《一元二次方程應(yīng)用》課件

一元二次方程應(yīng)用一元二次方程定義與基本形式一元二次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程。其基本形式為：ax^2+bx+c=0(a≠0)，其中a,b,c為常數(shù)，x為未知數(shù)。a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b稱為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱為常數(shù)項(xiàng)。一元二次方程的解法完全平方公式法將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后求解。配方法將一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)移到等式右側(cè)，然后在等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使等式左側(cè)成為完全平方。因式分解法將一元二次方程分解為兩個(gè)一次因式的乘積，然后分別令兩個(gè)一次因式為零，求解方程。公式法利用一元二次方程的求根公式直接求解方程。完全平方法求解一元二次方程1步驟一將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊2步驟二將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方3步驟三將方程左邊化為完全平方4步驟四將方程兩邊開平方5步驟五求解方程完全平方法是一種利用完全平方公式將一元二次方程轉(zhuǎn)化為平方形式的解法。通過將方程兩邊同時(shí)加上或減去特定的常數(shù)，將左邊配成一個(gè)完全平方，然后開平方求解。此方法廣泛應(yīng)用于解一元二次方程，尤其在系數(shù)不方便進(jìn)行因式分解的情況下。配方法求解一元二次方程1移項(xiàng)將方程中的常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊，使等式左邊只保留含未知數(shù)的項(xiàng)。2配方將等式左邊化為完全平方形式，即(x+a)2或(x-a)2。3開方將等式兩邊同時(shí)開平方，解出未知數(shù)的值。因式分解法求解一元二次方程1將方程化為一般形式ax2+bx+c=02將方程左邊因式分解(x+m)(x+n)=03解方程x+m=0或x+n=0判別式法求解一元二次方程定義對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其判別式Δ=b2-4ac應(yīng)用判別式可以用來判斷一元二次方程根的情況關(guān)系Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)系Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根關(guān)系Δ<0，方程沒有實(shí)數(shù)根一元二次方程的基本解法總結(jié)因式分解法將一元二次方程化為兩個(gè)一次因式的乘積，然后根據(jù)“積為零，則其中至少有一個(gè)因式為零”的性質(zhì)求解。適用于系數(shù)較小，易于分解的方程。公式法利用求根公式直接求解方程的解，適用于任何一元二次方程，但計(jì)算量較大，需要記憶公式。配方法將一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后開方求解。適用于任何一元二次方程，但需要掌握配方法的技巧。幾何問題實(shí)例一個(gè)長方形的菜園，長比寬多5米，如果將長和寬都增加2米，面積將增加40平方米，求原來菜園的長和寬。一元二次方程應(yīng)用實(shí)例1分析問題描述一個(gè)長方形的周長為20米，長比寬多2米。求這個(gè)長方形的長和寬。解題步驟1.設(shè)長方形的寬為x米，則長為(x+2)米。2.根據(jù)題意，列出方程：2(x+x+2)=203.解方程：2x+2=104.求解：x=4，則長方形的寬為4米，長為6米。一元二次方程應(yīng)用實(shí)例2：運(yùn)動(dòng)問題運(yùn)動(dòng)問題是常見的應(yīng)用場景之一，涉及到速度、時(shí)間、距離之間的關(guān)系。我們可以利用一元二次方程來解決各種運(yùn)動(dòng)問題，例如相遇問題、追趕問題、行程問題等等。運(yùn)動(dòng)問題實(shí)例分析勻速運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)問題通常涉及到物體在一定時(shí)間內(nèi)的距離變化，包括勻速運(yùn)動(dòng)和變速運(yùn)動(dòng)。勻速運(yùn)動(dòng)指的是物體在相同時(shí)間內(nèi)移動(dòng)相同距離，可以用速度、時(shí)間和距離的公式來描述。變速運(yùn)動(dòng)變速運(yùn)動(dòng)指的是物體在相同時(shí)間內(nèi)移動(dòng)不同距離，可以用加速度、速度和時(shí)間來描述。例如，運(yùn)動(dòng)員在加速跑時(shí)，速度在不斷變化。相遇問題相遇問題指的是兩個(gè)物體從不同地點(diǎn)出發(fā)，以不同的速度朝著同一個(gè)方向移動(dòng)，最終相遇?？梢允褂盟俣?、時(shí)間和距離的公式來計(jì)算相遇時(shí)間和相遇地點(diǎn)。利潤問題實(shí)例問題描述某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本價(jià)為每件20元，銷售價(jià)為每件30元，每天可售出100件。為了增加銷量，公司決定降價(jià)銷售。市場調(diào)查表明，每降價(jià)1元，每天可多售出20件。問：公司應(yīng)該將價(jià)格降價(jià)多少元才能使每天的利潤最大？分析思路設(shè)降價(jià)x元，則每件產(chǎn)品的售價(jià)為30-x元，每天可售出100+20x件。每天的利潤為(30-x-20)(100+20x)元。我們將利潤表示為x的函數(shù)，并求出最大值即可。利潤問題實(shí)例3分析問題描述某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本為每件10元，售價(jià)為每件20元，預(yù)計(jì)銷售量為1000件，但實(shí)際銷售量只有800件，實(shí)際利潤是多少？分析過程設(shè)實(shí)際利潤為x元，根據(jù)題意可列方程：x=(20-10)*800計(jì)算結(jié)果解方程得x=8000元，即實(shí)際利潤為8000元。一元二次方程應(yīng)用實(shí)例4：混合問題混合問題是數(shù)學(xué)中常見的應(yīng)用題型，通常涉及兩種或多種物質(zhì)混合，通過分析混合前后物質(zhì)的量和濃度等信息，建立方程并求解。例如，某商店出售兩種不同濃度的酒精溶液，分別為60%和80%，現(xiàn)在要將兩種溶液混合，配制成70%的酒精溶液，求每種溶液需取多少毫升?；旌蠁栴}實(shí)例4分析混合問題混合問題是利用一元二次方程解決的常見應(yīng)用之一。這類問題通常涉及兩種或多種物質(zhì)的混合，需要通過方程列出混合后的總量和濃度或價(jià)格等條件，從而求解未知量。方程列式混合問題中，通常需要根據(jù)混合前后物質(zhì)的量、濃度或價(jià)格等信息列出方程。要注意區(qū)分混合前后的量、濃度或價(jià)格，以及它們之間的關(guān)系。解方程求解列出方程后，通過解一元二次方程求解未知量。在解題過程中，要注意判斷解的合理性，確保所得結(jié)果符合實(shí)際情況。一元二次方程應(yīng)用實(shí)例5：面積問題矩形花園的面積計(jì)算是應(yīng)用一元二次方程解決面積問題的典型例子。例如，假設(shè)一個(gè)矩形花園的長比寬多5米，面積為84平方米。我們可以用一元二次方程來求解花園的長和寬。面積問題實(shí)例5分析問題描述一個(gè)長方形的長比寬多2米，面積為15平方米，求長方形的長和寬。解題思路設(shè)長方形的寬為x米，則長為(x+2)米，根據(jù)題意可列出方程：x(x+2)=15。解方程得x=3或x=-5，由于寬不可能為負(fù)數(shù)，所以長方形的寬為3米，長為5米。年齡問題實(shí)例現(xiàn)在小明爸爸的年齡是小明的3倍，5年后爸爸的年齡是小明的2倍。問小明和爸爸現(xiàn)在分別多少歲？年齡問題實(shí)例6分析問題小明今年10歲，爸爸今年35歲，幾年后爸爸的年齡是小明的3倍？解題思路設(shè)x年后，爸爸的年齡是小明的3倍。根據(jù)題意，可以列出方程：35+x=3(10+x)。解方程得x=5。答案5年后，爸爸的年齡是小明的3倍。拋物線問題實(shí)例拋物線是一種常見的幾何圖形，它可以用來描述很多現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，比如：拋射運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星軌道、天線形狀等等。在解拋物線問題時(shí)，我們需要利用一元二次方程的知識，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并求解出相應(yīng)的答案。例如：一個(gè)物體以速度v0從地面上拋出，其運(yùn)動(dòng)軌跡可以描述為一個(gè)拋物線。已知物體拋出后的最高點(diǎn)高度為h，求物體拋出后經(jīng)過t秒時(shí)的垂直高度。我們可以利用一元二次方程來求解這個(gè)問題。拋物線問題實(shí)例7分析拋物線方程拋物線問題通常涉及到拋物線方程，通過建立方程來解決問題。圖形分析利用拋物線圖像分析問題的幾何關(guān)系，找到關(guān)鍵點(diǎn)和特征。計(jì)算求解根據(jù)方程和圖像信息，進(jìn)行計(jì)算，求解問題的答案。工程問題實(shí)例施工隊(duì)伍假設(shè)一個(gè)施工隊(duì)伍需要修建一條長為1000米的公路，每天可以完成100米的工程?，F(xiàn)在，他們需要增加一組新的施工人員，并希望每天可以完成150米的工程。問：需要增加多少名工人才能完成這個(gè)目標(biāo)？工程機(jī)械一個(gè)工廠需要生產(chǎn)一批產(chǎn)品，用10臺機(jī)器可以生產(chǎn)100件產(chǎn)品，如果現(xiàn)在增加5臺機(jī)器，需要生產(chǎn)200件產(chǎn)品，請問還需要多少天才能完成？項(xiàng)目規(guī)劃一個(gè)工程項(xiàng)目需要在10天內(nèi)完成，計(jì)劃每天完成100個(gè)工作量單位，現(xiàn)在需要提前2天完成項(xiàng)目，問：每天需要完成多少個(gè)工作量單位？工程問題實(shí)例8分析問題類型該實(shí)例屬于工程問題，涉及工作效率和時(shí)間之間的關(guān)系。通常會給出兩個(gè)工作組的效率或時(shí)間，要求求解共同完成一項(xiàng)工作所需的時(shí)間或工作效率。解題思路通常需要設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出一元二次方程，然后利用相關(guān)解法求解未知數(shù)，最后根據(jù)未知數(shù)的含義檢驗(yàn)答案是否合理。關(guān)鍵點(diǎn)要注意單位的統(tǒng)一，例如時(shí)間單位、工作量單位等。還要注意“工作量=效率×?xí)r間”這個(gè)基本公式的應(yīng)用。一元二次方程應(yīng)用實(shí)例9：電路問題電路問題通常涉及電阻、電容、電壓和電流等因素，這些因素之間存在著復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系。一元二次方程可以用來解決一些電路問題，例如計(jì)算電路的總電阻、電流或電壓。例如，在一個(gè)簡單的串聯(lián)電路中，總電阻等于各個(gè)電阻的總和。如果已知總電阻和部分電阻，就可以用一元二次方程計(jì)算出未知的電阻。電路問題實(shí)例分析1問題描述一個(gè)電路中，已知電源電壓為12伏，電阻為R歐姆，電流為I安培，根據(jù)歐姆定律，電壓、電流和電阻的關(guān)系為：U=IR。假設(shè)電路中的電阻為4歐姆，求電路中的電流。2解題步驟1.將已知條件代入歐姆定律：12=4I2.化簡方程：I=33.因此，電路中的電流為3安培。3結(jié)論通過一元二次方程的應(yīng)用，我們可以輕松地計(jì)算出電路中的電流，這在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。一元二次方程應(yīng)用實(shí)例10：化學(xué)問題假設(shè)某化學(xué)反應(yīng)中，反應(yīng)物A與反應(yīng)物B反應(yīng)生成產(chǎn)物C，反應(yīng)方程式為：A+B→C。已知反應(yīng)開始時(shí)，A的質(zhì)量為10克，B的質(zhì)量為20克。經(jīng)過一段時(shí)間后，A的質(zhì)量減少了x克，那么B的質(zhì)量也減少了x克，C的質(zhì)量增加了x克。設(shè)C的質(zhì)量為y克，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，可以列出以下方程：10-x+20-x=y已知C的質(zhì)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x2，將此關(guān)系式代入上述方程，得到：10-x+20-x=2x2化簡得：2x2+2x-30=0解此方程，可以求得x的值，從而得到A、B和C的質(zhì)量變化情況?；瘜W(xué)問題實(shí)例10分析化學(xué)反應(yīng)方程式化學(xué)反應(yīng)方程式是描述化學(xué)反應(yīng)的符號表示，它包含了反應(yīng)物、生成物和反應(yīng)條件等信息。通過化學(xué)反應(yīng)方程式，我們可以了解反應(yīng)中物質(zhì)的種類和數(shù)量，以及反應(yīng)的發(fā)生條件。一元二次方程一元二次方程式是數(shù)學(xué)中的一種常用方程式，它包含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次冪為2。一元二次方程的解法可以幫助我們求解化學(xué)問題中物質(zhì)的量、反應(yīng)速率等重要信息。一元二次方程應(yīng)用案例總結(jié)幾何問題利用一元二次方程解決幾何圖形的周長、面積、體積等問題。運(yùn)動(dòng)問題利用一元二次方程解決速度、時(shí)間、距離等運(yùn)動(dòng)問題。利潤問題利用一元二次方程解決商品的成本、售價(jià)、利潤等問題?；旌蠁栴}利用一元二次方程解決不同濃度溶液的混合問題。應(yīng)用技巧整理1審題仔細(xì)閱讀題目，明確題意，找出題目中所給的已知條件和所求的未知量。確定所求的未知量是否滿足一元二次方程的結(jié)構(gòu)，以便將題目轉(zhuǎn)化為一元二次方程。2列方程根據(jù)題意，設(shè)未知量為x，并根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元二次方程。需要注意的是，方程要能夠準(zhǔn)確地反映題目的實(shí)際情況，并要符合一元二次方程的一般形式。3解方程利用各種解一元二次方程的方法，求出方程的解。要注意解的合理性，要與實(shí)際情況相符。若解不合理，需要重新審題，分析原因，并進(jìn)行修正。4檢驗(yàn)將得到的解代入原方程，檢驗(yàn)解的正確性。同時(shí)，也要檢驗(yàn)解的實(shí)際意義是否合理，例如，解是否為負(fù)數(shù)或零，以及解是否符合題目中的限制條件等。一元二次方程應(yīng)用題型分類幾何問題涉及圖形的面積、周長、體積等計(jì)算，例如求矩形長寬、圓形半徑等。運(yùn)動(dòng)問題涉及速度、時(shí)間、距離等關(guān)系，例如相遇問題、追及問題等。利潤問題涉及成本、售價(jià)、利潤等關(guān)系，例如求成本、售價(jià)、利潤率等?；旌蠁栴}涉及不同濃度、比例的物質(zhì)混合，例如求混合后的濃度等。一元二次方程應(yīng)用題型分析幾何問題包括求面積、周長、體積等幾何圖形相關(guān)問題，常涉及方程的建立和求解。運(yùn)動(dòng)問題涉及物體運(yùn)動(dòng)的速度、時(shí)間、距離等，需要運(yùn)用速度、時(shí)間、距離之間的關(guān)系進(jìn)行分析和求解。利潤問題包括商品的成本、售價(jià)、利潤等，需要運(yùn)用利潤、成本、售價(jià)之間的關(guān)系進(jìn)行分析和求解?；旌蠁栴}涉及不同濃度或價(jià)格的物質(zhì)混合，需要運(yùn)用混合后的濃度或價(jià)格進(jìn)行分析和求解。一元二次方程應(yīng)用題型訓(xùn)練1以下是關(guān)于一元二次方程應(yīng)用的訓(xùn)練題，請認(rèn)真思考并嘗試解答：問題1一塊長方形土地的長比寬多5米，面積為84平方米。求這塊土地的長和寬。問題2某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為10000元，每件產(chǎn)品的成本為50元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為100元。若該公司生產(chǎn)并銷售x件產(chǎn)品，則該公司獲得的利潤為多少？當(dāng)生產(chǎn)并銷售多少件產(chǎn)品時(shí)，該公司獲得的利潤為5000元？問題3一個(gè)圓形花壇的半徑為5米，現(xiàn)要在花壇周圍修建一條寬度為x米的環(huán)形小路，使小路與花壇的面積之和為169π平方米。求小路的寬度x。問題4某商店用1000元購進(jìn)了一批水果，售價(jià)為進(jìn)價(jià)的1.5倍，結(jié)果賣出80%后，還剩下120元的水果。求這批水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)。這些問題涉及到了常見的應(yīng)用題型，例如幾何問題、利潤問題、混合問題等。通過練習(xí)，你能夠更好地理解一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用。一元二次方程應(yīng)用題型訓(xùn)練2現(xiàn)在，讓我們來進(jìn)行一些練習(xí)，以鞏固你對一元二次方程應(yīng)用的理解。以下是一些典型題型的示例，你可以嘗試獨(dú)立解答，然后與我的講解進(jìn)行對比。例題1：某商店購進(jìn)一批商品，進(jìn)價(jià)為每件20元，如果以每件30元的價(jià)格銷售，可售出400件。若想售出500件，則銷售價(jià)格應(yīng)定為多少元？例題2：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為20元，售價(jià)為30元，每月可售出1000件。為了提高利潤，工廠決定降低售價(jià)，預(yù)計(jì)每降低1元，每月可多售出100件。要使每月利潤最大，售價(jià)應(yīng)定為多少元？例題3：有一塊長方形土地，長比寬多5米，如果長減少3米，寬增加2米，面積就減少了10平方米。求這塊土地原來的長和寬。例題4：小明騎自行車從甲地到乙地，他先以每小時(shí)15千米的速度行駛了半小時(shí)，然后又以每小時(shí)20千米的速度行駛了1小時(shí)，正好到達(dá)乙地。求甲乙兩地之間的距離。題型訓(xùn)練3以下是一元二次方程應(yīng)用題型的訓(xùn)練題，請同學(xué)們認(rèn)真解答：1.一個(gè)長方形的長比寬多5米，面積為84平方米，求這個(gè)長方形的長和寬。2.一輛汽車從A地出發(fā)，以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛，到達(dá)B地后立即返回A地，返程速度為40千米/小時(shí)，整個(gè)行程共用5小時(shí)，求A地到B地的距離。3.一批貨物需要用甲、乙兩種貨車一起運(yùn)送，已知甲貨車單獨(dú)運(yùn)送需要20小時(shí)，乙貨車單獨(dú)運(yùn)送需要30小時(shí)，如果甲、乙兩種貨車一起運(yùn)送，需要多少小時(shí)？一元二次方程應(yīng)用題型訓(xùn)練4我們來一起解一元二次方程應(yīng)用題！1.工程問題兩臺機(jī)器合作完成一項(xiàng)工程，已知甲機(jī)器單獨(dú)完成這項(xiàng)工程比乙機(jī)器單獨(dú)完成這項(xiàng)工程少用2小時(shí)，兩臺機(jī)器合作需要3小時(shí)完成這項(xiàng)工程，求甲機(jī)器單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？2.利潤問題某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本為每件5元，售價(jià)為每件8元。為了擴(kuò)大銷售，公司決定降價(jià)銷售，預(yù)計(jì)銷售量會增加20%，但利潤不低于原來的80%。求降價(jià)后每件產(chǎn)品的售價(jià)應(yīng)不低于多少元？3.面積問題一個(gè)長方形的周長為24米，它的長比寬多2米，求這個(gè)長方形的面積。4.年齡問題爸爸現(xiàn)在的年齡是兒子的3倍，5年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍，求爸爸和兒子現(xiàn)在的年齡。題型訓(xùn)練5請嘗試獨(dú)立完成以下問題，檢驗(yàn)?zāi)銓σ辉畏匠虘?yīng)用題的掌握程度。某商場為促銷，將一種商品的售價(jià)降低了20%，結(jié)果銷量增加了50%，銷售額比降價(jià)前增加了10%，求這種商品原來的售價(jià)。有一個(gè)長方形，它的長比寬多5米，面積為150平方米，求這個(gè)長方形的長和寬。如果你遇到困難，可以回顧前面的知識點(diǎn)或參考相關(guān)例題進(jìn)行解答。一元二次方程應(yīng)用題型訓(xùn)練6一元二次方程應(yīng)用題型訓(xùn)練6，包含了各種類型的問題，涵蓋了生活中的實(shí)際應(yīng)用，例如：幾何問題、運(yùn)動(dòng)問題、利潤問題、混合問題、面積問題、年齡問題、拋物線問題、工程問題、電路問題、化學(xué)問題等。題型訓(xùn)練7一道有趣的應(yīng)用題：一個(gè)矩形花園的長比寬多2米，面積為48平方米，求這個(gè)花園的長和寬。**解題思路:**設(shè)花園的寬為x米，則長為(x+2)米，根據(jù)面積公式，可列方程x(x+2)=48，解得x=6或x=-8。由于寬不能為負(fù)數(shù)，所以花園的寬為6米，長為8米。**總結(jié):**本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，需要根據(jù)實(shí)際問題建立方程，并注意解題過程中要排除不合理的解。一元二次方程應(yīng)用題型訓(xùn)練8**例題：**一艘輪船在靜水中的速度為20千米/小時(shí)，它從A港順流航行到B港需要3小時(shí)，返航需要4小時(shí)。求A港和B港之間的距離以及水流速度。**解題思路：**1設(shè)A港和B港之間的距離為x千米，水流速度為y千米/小時(shí)。2根據(jù)題意，可以列出方程組：3x/(20+y)=34x/(20-y)=4**解方程組，得到x=120，y=5。**因此，A港和B港之間的距離為120千米，水流速度為5千米/小時(shí)。題型訓(xùn)練9題目1：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的成本為10元，銷售單價(jià)為15元。該公司每月固定支出為2000元。如果該公司要實(shí)現(xiàn)月利潤為5000元，那么該公司每月至少要生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？題目2：一個(gè)長方形的花園，長比寬多4米，如果將長和寬都增加2米，面積就增加56平方米。求這個(gè)花園原來的長和寬。題目3：某商店購進(jìn)一批商品，按成本價(jià)提高20%出售，后因商品滯銷，又降價(jià)20%出售，結(jié)果每件商品虧損2元。求每件商品的進(jìn)價(jià)。解題思路認(rèn)真審題，找到問題的關(guān)鍵，將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，列出一元二次方程