2024-2025學年高一上學期數(shù)學期末考點《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》含答案解析

試題PAGE1試題清單07指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，2、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）【清單02】根式1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.②當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().③負數(shù)沒有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、根式：式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．在根式符號中，注意：①，②當為奇數(shù)時，對任意都有意義③當為偶數(shù)時，只有當時才有意義.3、與的區(qū)別：①當為奇數(shù)時，（）②當為偶數(shù)時，（）③當為奇數(shù)時，且，④為偶數(shù)時，且，【清單03】分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.3、的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.【清單04】有理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）知識點05：無理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）【清單05】指數(shù)函數(shù)的概念1、一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量，定義域是.2、學習指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點（1）定義域為：（2）規(guī)定是因為：①若，則（恒等于1）沒有研究價值；②若，則時，（恒等于0），而當時，無意義；③若，則中為偶數(shù)，為奇數(shù)時，無意義.④只有當或時，即，可以是任意實數(shù).（3）函數(shù)解析式形式要求：指數(shù)函數(shù)只是一個新式定義，判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關鍵有三點：①的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個自變量，而不是含自變量的多項式.【清單06】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質1、函數(shù)的圖象和性質如下表：底數(shù)圖象性質定義域值域定點圖象過定點單調性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當時，當時，當時，當時，當時，當時，對稱性函數(shù)與的圖象關于軸對稱2、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對圖象的影響函數(shù)的圖象如圖所示：觀察圖象，我們有如下結論：2.1.底數(shù)與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.（1）當時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當時，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值增長的越快.（2）當時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當時，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.2.2.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內的函數(shù)圖象越“靠上”.在同一平面直角坐標系中，底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低；在軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在軸左側，圖象從上到下相應的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；【清單07】指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1、定義域：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為（2）的定義域與函數(shù)的定義域相同（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同.2、值域（1）指數(shù)函數(shù)的值域為（2）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結合得性質確定的值域（3）求形如的值域，轉化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.【清單08】指數(shù)函數(shù)的圖象變換已知函數(shù)1、平移變換①②③④2、對稱變換①②③3、翻折變換①（去掉軸左側圖象，保留軸右側圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側）②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）【考點題型一】根式的化簡求值核心方法：①當為奇數(shù)時，（）②當為偶數(shù)時，（）③當為奇數(shù)時，且，④為偶數(shù)時，且，【例1】（24-25高一上·上海浦東新·期中）當時，化簡.【變式1-1】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知，則（

）A．－1 B．1 C． D．【變式1-2】（多選）（24-25高一上·浙江·期中）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【考點題型二】分數(shù)指數(shù)冪的化簡求值核心方法：根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪定義①（，，）②（，，）【例2】（24-25高一上·天津·期中）計算下列各式：(1)（其中a>0，結果化為冪的形式）；(2)(3)【變式2-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）計算：.【變式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）計算:.【考點題型三】條件求值核心方法：完全平方公式；立方公式【例3】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，那么等于.【變式3-1】（24-25高一上·寧夏吳忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：①；②.【變式3-2】（24-25高一上·江蘇南通·階段練習）已知，求下列各式的值：①；②.【考點題型四】指數(shù)冪的綜合運算【例4】（23-24高一上·天津南開·期中）計算：(1)；(2)．【變式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）計算下列各式的值(1)；(2)．【變式4-2（23-24高一上·山東泰安·期中）（1）計算：；（2）已知，求的值.【考點題型五】指數(shù)函數(shù)的定義與求值（參數(shù)）【例5】（24-25高一上·河北張家口·階段練習）已知指數(shù)函數(shù)在上單調遞增，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【變式5-1】（24-25高一上·云南紅河·階段練習）已知指數(shù)函數(shù)，則的值為.【變式5-2】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是【考點題型六】指數(shù)函數(shù)的圖象過定點核心方法：【例6】（24-25高三上·河北·階段練習）函數(shù)的圖象恒過的定點為．【變式6-1】（24-25高一上·福建龍巖·階段練習）已知函數(shù)的圖像恒過定點，且點在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C．2 D．【變式6-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)（且）的圖象恒過定點，點的坐標是.【考點題型七】指數(shù)（型）函數(shù)圖象的識別【例7】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【變式7-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【變式7-2】（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【變式7-3】（多選）（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)且的圖象可能為（

）A． B．C． D．【考點題型八】畫指數(shù)（型）函數(shù)圖象核心方法：根據(jù)函數(shù)圖象變換方法【例8】（2024高三·全國·專題練習）作出函數(shù)的圖象.【變式8-1】（24-25高一上·全國·課前預習）已知直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．【變式8-2】（2023高三·全國·專題練習）已知的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由的圖象通過怎樣的變換得到的.(1)；(2)；(3)；(4).【考點題型九】利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性【例9】（多選）（24-25高一上·河南洛陽·期中）下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【變式9-1】（浙江省臺州市山海協(xié)作體2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高一上·天津南開·期中）若，則（

）A． B．C． D．【考點題型十】利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性【例10】（23-24高一上·重慶·階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的值域；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【變式10-1】（23-24高一上·廣東深圳·期中）設函數(shù)（，且）是定義域為的奇函數(shù)，且的圖象過點．(1)求t和a的值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍；【變式10-2】（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值，并判斷的單調性（注：無需證明的單調性）；(2)若，求的取值范圍．【變式10-3】（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知是定義在上的奇函數(shù)(1)判斷在上的單調性，并用定義證明；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【考點題型十一】指數(shù)型復合函數(shù)的單調性核心方法：復合函數(shù)單調性法則【例11】（24-25高三上·四川廣安·階段練習）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是【變式11-1】（多選）（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域為RB．值域為C．在上單調遞增D．在上單調遞減【變式11-2】（2024高一·全國·專題練習）設函數(shù)（且）在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【考點題型十二】與指數(shù)函數(shù)（指數(shù)型復合函數(shù)）有關的值域核心方法：換元法【例12】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)若對，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【變式12-1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知定義在上的函數(shù)()(1)若，求函數(shù)在上的最大值；(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【變式12-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若有最小值3，求的值.【考點題型十三】可化為一元二次函數(shù)型指數(shù)型復合函數(shù)值域問題核心方法：換元法【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，.(1)當時，求的最小值；(2)記的最小值為，求的解析式.【變式13-1】（23-24高一上·吉林長春·期中）已知函數(shù)，且，．(1)求a，b的值，并寫出的解析式；(2)設，求在的最大值和最小值．【變式13-2】（24-25高一上·青海海東·階段練習）已知指數(shù)函數(shù)（且）的圖象過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域和單調區(qū)間．【考點題型十四】與指數(shù)函數(shù)的相關的綜合問題（單調性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等問題）核心方法：【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，.(1)求的值；(2)判斷hx的奇偶性，判斷并用定義法證明h(3)已知對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式14-1】（24-25高一上·河南南陽·期中）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點，函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調性，并用定義證明；(3)若不等式對恒成立，求t的取值范圍.【變式14-2】（24-25高一上·貴州黔西·期中）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)證明：在上為減函數(shù)；(3)若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【變式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調性，并用定義法證明；(3)若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【考點題型十五】指數(shù)函數(shù)中新定義問題【例15】（24-25高一上·上海徐匯·期中）對于函數(shù)，若其定義域內存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”(1)已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”，并說明理由；(2)若冪函數(shù)使得在上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求m的取值集合．【變式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）對于定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)，若.(1)已知試寫出、的表達式;(2)設且函數(shù)如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍；(3)若存在最小正整數(shù)k，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的"k階收縮函數(shù)"，已知，函數(shù)是上的“3階收縮函數(shù)”，求b的取值范圍.【變式15-2】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)c，使得對任意，都有，且對任意，當時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“卷函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“卷函數(shù)”？并說明理由：(2)設是（1）中的“卷函數(shù)”，若不等式對恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“卷函數(shù)”，求的值.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）設指數(shù)函數(shù)且，則“”是“是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（24-25高一上·廣東清遠·期中）設，，，則（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù)（且）在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在R上的奇函數(shù)是常數(shù)，存在實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，則滿足不等式的的范圍是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·福建福州·期中）設函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上的單調性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）設，，且，則下列關系式中一定不成立的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一下·遼寧·階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．若是偶函數(shù)，則B．無論取何值，都不可能是奇函數(shù)C．在區(qū)間上單調遞減D．的最大值小于1三、填空題11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．12．（24-25高一上·福建福州·期中）設函數(shù)，，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍是.四、解答題13．（山東省百師聯(lián)考2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題）已知函數(shù).(1)當時，求的值域；(2)若的最小值為3，求k的值；(3)在（2）的條件下，若不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.14．（廣西壯族自治區(qū)玉林市2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求出a，b的值，判斷函數(shù)在上的單調性，并用定義證明；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.15．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)，求在[1,3]的最小值；(3)若使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求，的解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；(3)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17．（遼寧省普通高中2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題）若函數(shù)與滿足：對任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當時，則稱為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”.(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；(2)若為區(qū)間上的“9階自伴函數(shù)”，求的值；(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.清單07指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，2、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）【清單02】根式1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.②當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().③負數(shù)沒有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、根式：式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．在根式符號中，注意：①，②當為奇數(shù)時，對任意都有意義③當為偶數(shù)時，只有當時才有意義.3、與的區(qū)別：①當為奇數(shù)時，（）②當為偶數(shù)時，（）③當為奇數(shù)時，且，④為偶數(shù)時，且，【清單03】分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.3、的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.【清單04】有理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）知識點05：無理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）【清單05】指數(shù)函數(shù)的概念1、一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量，定義域是.2、學習指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點（1）定義域為：（2）規(guī)定是因為：①若，則（恒等于1）沒有研究價值；②若，則時，（恒等于0），而當時，無意義；③若，則中為偶數(shù)，為奇數(shù)時，無意義.④只有當或時，即，可以是任意實數(shù).（3）函數(shù)解析式形式要求：指數(shù)函數(shù)只是一個新式定義，判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關鍵有三點：①的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個自變量，而不是含自變量的多項式.【清單06】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質1、函數(shù)的圖象和性質如下表：底數(shù)圖象性質定義域值域定點圖象過定點單調性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當時，當時，當時，當時，當時，當時，對稱性函數(shù)與的圖象關于軸對稱2、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對圖象的影響函數(shù)的圖象如圖所示：觀察圖象，我們有如下結論：2.1.底數(shù)與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.（1）當時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當時，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值增長的越快.（2）當時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當時，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.2.2.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內的函數(shù)圖象越“靠上”.在同一平面直角坐標系中，底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低；在軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在軸左側，圖象從上到下相應的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；【清單07】指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1、定義域：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為（2）的定義域與函數(shù)的定義域相同（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同.2、值域（1）指數(shù)函數(shù)的值域為（2）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結合得性質確定的值域（3）求形如的值域，轉化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.【清單08】指數(shù)函數(shù)的圖象變換已知函數(shù)1、平移變換①②③④2、對稱變換①②③3、翻折變換①（去掉軸左側圖象，保留軸右側圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側）②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）【考點題型一】根式的化簡求值核心方法：①當為奇數(shù)時，（）②當為偶數(shù)時，（）③當為奇數(shù)時，且，④為偶數(shù)時，且，【例1】（24-25高一上·上海浦東新·期中）當時，化簡.【答案】4【知識點】根式的化簡求值【分析】將根式里面進行配方，結合的范圍即可化簡.【詳解】因為,所以,所以,故答案為：4.【變式1-1】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知，則（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】B【知識點】根式的化簡求值【分析】根據(jù)根式的性質化簡求值即可.【詳解】因為，所以，故選：B【變式1-2】（多選）（24-25高一上·浙江·期中）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)冪的運算【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則即可判斷.【詳解】對A，，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確.故選：CD.【考點題型二】分數(shù)指數(shù)冪的化簡求值核心方法：根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪定義①（，，）②（，，）【例2】（24-25高一上·天津·期中）計算下列各式：(1)（其中a>0，結果化為冪的形式）；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知識點】指數(shù)冪的運算、分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)根式的運算與指數(shù)冪的運算法則化簡即可；（2）根據(jù)根式的性質與指數(shù)冪的運算法則化簡即可；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則化簡即可.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.【變式2-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）計算：.【答案】3【知識點】分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】利用指數(shù)冪的運算法則，結合根式與指數(shù)冪的互化即可得解.【詳解】.故答案為：3.【變式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）計算:.【答案】【知識點】指數(shù)冪的化簡、求值【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪運算法則計算可得結果.【詳解】易知原式；故答案為：【考點題型三】條件求值核心方法：完全平方公式；立方公式【例3】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，那么等于.【答案】【知識點】指數(shù)冪的化簡、求值【分析】根據(jù)，再結合時，則，即可求解.【詳解】由，因為，則，故，即得.故答案為：.【變式3-1】（24-25高一上·寧夏吳忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：①；②.【答案】①7；②47【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪以及根式的運算性質計算出結果；①由求解出結果；②由求解出結果.【詳解】①因為，所以，即，所以；②由①知，兩邊平方得，.【變式3-2】（24-25高一上·江蘇南通·階段練習）已知，求下列各式的值：①；②.【答案】（1）；（2）①7；②【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)冪的運算、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】利用平方關系求解.【詳解】①因為，所以，即，所以；②因為，又因為，所以【考點題型四】指數(shù)冪的綜合運算【例4】（23-24高一上·天津南開·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】指數(shù)冪的運算【分析】根據(jù)冪的運算性質，可得答案.【詳解】（1）.（2）.【變式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）計算下列各式的值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】指數(shù)冪的運算、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運算公式直接求值；（2）根據(jù)指數(shù)運算公式化簡求值.【詳解】（1）；（2）.【變式4-2（23-24高一上·山東泰安·期中）（1）計算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）108；（2）2【知識點】指數(shù)冪的運算【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質分別計算即可.【詳解】（1）原式；（2）因為，所以，所以.【考點題型五】指數(shù)函數(shù)的定義與求值（參數(shù)）【例5】（24-25高一上·河北張家口·階段練習）已知指數(shù)函數(shù)在上單調遞增，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【知識點】由指數(shù)（型）的單調性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【分析】令系數(shù)為，解出的值，又函數(shù)在上單調遞增，可得答案．【詳解】解得，又函數(shù)在上單調遞增，則，故選：B【變式5-1】（24-25高一上·云南紅河·階段練習）已知指數(shù)函數(shù)，則的值為.【答案】27【知識點】求函數(shù)值、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求得，進而代入求解即可.【詳解】因為為指數(shù)式，則，解得或，又因為且，可得，即，所以.故答案為：27.【變式5-2】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義要滿足條件得到關于的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，，由解得或，.所以a的取值范圍為：.故答案為：.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)定義的應用，屬于基礎題.【考點題型六】指數(shù)函數(shù)的圖象過定點核心方法：【例6】（24-25高三上·河北·階段練習）函數(shù)的圖象恒過的定點為．【答案】【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題【分析】根據(jù)題意結合指數(shù)函數(shù)定點分析求解即可.【詳解】令，解得，且，所以函數(shù)的圖象恒過的定點為.故答案為：.【變式6-1】（24-25高一上·福建龍巖·階段練習）已知函數(shù)的圖像恒過定點，且點在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】C【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指數(shù)函數(shù)性質得定點坐標，代入直線方程得的關系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由得，又，所以定點為，從而，，當且僅當時等號成立，故選：C【變式6-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)（且）的圖象恒過定點，點的坐標是.【答案】【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質即可確定的坐標．【詳解】令，解得，此時，點的坐標為.故答案為：.【考點題型七】指數(shù)（型）函數(shù)圖象的識別【例7】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知識點】判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀【分析】根據(jù)函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的圖象特征，即可判斷選項.【詳解】，所以，排除AC，且，排除D.故選：B【變式7-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)圖像的識別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結合特殊值排除即可.【詳解】定義域為，且，則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.再取特殊值，且為正數(shù).排除D.當時，，越大函數(shù)值越接近1，排除C.故選：A.【變式7-2】（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)圖像的識別、具體函數(shù)的定義域【分析】由奇偶性及函數(shù)值即可判斷.【詳解】由知：，，偶函數(shù)，AC錯，，B錯，故選：D【變式7-3】（多選）（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)且的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】結合指數(shù)函數(shù)的圖象性質，分，分別研究單調性和漸近線，進而得到答案.【詳解】當時，，顯然當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，函數(shù)圖象的漸近線為，而，故A，B不符合；對于C，D，因為漸近線為，故，故時，，故選項C符合，D不符合；當時，，當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，函數(shù)圖象的漸近線為，而，故B符合，A，C，D不符合；故選：BC.【考點題型八】畫指數(shù)（型）函數(shù)圖象核心方法：根據(jù)函數(shù)圖象變換方法【例8】（2024高三·全國·專題練習）作出函數(shù)的圖象.【答案】圖象見解析【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】根據(jù)圖象變換的知識，由的圖象進行圖象變換，從而畫出函數(shù)的圖象.【詳解】設，其圖象可看作由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到，而，其圖象可由的圖象保留時的圖象，然后將該部分關于y軸對稱得到，則圖象如圖示：【變式8-1】（24-25高一上·全國·課前預習）已知直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】．【知識點】畫出具體函數(shù)圖象、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】依題意，作出函數(shù)的圖象，要使兩者有兩個公共點，需使，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由，作出函數(shù)的圖象如圖．由圖知，要使直線與該圖象有兩個公共點，則有，即.故實數(shù)a的取值范圍為．【變式8-2】（2023高三·全國·專題練習）已知的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由的圖象通過怎樣的變換得到的.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應用【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖像的平移和對稱法則得到答案.【詳解】（1）的圖象是由的圖象向左平移1個單位長度得到的．（2）的圖象是由的圖象向上平移1個單位長度得到的．（3）與的圖象關于y軸對稱，作的圖象關于軸的對稱圖形便可得到的圖象．（4）為偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，故保留當時，的圖象，再作其關于軸的對稱圖形，即可得到的圖象．【考點題型九】利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性【例9】（多選）（24-25高一上·河南洛陽·期中）下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知識點】比較指數(shù)冪的大小、判斷一般冪函數(shù)的單調性【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)單調性來比較各選項中數(shù)的大小.【詳解】對于A選項，對于指數(shù)函數(shù)，因為，指數(shù)函數(shù)單調遞減.又因為，，即.所以，A選項正確.對于B選項,對于，是單調遞減函數(shù)，.在單調遞增，,所以，B選項錯誤.對于C選項,，.是單調遞增函數(shù)，.所以，C選項正確.對于D選項,，.是單調遞增函數(shù)，，則，其倒數(shù)關系為.所以，D選項錯誤.故選：AC.【變式9-1】（浙江省臺州市山海協(xié)作體2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較指數(shù)冪的大小【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，即可判斷.【詳解】，，，單調遞減，，所以，即.故選：D【變式9-2】（24-25高一上·天津南開·期中）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】比較指數(shù)冪的大小【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性結合中間量法求解即可.【詳解】因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，又，所以.故選：D.【考點題型十】利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性【例10】（23-24高一上·重慶·階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的值域；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1，(2)【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性【分析】（1）由奇函數(shù)的性質可得，即可求出m的值；由可得，即可求解；（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式即可求解.【詳解】（1）因為的定義域為R，且為奇函數(shù)，則有，即，經(jīng)檢驗，符合題意，所以.又，則，即，即，則，所以函數(shù)的值域為.另解：顯然是R上的增函數(shù)，且，由函數(shù)單調性的性質可得在上遞增，即也在上遞增，故當時，，同時，由增函數(shù)性質可得，故函數(shù)的值域為.（2）由，可得，又函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，又是R上的單調增函數(shù)，由函數(shù)單調性的性質可得是R上的單調減函數(shù)，即是R上的單調增函數(shù)，由可化為，即，所以實數(shù)的取值范圍為.【變式10-1】（23-24高一上·廣東深圳·期中）設函數(shù)（，且）是定義域為的奇函數(shù)，且的圖象過點．(1)求t和a的值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍；【答案】(1)(2)【知識點】判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性、根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】(1)直接利用奇函數(shù)性質可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過點代入求a.(2)利用奇函數(shù)的性質可得，再由函數(shù)單調性脫去“”，轉化為二次不等式恒成立求解即可.【詳解】（1）因為函數(shù)（，且）是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，所以，解得，所以，因為函數(shù)的定義域為關于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故滿足題意，又因為的圖象過點，所以，，且，解得或（舍去），綜上t和a的值分別為2，2.（2）由（1）可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以不等式等價于，因為指數(shù)函數(shù)在上單調遞增，所以由復合函數(shù)單調性可知在上單調遞增，所以不等式等價于，即，不等式恒成立，當且僅當，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.【變式10-2】（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值，并判斷的單調性（注：無需證明的單調性）；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)，在和上都是減函數(shù)．(2)．【知識點】判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性、根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求得參數(shù)，再由單調性定義證明．（2）利用奇函數(shù)性質變形不等式，再由單調性求解．【詳解】（1）由題意恒成立，即，整理得，∴，，，它在和上都是減函數(shù)，設且均不為0，，若，則，，，所以，即，∴在上是減函數(shù)，同理若，則，，，所以，即，∴在上是減函數(shù)．（2），時，，時，，，是奇函數(shù)，則，，若，則，不合題意，∴且，解得．【變式10-3】（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知是定義在上的奇函數(shù)(1)判斷在上的單調性，并用定義證明；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調遞減，證明見解析；(2)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調性、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性、根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）根據(jù)指數(shù)型復合函數(shù)單調性判斷，再利用定義證明單調性的步驟，取值、作差、變形、定號、下結論即可；（2）根據(jù)奇函數(shù)和單調性原不等式等價于，即可求解.【詳解】（1）解：因為，在上單調遞增，所以在上單調遞減，證明如下：證明：．設，則，所以，因為，所以，所以，所以在上是減函數(shù)；（2）解：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以成立，等價于成立，因為在上是減函數(shù)，所以，，即，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為．【考點題型十一】指數(shù)型復合函數(shù)的單調性核心方法：復合函數(shù)單調性法則【例11】（24-25高三上·四川廣安·階段練習）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是【答案】【知識點】求函數(shù)的單調區(qū)間、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調性，結合復合函數(shù)單調性求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，令，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而函數(shù)在定義域上單調遞減，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.故答案為：【變式11-1】（多選）（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域為RB．值域為C．在上單調遞增D．在上單調遞減【答案】ABD【知識點】求指數(shù)型復合函數(shù)的值域、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷A；求出的值域再利用指數(shù)函數(shù)的單調性可判斷B；根據(jù)復合函數(shù)的單調性可判斷CD.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為R，故A正確；對于B，因為，所以，故函數(shù)的值域為，故B正確；對于CD，因為在R上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞減，C錯誤，D正確.故選：ABD.【變式11-2】（2024高一·全國·專題練習）設函數(shù)（且）在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由指數(shù)（型）的單調性求參數(shù)、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調性計算即可.【詳解】易知，顯然在上單調遞增，在上單調遞減，因為在區(qū)間1,+∞上單調遞增，結合復合函數(shù)的單調性可知，且，所以.故選：A【考點題型十二】與指數(shù)函數(shù)（指數(shù)型復合函數(shù)）有關的值域核心方法：換元法【例12】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)若對，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）首先利用指數(shù)運算，化簡函數(shù)，再利用換元，結合對勾函數(shù)的單調性，即可求解函數(shù)的最值；（2）首先將函數(shù)和在定義域的最小值設為，由題意可知，首先求得，，確定的取值范圍，再討論去絕對值，求，然后解不等式，即可求解.【詳解】（1）若，，因為，令，則，又因為在上單調遞增，當，即時，函數(shù)取得最小值；（2）設在上的最小值為，在上的最小值為，由題意可知，，若，，因為，令，則，又因為在上單調遞增，當，即時，函數(shù)取得最小值2，即；所以在上的最小值應該滿足，；因為，解得：或，當時，且，則，可得，可得的最小值為，則，解得：，當時，且，，可得，可知，的最小值為，則，解得：，綜上可知，的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是求函數(shù)的最小值，根據(jù)，縮小的取值范圍，再討論去絕對值.【變式12-1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知定義在上的函數(shù)()(1)若，求函數(shù)在上的最大值；(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)8(2)【知識點】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）換元，令，可得，結合二次函數(shù)求最值；（2）由，換元令，整理得，結合函數(shù)單調性分析求解.【詳解】（1）若，則，因為x∈0,2，令，可得的圖象開口向上，對稱軸為，可知：當時，取得最大值，所以函數(shù)在0,2上的最大值為8.（2）因為，即，整理得，令，當且僅當，即時，等號成立，則，，則，整理得，由題意可知：方程在內有解，因為在內單調遞增，可知在內單調遞增，則，可得，所以實數(shù)的取值范圍為.【變式12-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若有最小值3，求的值.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2).【知識點】判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性、根據(jù)指數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）令，利用復合函數(shù)的單調性分析求解；（2）設，結合指數(shù)函數(shù)單調性可知的最小值為1，然后分和兩種情況，結合二次函數(shù)最值分析求解.【詳解】（1）因為，所以.設，則.因為，所以為R上的單調遞增函數(shù).又在上單調遞增，在上單調遞減.所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）設，則.因為，所以為R上的單調增函數(shù).因為有最小值3，所以，的最小值為1.當時，，無最小值，不合題意；當時，則，解得.【考點題型十三】可化為一元二次函數(shù)型指數(shù)型復合函數(shù)值域問題核心方法：換元法【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，.(1)當時，求的最小值；(2)記的最小值為，求的解析式.【答案】(1)(2)【知識點】與二次函數(shù)相關的復合函數(shù)問題、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、復合函數(shù)的最值【分析】（1）當時代入，再結合換元法和二次函數(shù)性質即可；（2）由（1）知，令，，則原函數(shù)可化為，根據(jù)對稱軸與區(qū)間位置關系分情況討論即可求得．【詳解】（1）設，因為，則，則，，當時，，，∴時，，即當時，.（2）由（1）知，，其圖象的對稱軸為．①當時，在上單調遞增，所以；②當時，，③當時，在上單調遞減，所以.綜上，.【變式13-1】（23-24高一上·吉林長春·期中）已知函數(shù)，且，．(1)求a，b的值，并寫出的解析式；(2)設，求在的最大值和最小值．【答案】(1)，，(2)最大值為，最小值為．【知識點】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、求解析式中的參數(shù)值【分析】（1）根據(jù)，列出方程組，解出的值，進而可得的解析式；（2）先求出，然后利用換元法，結合二次函數(shù)的知識可求出結果．【詳解】（1）由，得，解得，．且．所以a，b的值分別為1，2，的解析式為．（2），令，則由得，所以變?yōu)?，．對稱軸為直線，，所以當，即時，；當，即時，．綜上時，的最大值為，最小值為．【變式13-2】（24-25高一上·青海海東·階段練習）已知指數(shù)函數(shù)（且）的圖象過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域和單調區(qū)間．【答案】(1)(2)值域為；單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【知識點】求指數(shù)函數(shù)解析式、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值【分析】（1）由可求出的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）令，，利用復合函數(shù)的單調性可得出函數(shù)在上的單調增區(qū)間和減區(qū)間，并由此求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）解：因為函數(shù)（且）的圖象過點，則，解得，因此，.（2）解：，令，因為，則，令，當時，函數(shù)單調遞減，此時，，當時，函數(shù)單調遞增，此時，，又因為函數(shù)單調遞增，所以，函數(shù)在上的減區(qū)間為，增區(qū)間為.故當時，，又因為，，故，所以，函數(shù)在上的值域為.【考點題型十四】與指數(shù)函數(shù)的相關的綜合問題（單調性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等問題）核心方法：【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，.(1)求的值；(2)判斷hx的奇偶性，判斷并用定義法證明h(3)已知對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)為奇函數(shù)，證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義研究式子恒成立即可求得的值；（2）利用奇偶性定義判斷，利用單調性定義證明即可；（3）可將不等式轉化為，再應用函數(shù)的單調性轉化成，再分類討論解出的取值范圍即可.【詳解】（1）解：由題意，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以f?x=?fx所以恒成立，所以；所以，即，所以恒成立，所以（2）因為，則的定義域為，因為，所以hx為奇函數(shù)；因為，于是任取，且，則，，所以hx為上增函數(shù)；（3）解：因為，所以即，又因為hx為R上增函數(shù)，所以對任意x∈R恒成立，當時，解集不為R，所以；當時，只需，可得到.綜上實數(shù)的取值范圍是【變式14-1】（24-25高一上·河南南陽·期中）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點，函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調性，并用定義證明；(3)若不等式對恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)單調遞增，證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調性、求指數(shù)函數(shù)解析式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義及函數(shù)圖象所過點求解；（2）利用函數(shù)單調性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調性轉化為恒成立，分離參數(shù)得解.【詳解】（1）設（，且），由，得，所以.（2）在上單調遞增.證明如下：由題意得.，，且，則.由，得，，則，.所以，即，故在上單調遞增.（3）由題意得，所以是偶函數(shù).由，得，易得，，因為在上單調遞增，所以由，得.當時，恒成立；當時，.因為，所以，得，即t的取值范圍為.【變式14-2】（24-25高一上·貴州黔西·期中）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)證明：在上為減函數(shù)；(3)若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調性、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）定義域為R的奇函數(shù)滿足，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)定義證明單調性即可；（3）根據(jù)奇函數(shù)性質轉化成，再結合函數(shù)單調性求解.【詳解】（1）因為為R上的奇函數(shù)，所以，得.又，得.經(jīng)檢驗，符合題意.（2）任取，且，則.因為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性，所以.又因為，所以，所以為R上的減函數(shù).（3）因為，不等式恒成立，所以.因為為奇函數(shù)，所以.因為為R上的減函數(shù)，所以，即恒成立，而，取得等號.所以.【變式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調性，并用定義法證明；(3)若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)為上的增函數(shù)，證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調性、利用函數(shù)單調性求最值或值域、由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)的性質與定義求參數(shù)即可得結論；（2）利用單調性的定義，取值，作差，變形，定號，從而可證得函數(shù)單調性；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調性得不等式為，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得結論.【詳解】（1）∵為上的奇函數(shù)．∴，∴，∴檢驗：此時為奇函數(shù)，滿足條件；（2）為上的增函數(shù)，證明：，且，，∵，∴，∴，∴，即，∴為上的增函數(shù)．（3）∵，∴，∵在上的奇函數(shù)，∴，∵為上的增函數(shù)，∴，∵對恒成立，∴，∵在上單調遞增，∴，，使不等式成立，∴，∵在上單增，在上單減，∴，∴，∴，另解：，使不等式成立，∴，∵，∴在上單減，在上單增∴∴即

∴對恒成立∴，∵在上單增，∴，∴，∴．【考點題型十五】指數(shù)函數(shù)中新定義問題【例15】（24-25高一上·上海徐匯·期中）對于函數(shù)，若其定義域內存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”(1)已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”，并說明理由；(2)若冪函數(shù)使得在上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求m的取值集合．【答案】(1)不是偽奇函數(shù)；不是偽偶函數(shù)，理由見解析(2)(3)【知識點】利用函數(shù)單調性求最值或值域、一元二次方程根的分布問題、函數(shù)新定義、等式的性質與方程的解【分析】（1）求出即可判斷是否為“偽奇函數(shù)”；求解方程即可判斷是否為“偽偶函數(shù)”；（2）利用冪函數(shù)的定義求出，從而得到的解析式，由條件可知在上存在非零實數(shù)解，然后利用參變量分離，結合函數(shù)的單調性求出范圍；同時根據(jù)是“偽偶函數(shù)”求出范圍，進而可得到答案；（3）由定義，將問題轉化為(在上存在非零實數(shù)解，令，則，構造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質，列不等式求解即可．【詳解】（1）因為，其定義域為，則，，因為恒成立，從而，故在函數(shù)定義域內不存在使得，即不存在使得f?x=?fx，所以不是“偽奇函數(shù)”．若，則，則，且，解得，故在函數(shù)定義域內不存在非零實數(shù)滿足，所以不是“偽偶函數(shù)”．（2）因是冪函數(shù)，則，所以，，所以，，因為在上是“偽奇函數(shù)”，所以在上存在非零實數(shù)解，所以在上存在非零實數(shù)解，則，且，令，則，且，令，且，，當且時，，則，當且時，，則，可得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以，當且時，，即，故，因為是“偽偶函數(shù)”，所以存在非零實數(shù)解，即存在非零實數(shù)解，顯然，綜上，實數(shù)的取值范圍為．（3）由定義可得，在上存在非零實數(shù)解，則在上存在非零實數(shù)解，即在上存在非零實數(shù)解，所以(在上存在非零實數(shù)解，令，∵，當且僅當，即時取等號，又，∴，則方程在上有實數(shù)解，令，對稱軸為，當時，則，所以，故；當時，則，即，故，綜上，，又為整數(shù)，則，所以的取值集合為．【點睛】關鍵點睛：本題為新概念題，解題關鍵是正確理解“偽奇函數(shù)”“偽偶函數(shù)”的概念，運用轉化的思想，把問題轉化為方程有解的問題，利用換元的思想簡化運算并完成計算.【變式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）對于定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)，若.(1)已知試寫出、的表達式;(2)設且函數(shù)如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍；(3)若存在最小正整數(shù)k，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的"k階收縮函數(shù)"，已知，函數(shù)是上的“3階收縮函數(shù)”，求b的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【知識點】函數(shù)新定義、判斷指數(shù)函數(shù)的單調性【分析】（1）根據(jù)函數(shù)、在上的單調性可得出、的表達式；（2）若與恰好為同一函數(shù)，只需要在上是單調遞減，討論的取值由復合函數(shù)的單調性即可求解；（3）根據(jù)題意，結合在上的單調性和值域，分，，三種情況討論求解即可.【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調遞減，則，因為函數(shù)在上單調遞增，則.（2）若與恰好為同一函數(shù)，只需要在上是單調遞增，當時，令，則，由，則，對稱軸，根據(jù)復合函數(shù)的單調性，函數(shù)顯然在為單調遞減，故成立．當時，令，由，則，只需，化簡得，解得，綜上所述，a的取值范圍為.（3）當時，函數(shù)在上單調遞減，則，，由題意，對于任意的恒成立，即對于任意的恒成立，符合題意.當時，函數(shù)在1,2上單調遞減，在上單調遞增，則，，當時，，即，恒成立，符合題意；當時，，即，恒成立，符合題意；當時，函數(shù)在1,2上單調遞減，在上單調遞增，則，，由題意，當時，，即，恒成立，符合題意；當時，，即，不恒成立，不符合題意；當時，，即，不恒成立，不符合題意.綜上所述，b的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)新定義問題，解題的關鍵在于確定新函數(shù)的解析式，根據(jù)題意將其轉化為函數(shù)不等式成立的問題，再結合恒成立思想求解.【變式15-2】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)c，使得對任意，都有，且對任意，當時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“卷函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“卷函數(shù)”？并說明理由：(2)設是（1）中的“卷函數(shù)”，若不等式對恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“卷函數(shù)”，求的值.【答案】(1)函數(shù)為上的“卷函數(shù)”，理由見解析(2)(3)4【知識點】函數(shù)新定義、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）寫出函數(shù)的分段函數(shù)形式，再結合新定義判斷即可；（2）令，結合二次函數(shù)的性質及題意可得不等式恒成立，進而結合函數(shù)的值域可得，進而求解即可；（3）根據(jù)題意可得存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立，即，列出方程組即可求得m、c、n的值，代入函數(shù)驗證是否滿足題意即可確定m、n的值，進而求解.【詳解】（1）函數(shù)為上的“卷函數(shù)”，理由如下：對于函數(shù)，當時，，且當或時，恒成立，所以函數(shù)為上的“卷函數(shù)”.（2）由于，當且僅當，即時等號成立，令，則，所以，因為函數(shù)在上單調遞增，所以當時，，由題意，不等式對恒成立，即不等式恒成立，由（1）知，當時，，且當或時，恒成立，則，解得，即實數(shù)x的取值范圍為.（3）因為函數(shù)是區(qū)間上的“卷函數(shù)”，則存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.所以恒成立，即，解得或，當時，，當時，，當時，恒成立.此時，是區(qū)間上的“卷函數(shù)”.當時，.當時，，當時，，此時，不是區(qū)間上的“卷函數(shù)”.綜上所述，，，所以.【點睛】方法點睛:新定義題型的特點是:通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）設指數(shù)函數(shù)且，則“”是“是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識點】探求命題為真的充要條件、判斷指數(shù)函數(shù)的單調性【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與單調性的關系直接判斷即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質可知，“是增函數(shù)”“”，所以“”是“是增函數(shù)”的充要條件，故選：C.2．（24-25高一上·廣東清遠·期中）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調性比較大小【分析】利用函數(shù)，和的單調性，結合條件，即可求解.【詳解】因為是減函數(shù)，所以，因為在上單調遞增，又，所以，又是增函數(shù)，所以，則，故選：A.3．（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù)（且）在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調性求參數(shù)【分析】由指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的單調性求解即可；【詳解】由題知，解得.故選：A.4．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求指數(shù)型復合函數(shù)的值域【分析】利用換元法及二次函數(shù)的性質計算可得.【詳解】令，因為，所以，則，令，，所以當時取得最小值，且，又，，所以，即函數(shù)的值域是.故選：C5．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識別【分析】根據(jù)奇偶性可排除CD，根據(jù)或時，可排除B.【詳解】由于的定義域為，關于原點對稱，且為偶函數(shù)，故圖象關于軸對稱，排除CD,又當或時，，可排除B,故選：A6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在R上的奇函數(shù)是常數(shù)，存在實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】結合指數(shù)函數(shù)的單調性和奇偶性，以及運用參數(shù)分離和基本不等式、結合能成立思想，可得所求范圍．【詳解】因為是R上的奇函數(shù)，所以，所以.因為，所以，解得，所以，檢驗，此時為R上的奇函數(shù)，因為函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)fx因為能成立，所以能成立，參變分離，即能成立.因為（當且僅當，即時取等號），故選：D.7．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，則滿足不等式的的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】分別用定義判斷函數(shù)的單調性和奇偶性，然后將轉換為求解即可.【詳解】函數(shù)定義域為關于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，在定義域為內任意選取兩個自變量，且，，因為，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，即，即，結合單調性知，即，解得，所以的范圍是，故選：A.8．（24-25高一上·福建福州·期中）設函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上的單調性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．B． C． D．【答案】C【知識點】由指數(shù)（型）的單調性求參數(shù)、函數(shù)新定義【分析】依題意可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減，則根據(jù)同增或同減分兩種情況討論即可.【詳解】函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增,若區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減，①若兩函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則在區(qū)間上恒成立，可得，解得；②若兩函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上恒成立，即，不等式組無解；綜上所述；.故選；C.二、多選題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）設，，且，則下列關系式中一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性即可比較AB,作出函數(shù)的圖像，借助函數(shù)圖象結合選項逐一判斷CD.【詳解】，故可作出的圖象如圖所示，

由圖可知，要使且成立，則有且，故必有且，又，即為，所以．由于函數(shù)為單調遞增函數(shù)，且，所以，故AD可能，CB不可能，故選：BC．10．（23-24高一下·遼寧·階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．若是偶函數(shù)，則B．無論取何值，都不可能是奇函數(shù)C．在區(qū)間上單調遞減D．的最大值小于1【答案】ABC【知識點】判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調性、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、由奇偶性求參數(shù)【分析】對于A，由函數(shù)定義得，由此即可驗算；對于B，由實數(shù)域上奇函數(shù)的必要條件即可判斷；對于C，由指數(shù)函數(shù)、復合函數(shù)單調性即可判斷；對于D，由復合型指數(shù)函數(shù)的值域和最值即可判斷.【詳解】對于A項，若是偶函數(shù)，則，所以，即可得，故A項正確；對于B項，不過點，故B項正確；對于C項，在上單調遞減，又在上單調遞增，所以在上單調遞減，故C項正確；對于D項，，又在上單調遞增，所以的最大值為，所以最大值大于等于1，故D項錯誤.故選：ABC.三、填空題11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】利用圖象以及的值域來求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意，，，，當時，，由解得或，而，結合圖象可知：.故答案為：12．（24-25高一上·福建福州·期中）設函數(shù)，，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】首先求出與的取值范圍，依題意可得的值域為函數(shù)的值域的子集，即，即