2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營第1節(jié)-第二課時-空間幾何體的截面、切與接問題

第1節(jié)第二課時空間幾何體的截面、切與接問題2023屆1《高考特訓(xùn)營》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.能結(jié)合具體實例，感知空間幾何體的截面并運算.2.能根據(jù)具體情境理解球的切接問題，并解決與球有關(guān)的切、接組合體的表面積和體積問題.3.能根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征解決立體幾何中的最值問題1.空間幾何體的截面問題直觀想象數(shù)學(xué)運算邏輯推理2.與球有關(guān)的切、接問題3.立體幾何中的最值問題0102知識特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識特訓(xùn)知識必記拓展鏈接對點訓(xùn)練1．空間幾何體中的截面問題截面是指用一個平面去截一個幾何體(包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐等等)得到的平面圖形；截面方式有三種：橫截、豎截、斜截．(1)正六面體的基本斜截面

說明：正六面體的斜截面是不會出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．

橫截豎截斜截正六面體正方形正方形/矩形如上圖所示(2)圓柱體的基本截面

橫截豎截斜截圓柱體圓形矩形如圖(3)、(4)、(5)(3)球的截面性質(zhì)①球的任何截面都是圓面；②球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；2．球的切接組合體問題(1)幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．(2)幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程：

正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.(4)直棱柱的外接球半徑可利用棱柱的上、下底面平行，借助球的對稱性，可知球心為上、下底面外接圓圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑．(5)解決有關(guān)球的問題的關(guān)鍵是確定球心的位置和球的半徑，一般作出球的一個大圓來處理．1．[學(xué)以致用]補形法找外接球球心研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何關(guān)系與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用．用補形法找球心是解決此類問題的突破口，常用的補形方法：(1)對于正四面體，通常把它補成正方體．若是相對棱長相等的四面體，則可考慮把它補成長方體．(2)對于從一頂點出發(fā)的三條棱互相垂直的錐體，通?？煽紤]把它補成長方體或正方體.(3)幾何體的補形要圍繞著已知條件來進行，通常策略是把棱錐補成棱柱，把臺體補成錐體，把三棱錐補成四棱錐，把三棱柱補成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體，補一個同樣的幾何體等．簡單多面體外接球的球心的結(jié)論結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點．結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的連線的中點．結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的連線的中點．

解析：設(shè)平面BFD1E與底面ABCD的交線為l.如圖②，過D1作D1H⊥l于點H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1-l-D的平面角，設(shè)為θ.

【易錯點撥】錯誤確定外接球的球心位置．2．[教材改編]一個半徑為21的球形冰塊融化在一個半徑為14的圓柱形的水桶內(nèi)，則水面的高度為________．答案：633．[模擬演練](2022·湖南長沙月考)中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并以高乘之，皆六而一．”其計算方法：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(

)D

A

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點1特訓(xùn)點2特訓(xùn)點3[題組·沖關(guān)]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么過點P，Q，R的截面圖形是(

)A．三角形

B．四邊形C．五邊形 D．六邊形特訓(xùn)點1空間幾何體的截面問題【自主沖關(guān)類】D解析：如圖所示，連接QP，取C1D1的中點H，連接HR，則HR∥QP，再分別取B1B，D1D的中點M，N，連接HN，NQ，PM，MR，易知六邊形HNQPMR即為過點P，Q，R的截面圖形．答案：13．正方體是常見的并且重要的多面體，對它的研究將有助于我們對立體幾何一些概念的理解和掌握．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是所在棱的中點，請思考并回答下列問題：(1)直線EF，GH，DC能交于一點嗎？(2)若E，F(xiàn)，G，H四點共面，畫出過點E，F(xiàn)，G，H的平面截正方體所得的截面．(3)若正方體的棱長為a，那么(2)中的截面面積是多少？解：(1)如圖①，直線EF，GH，DC能交于一點．理由如下：因為E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，易得E，F(xiàn)∈平面ABCD，且EF與CD相交，設(shè)交點為P.(2)如圖②，延長HG交DD1的延長線于點R，延長FE交DA的延長線于點Q，則點R，Q是截面所在平面與平面ADD1A1的公共點，連接RQ，與A1D1，A1A分別交于點M，T，連接GM，TE，F(xiàn)H，可得截面所在平面與正方體各面的交線分別為EF，F(xiàn)H，HG，GM，MT，TE.截面如圖②中的陰影部分所示．[錦囊·妙法]立體幾何圖形中有關(guān)截面的做法①若已知兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線．②若面上只有一個已知點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點．③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個相鄰平面的交線與截面的交點．④根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理．⑤若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面找出棱上的交點；若已知點在體內(nèi)，則可通過輔助平面找出面上的交點，再找出棱上的交點．

特訓(xùn)點2與球有關(guān)的切、接問題【多維考向類】(3)球的一個內(nèi)接圓錐滿足球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半且圓錐的高大于球的半徑，該圓錐的體積和該球體積的比值為________．

(2)因為點E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，所以EF∥PB，因為∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因為PA＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中，如圖所示．

解決球的切、接問題的關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(1)求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圖．如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.

(2)求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線．

特訓(xùn)點3立體幾何中的最值問題【師生共研類】[解題指導(dǎo)]根據(jù)三棱錐體積公式寫出含參數(shù)的體積函數(shù)，然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，研究單調(diào)性求得最值．答案：D解析：如圖，取PB的中點M，連接CM.因為平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC?平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC，則點A到平面PBC的距離為AC，設(shè)AC＝2x.

求含變量的幾何體體積的最值，一般根據(jù)體積關(guān)系建立關(guān)于變量的函數(shù)，由于函數(shù)式較復(fù)雜，可采用換元法進行化簡，進而利用熟悉函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)法求最值，換元時