2025高考數學專項講義第04講等式與不等式性質(含糖水不等式)(原卷版+解析)

第04講等式與不等式性質（含糖水不等式）（6類核心考點精講精練）【備考策略】1.梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質2.能夠利用不等式的性質比較不等式的大小關系3.能夠利用不等式的關系表示不等式的范圍4.能利用糖水不等式解決不等式的相關問題知識講解等式的性質性質1如果，那么________；性質2如果，，那么________；性質3如果，那么________；性質4如果，那么________；性質5如果，，那么________；比較兩個實數大小兩個實數的大小是用實數的運算性質來定義的，有：；；另外，若，則有；；.不等式的基本性質：對稱性：．傳遞性：．可加性：．可積性：①；②．同向可加性：；異向可減性：．同向正數可乘性；異向異號可乘性：；異向正數可除性：．乘方法則：（，）．開方法則：（，）．倒數法則：；．糖水不等式及其變形若實數a，b，c，滿足，，則_____，eq\f(b,a)_____eq\f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq\f(a,b)_____eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)_____eq\f(a－m,b－m)，(b－m＞0)（用不等號填空）．對數型糖水不等式及其變形（1）設,且,則有（2）設,則有（3）上式的倒數形式：設,則有考點一、由不等式性質判斷式子大小關系1．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則1．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．考點二、由不等式關系，求解不等式范圍1．（2023高三·全國·專題練習）已知，，求的取值范圍為.2．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是.1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的取值范圍是，的取值范圍是.2．（23-24高三·安徽·階段練習）已知，，則的最小值.3．（2024·浙江·模擬預測）已知正數滿足，則的取值范圍為．考點三、作差法或作商法比較式子大小關系1．（2024高三·全國·專題練習）已知實數，滿足，求證：.2．（上海浦東新·階段練習）設，比較與的大小1．（2024高三·全國·專題練習）已知為正實數．求證：.2．若，求證：．考點四、由不等式性質證明不等式1．（2023高三·全國·專題練習）證明命題：“若在中分別為角所對的邊長，則”1．（1）設，，證明：；（2）設，，，證明：.考點五、糖水不等式及其應用1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，能恰當表示這一事實的不等式為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川涼山·一模）克糖水中含有克糖，糖的質量與糖水的質量比為，這個質量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為(，).若，，，則A． B．C． D．1．（2023·湖南長沙·長郡中學?？级＃┮阎獙崝禎M足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三·福建龍巖·階段練習）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質量分數為，這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式（，）數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可判斷與的大?。豪纾嚤容^的大?。ㄌ睢?lt;”或”>”或”=”）考點六、多選題綜合1．（2024·湖南長沙·二模）設a，b，c，d為實數，且，則下列不等式正確的有（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西·二模）已知實數a，b，c滿足，且，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．1．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．（2024·江西·模擬預測）已知，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則一、單選題1．（2024·河南·模擬預測）“，是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·吉林長春·一模）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·江蘇揚州·階段練習）設，，為實數，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023·山東·模擬預測）對于實數，，，下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，為非零實數，且，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東·二模）若，則（

）A． B．C． D．二、多選題7．（2023·湖南張家界·二模）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題8．（2023高三·全國·課后作業(yè)）已知，則的取值范圍是．9．（2023高三·全國·專題練習）若,,則的取值范圍是.10．（23-24高三上·海南?？凇ら_學考試）已知，，則的取值范圍是.一、單選題1．（2024·山東聊城·三模）“，且”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·山東濱州·二模）下列命題中，真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（2024·陜西銅川·三模）已知為正實數，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·福建福州·模擬預測）設，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．（2024·北京·三模）已知，且，則（

）A． B．C． D．7．（2024·四川成都·模擬預測）已知，為實數，則使得“”成立的一個必要不充分條件為（

）A． B．C． D．8．（2024高三下·全國·專題練習）記表示這3個數中最大的數．已知，，都是正實數，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·遼寧·模擬預測）若，則使“”成立的一個充分條件可以是（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽合肥·三模）已知實數滿足，則（

）A． B．C． D．一、單選題1．（四川·高考真題）若則一定有A． B． C． D．2．（浙江·高考真題）設，是實數，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（廣東·高考真題）設，若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．4．（上?！じ呖颊骖}）已知為非零實數，且，則下列命題成立的是A． B． C． D．5．（北京·高考真題）已知，，，均為實數，有下列命題：（1）若，，則；（2）若，，則；（3）若，，則，其中正確命題的個數是A．0 B．1 C．2 D．36．（北京·高考真題）設，且，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．7．（全國·高考真題）若，，則A． B． C． D．8．（重慶·高考真題）若，且，則的最小值是.A． B．3 C．2 D．二、多選題9．（上海·高考真題）如果，那么下列不等式不正確的是(

)A． B．C． D．三、填空題10．（遼寧·高考真題）已知且，則的取值范圍是（答案用區(qū)間表第04講等式與不等式性質（含糖水不等式）（6類核心考點精講精練）【備考策略】1.梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質2.能夠利用不等式的性質比較不等式的大小關系3.能夠利用不等式的關系表示不等式的范圍4.能利用糖水不等式解決不等式的相關問題知識講解等式的性質性質1如果，那么________；性質2如果，，那么________；性質3如果，那么________；性質4如果，那么________；性質5如果，，那么________；【答案】比較兩個實數大小兩個實數的大小是用實數的運算性質來定義的，有：；；另外，若，則有；；.【答案】不等式的基本性質：對稱性：．傳遞性：．可加性：．可積性：①；②．同向可加性：；異向可減性：．同向正數可乘性；異向異號可乘性：；異向正數可除性：．乘方法則：（，）．開方法則：（，）．倒數法則：；．【答案】糖水不等式及其變形若實數a，b，c，滿足，，則_____，eq\f(b,a)_____eq\f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq\f(a,b)_____eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)_____eq\f(a－m,b－m)，(b－m＞0)（用不等號填空）．【答案】＞＞＜對數型糖水不等式及其變形(1)設,且,則有(2)設,則有(3)上式的倒數形式：設,則有考點一、由不等式性質判斷式子大小關系1．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質推理判斷C.【詳解】對于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯誤；對于C，，則，C正確.故選：C2．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由不等式的基本性質，賦值法逐項判斷即可.【詳解】對于A，可以取，，，此時，所以A錯誤.對于B：∵，∴，因為，所以，故B正確；對于C：取，時，則，，，則，故C錯誤；對于D：當，時，，，則，故D錯誤；故選：B.1．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性質可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.【詳解】，即，故選項A正確；當時，滿足，但，此時，，故選項B，C錯誤；當時，由可得，故選項D錯誤.故選:A．2．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】舉反例即可求解ABC，根據不等式的性質即可求解D.【詳解】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，取,則，無法得到，C錯誤，由于，則，所以，故選：D考點二、由不等式關系，求解不等式范圍1．（2023高三·全國·專題練習）已知，，求的取值范圍為.【答案】【分析】先利用待定系數法得到，再利用不等式的性質即可得解.【詳解】設，則，解得，所以，因為，，所以，，所以．則的取值范圍為．故答案為：.2．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】先得到，并根據得到，從而求出.【詳解】因為，故，由得，解得，故.故答案為：1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的取值范圍是，的取值范圍是.【答案】【分析】根據不等式的性質即可求解.【詳解】因為，所以.又，所以，所以，即的取值范圍是.因為所以，即，所以的取值范圍是答案：,2．（23-24高三·安徽·階段練習）已知，，則的最小值.【答案】4【分析】利用不等式的性質求解.【詳解】設，所以，解得，所以，所以，即，所以的最小值為4，當，即時取得最小值，故答案為:4.3．（2024·浙江·模擬預測）已知正數滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據不等式的性質即可求解.【詳解】正數、、滿足，，，所以同理：有得到，所以兩式相加：即又,即即．故答案為：考點三、作差法或作商法比較式子大小關系1．（2024高三·全國·專題練習）已知實數，滿足，求證：.【答案】證明見解析【分析】利用作差法比較大小即可證明.【詳解】，因為，所以，所以.2．（上海浦東新·階段練習）設，比較與的大小【答案】【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與1進行比較即可.【詳解】，，，.1．（2024高三·全國·專題練習）已知為正實數．求證：.【答案】證明見解析【分析】根據題意，化簡得到，結合不等式的性質，即可得證.【詳解】證明：因為，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以.2．若，求證：．【答案】證明見解析【分析】作商法證明不等式.【詳解】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．考點四、由不等式性質證明不等式1．（2023高三·全國·專題練習）證明命題：“若在中分別為角所對的邊長，則”【答案】證明見解析【分析】由作差法證明，再由證明.【詳解】證明：取，因為，所以，即.所以又因為，故，所以.1．（1）設，，證明：；（2）設，，，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據作差法證明即可；（2）由于，故，再結合（1）的結論易證.【詳解】證明：（1）因為，，所以，。所以，故得證；（2）由不等式的性質知，，所以，又因為根據（1）的結論可知，，所以.所以.考點五、糖水不等式及其應用1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，能恰當表示這一事實的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意可知：在糖水中加入糖后，糖水濃度變大了，所以糖水變甜了.【詳解】原糖水的濃度為，加入糖后糖水的濃度為，加入糖后糖水濃度變大了，所以.故選：D2．（2023·四川涼山·一模）克糖水中含有克糖，糖的質量與糖水的質量比為，這個質量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為(，).若，，，則A． B．C． D．【答案】B【解析】根據題意當，時成立，得出，用作差法比較得出，即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以，，根據題意當，時成立，又，所以，即：，又所以，所以，故選：B.【點睛】對數運算的一般思路：（1）拆：首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后利用對數運算性質化簡合并；（2）合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算.1．（2023·湖南長沙·長郡中學?？级＃┮阎獙崝禎M足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒數形式，,則有:【法二】，故B正確；因為，所以有，故A錯誤；，故C正確；，故D正確．【答案】BCD2．（23-24高三·福建龍巖·階段練習）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質量分數為，這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式（，）數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可判斷與的大小：例如，試比較的大?。ㄌ睢?lt;”或”>”或”=”）【答案】<【分析】根據糖水不等式的知識求得正確答案.【詳解】依題意.故答案為：考點六、多選題綜合1．（2024·湖南長沙·二模）設a，b，c，d為實數，且，則下列不等式正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據不等式的相關性質可得A,D項正確；通過舉反例可說明B,C項錯誤.【詳解】對于A，由和不等式性質可得，故A正確；對于B，因，若取，，，，則，，所以，故B錯誤；對于C，因，若取，，，，則，，所以，故C錯誤；對于D，因為，則，又因則，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．故選：AD．2．（2024·廣西·二模）已知實數a，b，c滿足，且，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據不等式的基本性質和已知條件可逐項分析得到答案.【詳解】且，則，，則，A正確；因為，，所以，B錯誤；因為，，，當時，，則；當時，，則，當時，，則，故C錯誤；因為，當且僅當時，等號成立，此時由可得，不符合，所以不成立，故，即，D正確.故選：AD1．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】對A和C利用不等式性質即可判斷，對B和D舉反例即可反駁.【詳解】對A，因為，則兩邊同乘得，兩邊同乘得，則，故A正確；對B，當時，，故B錯誤；對C，因為，則，又因為，所以，故C正確；對D，舉例，則，而，此時兩者相等，故D錯誤.故選：AC.2．（2024·江西·模擬預測）已知，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據不等式的性質逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，，所以，故B正確；對于C，當，，，時，，故C不正確；對于D，因為，所以，又，所以.故D正確.故選：ABD.3．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】利用舉反例和不等式得性質進行判斷.【詳解】當為負數時A可能不成立，例如但是錯誤的.因為根據不等式性質可得正確.因為，所以所以即所以故C錯誤.因為，所以，所以正確.故選：BD一、單選題1．（2024·河南·模擬預測）“，是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據不等性質直接判斷.【詳解】由于，的正負性不確定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同時當“”時也不能推出“，”，故必要性也不成立.故選：D.2．（2023·吉林長春·一模）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊情形可判斷ABC，根據不等式性質判斷D.【詳解】對A，當時，不成立，故A錯誤；對B，當時，不成立，故B錯誤；對C，當時，不成立，故C錯誤；對D，由，又，所以，故D正確.故選：D3．（23-24高三上·江蘇揚州·階段練習）設，，為實數，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A選項，舉出反例；B選項，作差法比較出大小關系；CD選項，利用不等式的性質得到答案.【詳解】A選項，當時，，A錯誤；B選項，，因為，所以，則，故，，B錯誤；C選項，兩邊同乘以得，兩邊同乘以得，故，C正確；D選項，因為，所以，兩邊同除以得，D錯誤.故選：C4．（2023·山東·模擬預測）對于實數，，，下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】D【分析】由不等式的性質逐一判斷．【詳解】解：對于A：時，不成立，A錯誤；對于B：若，則，B錯誤；對于C：令，代入不成立，C錯誤；對于D：若，，則，，則，D正確；故選：D．5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，為非零實數，且，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對A、B、C舉反例即可得，對D作差計算即可得.【詳解】對A：若，則，故錯誤；對B：若，則，故錯誤；對C：若，則，，左右同除，有，故錯誤；對D：由且，為非零實數，則，即，故正確.故選：D.6．（2023·廣東·二模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較大小即可得出正確選項.【詳解】因為，所以.，因為，且，所以，所以，所以.故.故選：A二、多選題7．（2023·湖南張家界·二模）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】舉例說明即可判斷AD；根據不等式的基本性質即可判斷B；根據冪函數的性質即可判斷C.【詳解】A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故，兩邊平方，可得，故B正確；C：因為在上單調遞增，所以若，則，故C正確；D：若，不妨設，，顯然不滿足，故D錯誤.故選：BC.三、填空題8．（2023高三·全國·課后作業(yè)）已知，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用不等式的性質即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，在中，∵，∴，解得：，故答案為：.9．（2023高三·全國·專題練習）若,,則的取值范圍是.【答案】【分析】根據絕對值定義求范圍,再根據不等式性質求出結果.【詳解】因為,所以,又,所以,所以.故答案為:.10．（23-24高三上·海南海口·開學考試）已知，，則的取值范圍是.【答案】【分析】由得到，相加后得到取值范圍.【詳解】因為，所以，得.故答案為：一、單選題1．（2024·山東聊城·三模）“，且”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，結合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】若，且，根據不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B2．（2024·山東濱州·二模）下列命題中，真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由不等式的性質可判斷A,B,C，利用基本不等式，當且僅當時等號成立，即可判斷D.【詳解】對于A，由，可得，故A錯誤；對于B，由，，，可得，故B錯誤；對于C，若，且當時，可得為任意值，故C錯誤；對于D，因為，當且僅當時，等號成立，即，故D正確.故選：D.3．（2024·陜西銅川·三模）已知為正實數，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，結合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】若，根據糖水不等式可得，即充分性成立；若，則，即且，故，即必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C.4．（2024·福建福州·模擬預測）設，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據充要條件的概念即可求解.【詳解】當時，或，則，即充分性成立；當時，，則，即必要性成立；綜上可知，“”是“”的充要條件.故選：C.5．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】舉反例即可推出A,B,C錯誤，D利用反比例函數單調性和不等式可加性即可證得.【詳解】當時，，所以A錯.當時，，所以B錯.當時，，所以C錯.若，則，則成立，所以D正確.故選：D6．（2024·北京·三模）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，正切函數的性質，以及指數函數與對數函數的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，，其中，但的符號不確定，所以A不正確；對于B中，例如，此時，所以B不正確；對于C中，由函數在上為單調遞減函數，因為，所以，可得，所以C正確；對于D中，例如，此時，所以D不正確.故選：C.7．（2024·四川成都·模擬預測）已知，為實數，則使得“”成立的一個必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的性質、結合對數函數、冪函數單調性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】對于A，，不能推出，如，反之，則有，即是的既不充分也不必要條件，A錯誤；對于B，由，得，即，不能推出，反之，則，因此是的必要不充分條件，B正確；對于C，，是的充分必要條件，C錯誤；對于D，由，得，反之不能推出，因此是的充分不必要條件，D錯誤.故選：B.8．（2024高三下·全國·專題練習）記表示這3個數中最大的數．已知，，都是正實數，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案.【詳解】因為，所以，，所以，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故選：A二、多選題9．（2024·遼寧·模擬預測）若，則使“”成立的一個充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據不等式的性質及對數函數的單調性結合充分條件的定義即可得解.【詳解】對于A，因為，所以，選項A正確；對于B，滿足，選項錯B錯誤；對于C，，當時，，選項錯C錯誤；對于D，，因為，所以，選項D正確.故選：AD.10．（2024·安徽合肥·三模）已知實數滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據題意，利用作差比較法，結合不等式的性質，可判定A錯誤，B正確；令，利用導數求得函數的單調性，得到，進而判定C正確；結合在上單調遞增，可判定D正確．【詳解】對于A中，由，可得，所以A錯誤；對于B中，由，則，所以B正確；對于C中，令，可得，當時，，單調遞增，因為，則，所以，即，所以，所以C正確；對于D中，由函數在上單調遞增，因為，則，即，所以，所以D正確．故選：BCD．一、單選題1．（四川·高考真題）若則一定有A． B． C． D．【答案】D【詳解】本題主要考查不等關系．已知,所以，所以，故．故選2．（浙江·高考真題）設，是實數，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必