2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似》專項(xiàng)測試卷含答案

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似》專項(xiàng)測試卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?濱湖區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將矩形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為7：9，那么線段FC的長為（）A．32 B．32或85 C．85或1582．（2024秋?杭州期末）黃金分割是大自然的基本規(guī)律，比如植物葉片按照黃金分割的規(guī)律進(jìn)行排列．如圖，點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），若AC的長度為8cm，那么BC的長度是（）A．45?8 B．45?4 C．3．（2024秋?無錫期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝4，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC＝3，則MN的長為（）A．65 B．125 C．1274．（2024秋?連平縣期末）如圖，△ABC與△A′B′C′位似，點(diǎn)O為位似中心，若△ABC的周長等于△A′B′C′周長的14．AO＝2，則OAA．4 B．6 C．8 D．105．（2024秋?武侯區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．任意兩個(gè)矩形都相似 B．方程x2﹣2x＝x﹣5有實(shí)數(shù)根 C．反比例函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形 D．甲、乙兩人在太陽光下的水平道路上行走，同一時(shí)刻他們的身高與其影長的比相等6．（2024秋?連平縣期末）如圖是小明設(shè)計(jì)利用光線來測量某古城墻CD高度的示意圖，如果鏡子P與古城墻的距離PD＝12米，鏡子P與小明的距離BP＝1.5米，小明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點(diǎn)C，小明的眼睛距地面的高度AB＝1.2米，解決本題應(yīng)用了什么光學(xué)知識(shí)，該古城墻的高度是（）A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米 C．光沿直線傳播，8米 D．光的反射，24米7．（2024秋?連平縣期末）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=2A．32 B．23 C．548．（2025?嘉定區(qū)一模）如圖，兩條不平行的直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O，四條平行線分別交直線l1于點(diǎn)A、B、C、D，分別交直線l2于點(diǎn)A1、B1、C1、D1，則有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列結(jié)果中，線段之差最大的是（）A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB9．（2024秋?溫州期末）一把放縮尺如圖所示，當(dāng)畫筆A沿圖形F運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫筆A′隨之畫出放大后的位似圖形F′．若位似比為1：3，圖形F的周長是4，則圖形F′的周長是（）A．2 B．8 C．12 D．1610．（2024秋?南通期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC=10，點(diǎn)E為邊AC上的點(diǎn)，且CE＝2，點(diǎn)E關(guān)于邊AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接CF，則CFA．25 B．5 C．8105二．填空題（共5小題）11．（2024秋?成都期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，D為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，連接BF，將△BCF沿BF折疊得到△BGF，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在線段DE上，若GE＝2DG＝4，則AC的值為．12．（2024秋?重慶期末）如圖，在?ABCD中，過AC上的點(diǎn)O作MN∥AB，PQ∥AD，M、N、P、Q均在平行四邊形的邊上，且CN＝3BN，S△CON＝9，則四邊形DMOQ的面積為．13．（2024秋?武侯區(qū)期末）在如圖所示的“五角星”圖案中，C、D兩點(diǎn)都是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AC＝4，則線段AB的長為．（結(jié)果保留根號(hào)）14．（2024秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，BD＝2DC，連結(jié)AD，點(diǎn)E在線段AD上，若∠BEC＝135°，則CEAC的值為15．（2024秋?寒亭區(qū)期末）如圖，小瑩用自制直角三角紙板測量“觀光塔”的高度，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊AB保持水平，邊AC與點(diǎn)E在同一直線上．已知直角三角紙板中，AC＝24cm，BC＝18cm，測得點(diǎn)A離地面的高度為1.5m，小瑩與“觀光塔”的水平距離AH為178m，則“觀光塔”的高度EF是m三．解答題（共5小題）16．（2025?黃浦區(qū)一模）已知平行四邊形ABCD中，AB＝9，BC＝5，sinB=45，P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥PC，交射線CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)H，F(xiàn)是PE上的點(diǎn)，F(xiàn)PPC（1）求證：∠BAC＝∠PCF；（2）當(dāng)△APC∽△EFC時(shí)，求線段BP的長；（3）當(dāng)S△HFCS△PHC17．（2025?楊浦區(qū)一模）已知：如圖，△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥CD交CD延長線于點(diǎn)E，AD?BC＝BE?CD．（1）求證：BE2＝ED?EC；（2）求證：AB?BC＝2CE?BE．18．（2024秋?寧波期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的4×4的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成兩個(gè)畫圖任務(wù)．（1）在圖1中，畫△EAC，使點(diǎn)E在格點(diǎn)上，且△EAC與△ABC相似；（只需畫出一個(gè)即可）（2）在圖2中，線段AB上找一點(diǎn)D，使BD：DA＝1：2．19．（2024秋?墊江縣期末）如圖，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE，過E作ED⊥AC，交BC邊于點(diǎn)D．（1）如圖1，連接AD，若CE＝2，BD＝32，∠C＝45°，求△ADE的面積；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)F，連接DF，若∠BDE＝∠CDF，求證：AE+DE=2BE（3）如圖3，若∠C＝30°，將△BCE沿BE折疊，得到△BEF，且BF與AC交于點(diǎn)G，連接AD，DF，點(diǎn)E在AC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)BF⊥AC時(shí)，直接寫出DFDA20．（2024秋?武侯區(qū)期末）如圖是凸透鏡成像示意圖，蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的像是CD，點(diǎn)O是凸透鏡的中心，光線AE∥BO，點(diǎn)F是凸透鏡的焦點(diǎn)，已知焦距OF的長為10cm，蠟燭AB的長為8cm，點(diǎn)D，B，O，F(xiàn)在同一條直線上．（1）如圖1，當(dāng)蠟燭AB通過該凸透鏡成正立放大的虛像CD時(shí)，若OB＝6cm．（i）填空：CACO的值為（ⅱ）求此時(shí)虛像CD的高度；（2）如圖2，當(dāng)蠟燭AB通過該凸透鏡成倒立縮小的實(shí)像CD，且CD=34AB參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案DDCCDADDCC一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?濱湖區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將矩形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為7：9，那么線段FC的長為（）A．32 B．32或85 C．85或158【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】連接BB'，過點(diǎn)F作FH⊥BC交AD于點(diǎn)H，證明四邊形CFHD是矩形，則CH＝CD＝3，CF＝DH，先求出四邊形EFCD的面積S=274，再證明△FHE和△BCB'相似得HEB′C=FHBC=34，設(shè)EH＝3a，B'C＝4a，F(xiàn)C＝x，BF＝4﹣x，在Rt△CB'F中，由勾股定理得（4﹣x）2＝x2+（4a）2，則x＝2﹣2a2，DH＝FC＝2﹣2a2，DE＝2﹣2a2+3a，四邊形EFCD的面積S=12（DE+FC）?CD=32（4+3a﹣4a2），進(jìn)而得32（4+3【解答】解：連接BB'，過點(diǎn)F作FH⊥BC交AD于點(diǎn)H，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠C＝∠D＝90°，S矩形ABCD＝12，∴∠C＝∠D＝∠CFH＝∠BFH＝90°，∴四邊形CFHD是矩形，∴CH＝CD＝3，CF＝DH，∠FHD＝∠FHE＝90°，設(shè)四邊形EFCD的面積為S，則四邊形ABFE的面積為12﹣S，∵四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為7：9，∴（12﹣S）：S＝7：9，解得：S=27由翻折的性質(zhì)得：EF⊥BB'，BF＝B'F，∴∠CBB'+∠BFE＝90°，∵∠BFE+∠HFE＝∠BFH＝90°，∴∠CBB'＝∠HFE，又∵∠FHE＝∠C＝90°，∴△FHE∽△BCB'，∴HEB′C∴設(shè)EH＝3a，B'C＝4a，設(shè)FC＝x，則BF＝B'F＝BC﹣FC＝4﹣x，在Rt△CB'F中，由勾股定理得：B'F2＝FC2+B'C2，∴（4﹣x）2＝x2+（4a）2，解得：x＝2﹣2a2，∴DH＝FC＝2﹣2a2，∴DE＝DH+EH＝2﹣2a2+3a，∴四邊形EFCD的面積S=12（DE+FC）?CD=12（2﹣2a2+3a+2﹣2a2）×3=32∴32（4+3a﹣4a2）=整理得：8a2﹣6a+1＝0，解得：a=12，a當(dāng)a=12時(shí)，F(xiàn)C＝2﹣2a2當(dāng)a=14時(shí)，F(xiàn)C＝2﹣2a2綜上所述：線段FC的長為32或15故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形的翻折變換及其性質(zhì)，理解矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的翻折變換及其性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似的性質(zhì)，勾股定理構(gòu)造方程是解決問題的關(guān)鍵．2．（2024秋?杭州期末）黃金分割是大自然的基本規(guī)律，比如植物葉片按照黃金分割的規(guī)律進(jìn)行排列．如圖，點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），若AC的長度為8cm，那么BC的長度是（）A．45?8 B．45?4 C．【考點(diǎn)】黃金分割．【專題】運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn)，且AB＞BC，∴ABAC又∵AC＝8cm，∴AB＝（45?4）∴BC＝AC﹣AB＝8﹣（45?4）＝（12?45故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?無錫期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝4，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC＝3，則MN的長為（）A．65 B．125 C．127【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，可得△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，從而得MNAC=BNBC，MNBD【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∴△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，∴MNAC=BN∴MNAC∴MN3∴MN=12故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)．三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．4．（2024秋?連平縣期末）如圖，△ABC與△A′B′C′位似，點(diǎn)O為位似中心，若△ABC的周長等于△A′B′C′周長的14．AO＝2，則OAA．4 B．6 C．8 D．10【考點(diǎn)】位似變換．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)可得△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′，結(jié)合周長比進(jìn)而可得相似比為1：4，即有ACA′C′=14，再證明△AOC∽△【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，∴△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′，∵△ABC的周長等于△A′B′C′周長的14∴相似比為1：4，∴ACA′C′∵AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AOA′O∵AO＝2，∴OA′=OA故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?武侯區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．任意兩個(gè)矩形都相似 B．方程x2﹣2x＝x﹣5有實(shí)數(shù)根 C．反比例函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形 D．甲、乙兩人在太陽光下的水平道路上行走，同一時(shí)刻他們的身高與其影長的比相等【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；平行投影；根的判別式；反比例函數(shù)的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】分別根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，根的判別式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形及中心對(duì)稱圖形的定義，平行投影對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、任意兩個(gè)矩形不一定相似，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、方程x2﹣2x＝x﹣5可化為x2﹣3x+5＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝5，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×5＝9﹣20＝﹣11＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、反比例函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、甲、乙兩人在太陽光下的水平道路上行走，同一時(shí)刻他們的身高與其影長的比相等，正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，根的判別式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形及中心對(duì)稱圖形的定義，平行投影，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?連平縣期末）如圖是小明設(shè)計(jì)利用光線來測量某古城墻CD高度的示意圖，如果鏡子P與古城墻的距離PD＝12米，鏡子P與小明的距離BP＝1.5米，小明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點(diǎn)C，小明的眼睛距地面的高度AB＝1.2米，解決本題應(yīng)用了什么光學(xué)知識(shí)，該古城墻的高度是（）A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米 C．光沿直線傳播，8米 D．光的反射，24米【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí)．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到∠ABP＝∠CDP＝90°，由光的反射定律可知∠APB＝∠CPD，則可證明△APB∽△CPD，得到CDAB【解答】解：由題意得：AB⊥BD，DC⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，由光的反射定律可知∠APB＝∠CPD，∴△APB∽△CPD，∴CDAB∵PD＝12米，BP＝1.5米，AB＝1.2米，∴CD1.2∴CD＝9.6米，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．7．（2024秋?連平縣期末）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=2A．32 B．23 C．54【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：∵CDBD∴CDCB∵DE∥AB，∴CECA故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2025?嘉定區(qū)一模）如圖，兩條不平行的直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O，四條平行線分別交直線l1于點(diǎn)A、B、C、D，分別交直線l2于點(diǎn)A1、B1、C1、D1，則有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列結(jié)果中，線段之差最大的是（）A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行判斷便可．【解答】解：由題知，∵AA1∥BB1，A1O＝3，OB1＝2，∴OAOB則令OA＝3k，OB＝2k．同理可得，BC＝2k，CD＝4k，∴BD﹣AB＝k，OC﹣OA＝k，OC﹣CD＝0，CD﹣OB＝2k，顯然2k為差值最大的一個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟知平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?溫州期末）一把放縮尺如圖所示，當(dāng)畫筆A沿圖形F運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫筆A′隨之畫出放大后的位似圖形F′．若位似比為1：3，圖形F的周長是4，則圖形F′的周長是（）A．2 B．8 C．12 D．16【考點(diǎn)】位似變換．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的周長比等于位似比解答即可．【解答】解：∵位似圖形的周長比等于位似比，且位似比為1：3，圖形F的周長是4，∴圖形F′的周長是4×3＝12，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似圖形的周長比等于位似比，掌握位似圖形的周長比等于位似比是解答本題的關(guān)鍵．10．（2024秋?南通期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC=10，點(diǎn)E為邊AC上的點(diǎn)，且CE＝2，點(diǎn)E關(guān)于邊AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接CF，則CFA．25 B．5 C．8105【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】如圖，過點(diǎn)B作BTAC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H．利用面積法求出BT，再利用勾股定理求出AT，利用相似三角形的性質(zhì)求出OE，EF，證明△FHE∽△ATB，推出FHAT【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BTAC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H．∵AB＝AC＝5，BC=10，AD⊥BC∴BD＝CD=10∴AD=A∵12?BC?AD=12?AC∴BT=10∴AT=A∵AC＝5，CE＝2，∴AE＝5﹣2＝3，∵∠EAO＝∠BAT，∠AOE＝∠ATB＝90°，∴△AOE∽△ATB，∴OEBT∴OE3∴OE=9∵E，F(xiàn)關(guān)于AB對(duì)稱，∴EF＝2OE＝2×9∵∠EFH+∠FEH＝90°，∠BAT+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠BAT，∵∠FHE＝∠ATB＝90°，∴△FHE∽△ATB，∴FHAT∴FH4∴EH=5425，F(xiàn)H∴CH＝EH+EC=5425+∴CF=F故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?成都期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，D為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，連接BF，將△BCF沿BF折疊得到△BGF，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在線段DE上，若GE＝2DG＝4，則AC的值為411．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問題）．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】411．【分析】作BH∥AC交DE的延長線于點(diǎn)H，由GE＝2DG＝4，得DG＝2，求得ED＝6，由D為AC的中點(diǎn)，求得AD＝CD=12AC，由DE∥BC證明△AED∽△ABC，求得EDBC=ADAC=12，則BC＝2ED＝12，再證明四邊形BCDH是矩形，得DH＝BC＝12，則GH＝10，由折疊得BG＝BC＝12，則CD＝【解答】解：作BH∥AC交DE的延長線于點(diǎn)H，∵GE＝2DG＝4，∴DG＝2，∴ED＝DG+GE＝2+4＝6，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD=12∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴EDBC∴BC＝2ED＝12，∵DH∥BC，BH∥CD，∴四邊形BCDH是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形BCDH是矩形，∴DH＝BC＝12，∠H＝90°，∴GH＝DH﹣DG＝12﹣2＝10，由折疊得BG＝BC＝12，∴CD＝BH=BG2∴AC＝2CD＝411，故答案為：411．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?重慶期末）如圖，在?ABCD中，過AC上的點(diǎn)O作MN∥AB，PQ∥AD，M、N、P、Q均在平行四邊形的邊上，且CN＝3BN，S△CON＝9，則四邊形DMOQ的面積為6．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】6．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得BC∥AD，CD∥AB，而MN∥AB，PQ∥AD，所以BN＝AM，CN＝DM，因?yàn)镃N＝3BN，所以CN＝DM＝3AM，再證明△AOM∽△CON，得S△AOMS△CON=(AMCN)2=19，求得S△AOM=19S△CON＝1，設(shè)點(diǎn)O到AD的距離為h，則S△AOM=12AM?h＝1，求得AM【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，CD∥AB，∵M(jìn)N∥AB，PQ∥AD，∴CD∥MN，∴四邊形ABNM、四邊形DCNM、四邊形DMOQ都是平行四邊形，∴BN＝AM，CN＝DM，∵CN＝3BN，∴CN＝DM＝3AM，∴AMCN∵AM∥CN，S△CON＝9，∴△AOM∽△CON，∴S△AOM∴S△AOM=19S△CON設(shè)點(diǎn)O到AD的距離為h，則S△AOM=12AM?∴AM?h＝2，S四邊形DMOQ＝DM?h＝3AM?h＝3×2＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△AOM∽△CON，并且求得S△AOM=19S△13．（2024秋?武侯區(qū)期末）在如圖所示的“五角星”圖案中，C、D兩點(diǎn)都是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AC＝4，則線段AB的長為6+25【考點(diǎn)】黃金分割．【專題】運(yùn)算能力．【答案】6+25【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題知，∵C、D兩點(diǎn)都是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴ACBC又∵AC＝4，∴BC=25∴AB＝AC+BC＝4+25故答案為：6+25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，BD＝2DC，連結(jié)AD，點(diǎn)E在線段AD上，若∠BEC＝135°，則CEAC的值為105【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】105【分析】過點(diǎn)E作PQ∥BC交AB于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，則△APE∽△ABD，△AQE∽△ACD，所以PEBD=AEAD=EQDC，而BD＝2DC，則PE2DC=EQDC，所以PE＝2EQ，推導(dǎo)出EQ=13PQ，由∠BAC＝90°，AB＝AC，得BC=2AC，可證明AP＝AQ，則BP＝QC，再證明△PBE∽△QEC，得BPEQ=PEQC，則QC2＝2EQ2，所以QC=2EQ=23PQ，推導(dǎo)出PQ=2AQ，EQ=22QC，則QC=【解答】解：過點(diǎn)E作PQ∥BC交AB于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，則△APE∽△ABD，△AQE∽△ACD，∴PEBD∵BD＝2DC，∴PE2DC∴PE＝2EQ＝PQ﹣EQ，∴EQ=13∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠APQ＝∠ABC＝45°，∠AQP＝∠ACB＝45°，BC=AB∴∠BPE＝∠EQC＝135°，∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ，∴BP＝AB﹣AP＝AC﹣AQ＝QC，∵∠BEC＝135°，∴∠QEC+∠PEB＝45°，∴∠PBE+∠PEB＝∠APQ＝45°，∴∠PBE+∠PEB＝∠QEC+∠PEB，∴∠PBE＝∠QEC，∴△PBE∽△QEC，∴BPEQ∴QC2＝2EQ2，∴QC=2EQ=2×1∵PQ=AP2+AQ2∴QC=23×2AQ=23AQ∴QC=25∴EQ=22×2∵∠CQE＝∠BEC＝135°，∠CEQ＝∠BCE，∴△CEQ∽△BCE，∴EQCE∴CE2＝EQ?BC=25AC×2AC=∴CE∴CEAC故答案為：105【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?寒亭區(qū)期末）如圖，小瑩用自制直角三角紙板測量“觀光塔”的高度，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊AB保持水平，邊AC與點(diǎn)E在同一直線上．已知直角三角紙板中，AC＝24cm，BC＝18cm，測得點(diǎn)A離地面的高度為1.5m，小瑩與“觀光塔”的水平距離AH為178m，則“觀光塔”的高度EF是135m【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】135．【分析】先證△CAB∽△HAE，得出BCAC=EH【解答】解：由題意得：HF＝1.5m，∠ACB＝90°，∠AHE＝90°，∴∠ACB＝∠AHE，∵∠CAB＝∠HAE，∴△CAB∽△HAE，∴BCAC即1824解得：EH＝133.5（m），EF＝EH+HF＝133.5+1.5＝135（m），故答案為：135．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判定出△CAB∽△HAE相似是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025?黃浦區(qū)一模）已知平行四邊形ABCD中，AB＝9，BC＝5，sinB=45，P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥PC，交射線CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)H，F(xiàn)是PE上的點(diǎn)，F(xiàn)PPC（1）求證：∠BAC＝∠PCF；（2）當(dāng)△APC∽△EFC時(shí)，求線段BP的長；（3）當(dāng)S△HFCS△PHC【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）BP=17（3）AHAC的值為27或【分析】（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，由sinB=45求出CG＝4，由勾股定理的出BG＝3，AG＝6，所以tan∠BAC=CGAG=23（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系證出∠PCA＝∠FCD，由△APC∽△EFC，得到∠APC＝∠EFC，∠BPC＝∠PFC，所以tan∠BPC＝tan∠PFC，求出PG=83，進(jìn)而可求出（3）過點(diǎn)H作HM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，根據(jù)S△HFCS△PHC=13，得到FHPH=13，證明出△MPH∽△GCP，可得MPGC=MHGP=PHCP【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，∵BC＝5，∠BGC＝90°，∴sinB=CG∴CG＝4，∴BG=B∵AB＝9，∴AG＝AB﹣BG＝6，∵∠AGC＝90°，∴tan∠BAC=CG∵∠CPF＝90°，F(xiàn)PPC∴tan∠PCF=tan∠BAC=2∵∠BAC＝∠PCF＜90°，∴∠BAC＝∠PCF；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠PCF＝∠BAC，∴∠PCF＝∠ACD，∴∠PCA＝∠FCD，∵△APC∽△EFC，∴∠APC＝∠EFC，∠BPC＝∠PFC，∴tan∠BPC＝tan∠PFC，∴CGPG∴PG=8∴BP=BG+PG=17（3）過點(diǎn)H作HM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，∵∠FPC＝90°，∴∠MPH+∠CPG＝180°﹣∠FPC＝90°，∵∠CPG+∠PCG＝90°，∴∠MPH＝∠PCG，∵∠HMP＝∠CGP＝90°，∴△MPH∽△GCP，∴MPGC∵S△HFC∴FHPH①當(dāng)點(diǎn)F在線段PH的延長線上時(shí)，由PFPC=2設(shè)MH＝a，∴GP＝2a，MP＝2，AM=3∴2a+32∴a=8∵∠AMH＝∠AGC＝90°，∴△AMH∽△AGC，∴AHAC②當(dāng)點(diǎn)F在線段PH上時(shí)，可得PH＝PC，設(shè)MH＝b，∴GP＝b，MP＝4，AM=3∴b+3∴b=4∵∠AMH＝∠AGC＝90°，∴△AMH∽△AGC，∴AHAC綜上所述：AHAC的值為27或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．17．（2025?楊浦區(qū)一模）已知：如圖，△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥CD交CD延長線于點(diǎn)E，AD?BC＝BE?CD．（1）求證：BE2＝ED?EC；（2）求證：AB?BC＝2CE?BE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）先證明△ADC∽△BEC，得到∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠EBC，又因?yàn)椤螦DC＝∠EDB，所以∠EDB＝∠EBC，然后證明△EBD∽△ECB，得到EDBE（2）延長CA、BE交于點(diǎn)H，由已知條件得BC＝CH，又∠ACD＝∠BCE，所以∠EDB＝∠EBC，證明△EBD∽△ECB，得ABCE【解答】證明：（1）∵AD?BC＝BE?CD，∴ADBE在Rt△ADC與Rt△BEC中，∠E＝∠A＝90°，ADBE∴△ADC∽△BEC，∴∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠EBC，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠EDB＝∠EBC，在△EBD與△ECB中，∠EDB＝∠EBC，∠E是公共角，∴△EBD∽△ECB，∴EDBE即BE2＝ED?EC；（2）延長CA、BE交于點(diǎn)H，∵∠ACD＝∠BCE，∠BEC＝90°，由三角形內(nèi)角和可得∠EBC＝∠H，∴BC＝CH，∵∠ACD＝∠BCE，∴BH＝2BE＝2EH，在Rt△ABH與Rt△BEC中，∠BEC＝∠BAH＝90°，∠EBC＝∠H，∴Rt△ABH∽R(shí)t△BEC，∴ABCE即AB?BC＝2BE?CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2024秋?寧波期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的4×4的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成兩個(gè)畫圖任務(wù)．（1）在圖1中，畫△EAC，使點(diǎn)E在格點(diǎn)上，且△EAC與△ABC相似；（只需畫出一個(gè)即可）（2）在圖2中，線段AB上找一點(diǎn)D，使BD：DA＝1：2．【考點(diǎn)】作圖﹣相似變換．【專題】作圖題；圖形的相似；幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行畫圖即可；（2）取格點(diǎn)E，連接CE，交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)．【解答】解：（1）點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，如圖1.1，1.2：∵BCAC=ACAE=∴△ABC∽△ECA；∵BCAC=ACCE=∴△ABC∽△EAC；（2）點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)，如圖2：∵AE∥BC，∴△ADE∽△BDC，∴BDAD即BD：DA＝1：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣相似變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．19．（2024秋?墊江縣期末）如圖，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE，過E作ED⊥AC，交BC邊于點(diǎn)D．（1）如圖1，連接AD，若CE＝2，BD＝32，∠C＝45°，求△ADE的面積；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)F，連接DF，若∠BDE＝∠CDF，求證：AE+DE=2BE（3）如圖3，若∠C＝30°，將△BCE沿BE折疊，得到△BEF，且BF與AC交于點(diǎn)G，連接AD，DF，點(diǎn)E在AC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)BF⊥AC時(shí)，直接寫出DFDA【考點(diǎn)】相似形綜合題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）ED⊥AC，∠C＝45°利用等腰直角三角性質(zhì)CD、BC，再利用勾股定理求得AC，計(jì)算出AE即可求出面積；（2）如圖2中，過點(diǎn)B作BT⊥BE交ED的延長線于點(diǎn)T．證明△ABF≌△DBF（SAS），推出AB＝BD，再證明△ABE≌△DBT（ASA），推出BE＝BT，AE＝DT，推出AE+DE＝DT+DE＝ET，推出△BET是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（3）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得AD，證明△ADF是直角三角形，進(jìn)而勾股定理求得DF，即可求解．【解答】（1）解：∵ED⊥AC，∠C＝45°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴CE＝DE＝2，∴CD=C∵BD=32∴BC=BD+CD=52在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∴AB=BC=52∴AC=A∴AE＝AC﹣CE＝8，S△ADE（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)B作BT⊥BE交ED的延長線于點(diǎn)T．∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CDE＝∠BDF，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠EDC+∠C＝90°，∴∠EDC＝∠A，∴∠A＝∠BDF，∵∠ABF＝∠DBF，BF＝BF，∴△ABF≌△DBF（SAS），∴AB＝BD，∵∠ABC＝∠EBT＝90°，∴∠ABE＝∠DBT，∵∠BDT＝∠CDE＝∠A，∴△ABE≌△DBT（ASA），∴BE＝BT，AE＝DT，∴AE+DE＝DT+DE＝ET，∴△BET是等腰直角三角形，∴ET=2∴AE+ED=2（3）解：如圖，∵∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，當(dāng)BF⊥AC時(shí)，∠ABG＝30°，∵將△BCE沿BE折疊，得到△BEF，∴∠FBE＝∠CBE＝30°，又∠C＝∠EBC＝30°，∴EB＝EC，EB＝EA，∴△ABE是等邊三角形，設(shè)AB＝a，則AC＝2a，∴BC=3∴BF＝2BG＝2×3GE=3AE=∵BD=33在Rt△ABD中，AD＝2BD=23如圖，連接AF，∵GE⊥BF，EF＝EB，∴∠AEF＝∠AEB＝60°，∴△AFE是等邊三角形，∴AF＝AE＝AB，∴∠FAD＝∠FAE+∠EAD＝60°+30°＝90°，∴DF=A∴DFDA【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形全等的證明和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理；勾股定理解直角三角形，解題的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等．20．（2024秋?武侯區(qū)期末）如圖是凸透鏡成像示意圖，蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的像是CD，點(diǎn)O是凸透鏡的中心，光線AE∥BO，點(diǎn)F是凸透鏡的焦點(diǎn)，已知焦距OF的長為10cm，蠟燭AB的長為8cm，點(diǎn)D，B，O，F(xiàn)在同一條直線上．（1）如圖1，當(dāng)蠟燭AB通過該凸透鏡成正立放大的虛像CD時(shí)，若OB＝6cm．（i）填空：CACO的值為35（ⅱ）求此時(shí)虛像CD的高度；（2）如圖2，當(dāng)蠟燭AB通過該凸透鏡成倒立縮小的實(shí)像CD，且CD=34AB【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）（i）35（ⅱ）20cm；（2）703cm【分析】（1）（i）易得四邊形OBAE為矩形，則AE＝OB＝6cm，再證明△CAE∽△COF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CACO（ⅱ）證明△OAB∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)得到ABCD=OAOC，再根據(jù)比例的性質(zhì)由CACO=3（2）先求出CDOE=34，再證明△CFD∽△EFO，則利用相似比可計(jì)算出DF=152cm，所以O(shè)D=352【解答】解：（1）（i）如圖1，∵∠ABO＝∠EOB＝∠AEO＝90°，∴四邊形OBAE為矩形，∴AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴CACO故答案為：35（ⅱ）∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴ABCD∵CACO∴OACO∴ABCD∴CD=52AB=5即此時(shí)虛像CD的高度為20cm；（2）如圖2，∵OE＝AB，∴CD=34AB=即CDOE∵OE∥CD，∴△CFD∽△EFO，∴DFOF∴DF=34OF=34×∴OD＝OF+DF＝10+152=∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴OBOD∴OB=43OD=4即此時(shí)物距OB的長為703cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．2．反比例函數(shù)的應(yīng)用（1）利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題①能把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型．②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義．③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．（2）跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題要熟練掌握物理或化學(xué)學(xué)科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式．同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．（3）反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認(rèn)識(shí)圖象，找到關(guān)鍵的點(diǎn)，運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的思想．3．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：8．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．9．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．10．軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．11．軸對(duì)稱圖形（1）軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．12．翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．13．中心對(duì)稱圖形（1）定義把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．注意：中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱不同，中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，而中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形自身的特點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同．（2）常見的中心對(duì)稱圖形平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．14．黃金分割（1）黃金