新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學第29講 二項式定理（原卷版）

第29講二項式定理【知識點總結(jié)】一、二項式定理.展開式具有以下特點：（1）項數(shù)：共項.（2）二項式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項的次數(shù)是一樣的，都為次，展開式依的降冪、的升冪排列展開.特別地，.二、二項式展開式的通項（第項）二項式展開的通項為.其中的二項式系數(shù).令變量（常用）取1，可得的系數(shù).注通項公式主要用于求二項式展開式的指數(shù)、滿足條件的項數(shù)或系數(shù)、展開式的某一項或系數(shù).在應用通項公式時要注意以下幾點：=1\*GB3①分清是第項，而不是第項；=2\*GB3②在通項公式中，含這6個參數(shù)，只有是獨立的，在未知的情況下利用通項公式解題，一般都需要先將通項公式轉(zhuǎn)化為方程組求和.三、二項式展開式中的系數(shù)（1）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系數(shù).例如：的展開式中，含有的項應該是，其中叫做該項的二項式系數(shù)，而的系數(shù)應該是（即含項的系數(shù)）.二項式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即，…，.=2\*GB3②二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大.如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項是第項，其二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項有兩項，即為第項和第項，它們的二項式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項式系數(shù)和與系數(shù)和=1\*GB3①二項式系數(shù)和.奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，.=2\*GB3②系數(shù)和求所有項系數(shù)和，令；求變號系數(shù)和，令；求常數(shù)項，令。【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．（多選題）例2.（2022·全國·高三專題練習）若，則（）A． B．C． D．例3．（2022·全國·高三專題練習）若的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式的常數(shù)項為___________.例4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，則在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為________．例5．（2022·全國·高三專題練習）除以的余數(shù)是____．設復數(shù)(是虛數(shù)單位)，則____．例6．（2022·全國·高三專題練習）求的展開式中含的項．【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習（理））的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．24 D．2．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中項的系數(shù)為（）A． B．C． D．3．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（理））已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為192，則展開式中的常數(shù)項為（）A．66 B．36 C．30 D．64．（2022·全國·高三專題練習（理））的展開式中的中間項為（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．26．（2022·全國·高三專題練習）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A．512 B．210C．211 D．2127．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)之和為（）A．1 B．20C．21 D．318．（2022·全國·高三專題練習）若在(x＋1)4(ax－1)的展開式中，x4項的系數(shù)為15，則a的值為（）A．－4 B．C．4 D．9．（2022·全國·高三專題練習（理））的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．24 D．3610．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三階段練習（理））已知，且恰能被14整除，則的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．1311．（2021·全國·高三專題練習）今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五12．（2021·全國·高三專題練習（理））在QBasic等程序語言中，通常用表示除以后得到的余數(shù)，例如，．則等于（）A．1 B．3 C．9 D．713．（2021·河南駐馬店·高三階段練習（理））若，且,則實數(shù)的值為A．1或3 B．-3 C．1 D．1或-3二、多選題14．（2022·江蘇·高三專題練習）已知的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A．二項展開式中各項系數(shù)之和為 B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為C．二項展開式中無常數(shù)項 D．二項展開式中系數(shù)最大的項為15．（2022·全國·模擬預測）下列關于多項式的展開式的結(jié)論中，正確的是（）A．各項系數(shù)之和為 B．各項系數(shù)的絕對值之和為C．不存在項 D．常數(shù)項為16．（2022·全國·高三專題練習）設，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．中最大的是D．當時，除以2000的余數(shù)是117．（2021·廣東·高三階段練習）已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．18．（2022·全國·高三專題練習）已知(a＋b)n的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則n的值可以為（）A．7 B．8C．9 D．1019．（2022·全國·高三專題練習）在的展開式中，下列說法正確的有（）A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為1C．二項式系數(shù)最大的項為第4項 D．有理項共3項20．（2022·全國·高三專題練習）已知，下列命題中，正確的是（）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為；B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為；C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為；D．.21．（2022·全國·高三專題練習）若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，則實數(shù)m的值為（）A．1 B．－1C．－3 D．3三、填空題22．（2022·全國·高三專題練習（理））已知二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為，則該展開式中的常數(shù)項是_______．(用數(shù)字作答)23．（2022·浙江·高三專題練習）若二項式的展開式中第項與第項的系數(shù)相同，則其常數(shù)項是___________.24．（2022·天津南開·高三期末）二項式的展開式中，常數(shù)項是________.25．（2022·全國·高三專題練習）若的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式的常數(shù)項為___________.26．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中的系數(shù)是___________．27．（2022·全國·高三專題練習（理））若在的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則的展開式中，常數(shù)項是___________.28．（2022·全國·高三專題練習）若的展開式中，含的項是第四項，則展開式中的二項式系數(shù)和為______．29．（2021·全國·高三開學考試（理））的展開式中各項系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為___________.30．（2021·江蘇·鹽城中學一模）若，則__________．31．（2022·全國·高三專題練習）已知（x-3y）n的展開式中，第5項的二項式系數(shù)與第12項的二項式系數(shù)相等，則展開式共有___________項.32．（2021·福建·上杭一中模擬預測）除以88的余數(shù)是______．33．（2021·福建三明·模擬預測）設且，若能被5整除，則等于___________.34．（2021·山東·高三階段練習）某同學在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是________.四、解答題35．（2022·全國·高三專題練習）在(2x－3y)10的展開式中，求：（1）二項式系數(shù)的和；（2）各項系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和.36．（2022·全國·高三專題練習）設，求：（1）；（2）；（3）．37．（2022·全國·高三專題練習）已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；（2）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；（3）a1＋a3＋a5.五、雙空題38．（2022·全國·高三專題練習）已知的展開式的二項式系數(shù)之和為，則__________；的系數(shù)為________