式為,∴.故數(shù)列是以32為首項,

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