85-第二型曲面積分省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

曲面分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.經(jīng)典雙側(cè)曲面8-5第二型曲面積分1.雙側(cè)曲面動點在雙側(cè)曲面上連續(xù)移動(不跨越曲面邊界)并返回到起始點時,其法向量指向不變.第1頁曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分左側(cè)和右側(cè)

第2頁莫比烏斯帶經(jīng)典單側(cè)曲面:第3頁莫比烏斯帶

第4頁其方向使用方法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)

>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)要求

指定了側(cè)曲面叫有向曲面,

表示:其面元在xOy

面上投影記為面積為則要求類似可要求第5頁實例:流向曲面一側(cè)流量.2.第二型曲面積分概念第6頁

S是速度場中一片有向曲面,函數(shù)),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在S上連續(xù),

求在單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)流體質(zhì)量F.(2)設(shè)穩(wěn)定流動不可壓縮流體(假定密度為1)速度場由kzyxRjzyxQizyxPzyxvrrrr),,(),,(),,(),,(++=給出.

第7頁1.分割則該點流速為法向量為.把曲面S分成n小塊(),第i小塊曲面面積同時也代表在上任取一點第8頁2.求和經(jīng)過S流向指定側(cè)流量該點處曲面S單位法向量第9頁3.取極限.得到流量m準確值第10頁,則

第11頁第二型曲面積分定義設(shè)S是一個分片光滑雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)單位法向量為假設(shè)在S上給定了一個向量函數(shù)將S分割成n個不相重合小曲面片在上任取一點作和式令是中直徑最大者

在S上選定了一側(cè),第12頁若和式對Ｓ任意一個分割及中間點任意選取，當時總有極限，則稱此極限為向量函數(shù)在Ｓ所指定一側(cè)上第二型曲面積分，也稱為對坐標曲面積分或第13頁其中與為同一個曲面兩個相反定向.(2)若積分與存在,則其中為任意常數(shù)．第二型曲面積分性質(zhì)第14頁其中由互不重合兩個曲面組成．3.第二型曲面積分計算第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分形式和坐標形式第15頁為dS在平面上有向投影面積.若單位法向量方向余弦為(上正下負)第16頁平面上有向投影面積.平面上有向投影面積.(前正后負)(右正左負)第17頁稱為P在有向曲面S上對坐標y,z曲面積分;稱為Q在有向曲面S上對坐標z,x曲面積分;稱為R在有向曲面S上對坐標x,y曲面積分;若以-S表示曲面S另一側(cè)，則由定義可得注意:對坐標曲面積分,必須注意曲面所取側(cè).第18頁取上側(cè),是S上連續(xù)函數(shù),則設(shè)光滑曲面注：積分計算，必須先將曲面表示成：再代公式計算積分計算方法：第19頁說明:假如積分曲面S取下側(cè),則若曲面S是母線平行于z軸柱面（垂直于xy坐標面）則第20頁(前正后負)將曲面S表示為若曲面S是母線平行于x軸柱面（垂直于yoz坐標面）則積分計算方法：第21頁(右正左負)若曲面S是母線平行于y軸柱面（垂直于zox坐標面）則積分計算方法：將曲面S表示為注意:對坐標曲面積分,必須注意曲面所取側(cè).第22頁概括為：代：將曲面方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個變量同名坐標面上（如xoy面）定號：

由曲面方向，即曲面?zhèn)却_定二重積分正負號一代、二投、三定號注意積分曲面方程必須表示為單值顯函數(shù)不然分片計算，結(jié)果相加②確定正負號標準：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負？第23頁第二型曲面積分性質(zhì)（坐標形式）⑴⑵若曲面S由兩兩無公共內(nèi)點曲面

Si

i=1,2,...,n所組成，則第24頁由第二型曲面積分定義，流體以速度從曲面S負側(cè)流向正側(cè)總流量第25頁解第26頁第27頁第28頁第29頁第30頁第31頁第32頁第33頁第34頁第35頁法向量指向上側(cè)時取正，指向下側(cè)時取負．單位法向