數(shù)學原理與模型分析市公開課一等獎省賽課獲獎課件

數(shù)學起源與發(fā)展數(shù)學：數(shù)（量）與（圖）形——由自然現(xiàn)象及生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生數(shù)字與圖形自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、復數(shù)定義阿拉伯數(shù)學：河谷文明；埃及數(shù)學；亞洲數(shù)學：中國數(shù)學、印度數(shù)學中國數(shù)學：《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《算經(jīng)十書》第1頁《九章算術》：分數(shù)運算、百分比、代數(shù)解多元一次方程組、正負數(shù)、面積體積計算、劉徽割圓術（極限思想）祖沖之圓周率、楊輝三角（宋朝《詳解九章算術》）第2頁希臘：演繹數(shù)學——從試驗轉(zhuǎn)向推理數(shù)學研究轉(zhuǎn)向數(shù)學內(nèi)部：抽象代數(shù)；拓撲幾何；泛函分析1900年Hilbert提出23個數(shù)學難題：哥德巴赫猜測——偶數(shù)表示成兩個奇素數(shù)之和龐加萊猜測年6月初，中科院外籍院士、哈佛大學教授丘成桐透露了一條爆炸性新聞：百年數(shù)學難題龐加萊猜測被徹底破解，中山大學教授朱熹平、清華大學兼職教授曹懷東完成“封頂”之作。第3頁龐加萊猜測是一個迷惑數(shù)學界百年之久難題。1904年，法國數(shù)學家亨利·龐加萊提出一個拓撲學上猜測：在一個封閉三維空間，假如每條封閉曲線都能收縮成一點，這個空間一定是一個圓球。我們不妨想象：假如我們將一根橡皮帶伸展在蘋果表面，然后就能夠在既不扯斷橡皮帶，也不脫離蘋果表面情況下，使它慢慢移動并收縮為一個點；假如將一樣橡皮帶伸展在油炸圈餅表面，只要不扯斷橡皮帶或者不脫離油炸圈餅表面，根本沒有方法將它縮成一點。所以，我們說蘋果表面是“單連通”，而油炸圈餅表面不是。第4頁龐加萊猜測是數(shù)學史上最偉大問題之一，是拓撲和幾何主流。龐加萊猜測研究對廣義相對論和宇宙、黑洞研究以及實際工程學應用等都可能有著深遠影響，其證實方法跨越拓撲學、幾何學和微分方程等數(shù)學學科，它主要性和難度都是相當高。100多年來，龐加萊猜測這個數(shù)學游戲吸引了許多出色數(shù)學家。這一猜測無疑是數(shù)學研究中王冠之一，先后有三位美國數(shù)學家僅僅因為部分處理龐加萊猜測即取得菲爾茲獎。年，位于美國麻省克萊數(shù)學研究所列出7項“千禧年數(shù)學難題”，并為每個難題破解設置百萬美元巨獎，龐加萊猜測即是7大難題之一。龐加萊猜測在數(shù)學上地位，由此可見一斑。第5頁數(shù)學三次危機第6頁希臘：畢達哥拉斯學派信條：萬物皆數(shù)其組員費洛羅斯曾宣稱：人們所知道一切事物都包含數(shù)；所以，沒有數(shù)就既不可能表示，也不可能了解任何事物第7頁畢氏學派所說數(shù)指是整數(shù)每個數(shù)都賦予了特定屬性，最神圣數(shù)是10利用數(shù)理論解釋天體運動發(fā)覺了音樂定律：假如振動弦長度可表示成簡單整數(shù)比，這時發(fā)出將是和音第8頁第9頁

第二次危機：無限性雅典時期希臘伊利亞學派之諾提出了四個著名悖論：1.兩分法：運動不存在2.阿基里斯永遠追不上一只烏龜3.飛箭：飛著箭是靜止4.運動場：空間和時間不能由不可分割單元組成第10頁

第二次危機第11頁第12頁第13頁第三次危機例子：全部集合本身是一個集合，不過，全部些人集合不是一個人事實：一個集合或者是它本身組員，或者不是它本身組員第14頁羅素悖論假如不是其組員，則N是N組員，而不是M組員，于是N又是它本身組員。我們以M表示是它們本身組員全部集合集合，而以N表示不是它們本身組員全部集合集合?，F(xiàn)在問：集合N是否是它本身組員。假如是，則N是M組員而不是N組員；第15頁羅素悖論通俗例子某村一個剪發(fā)師宣稱：他只給全部不給自己刮臉人刮臉。問題：剪發(fā)師是否給自己刮臉？若刮，則違反了自己標準；若不刮，那按照其標準，他就應該為自己刮臉。第16頁處理方法：提出公理系統(tǒng)當前公認ZF公理系統(tǒng)，不會自相矛盾。不過，第三次數(shù)學危機從整體看來還沒有處理到令人滿意程度。第17頁數(shù)學回歸數(shù)學建?！獫B透到一些非傳統(tǒng)領域：社會學、經(jīng)濟學、生態(tài)學、體育學、戰(zhàn)爭數(shù)學分析——穩(wěn)定性分析等數(shù)學引發(fā)其它學科——計算機學科、自動控制第18頁

系統(tǒng)建模

第19頁數(shù)學建模(模型)概述

利用數(shù)學方法處理實際問題時，首先要進行工作是建立數(shù)學模型，然后才能在此模型基礎上對實際問題進行理論求解、分析研究。第20頁數(shù)學模型概念

普通地說，模型是我們所研究客觀事物相關屬性模擬，它應該含有事物中我們關心和需要主要特征。

1.作戰(zhàn)時主體作戰(zhàn)地形模型；2.在采煤開礦或打井時，描述當?shù)赜虻刭|(zhì)結(jié)構(gòu)地形圖；3.出差到外地時交通圖。

第21頁

數(shù)學模型是利用數(shù)學語言或工具，對部分現(xiàn)實世界信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等等）加以翻譯、歸納產(chǎn)物。數(shù)學模型經(jīng)過演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學上分析、預報、決議或控制，再經(jīng)過翻譯和解釋，回到現(xiàn)實世界之中。第22頁第23頁一個簡單數(shù)學模型實例

一輛汽車在拐彎時急剎車，結(jié)果沖到路邊溝里（見下列圖），交通警察馬上趕到了事故現(xiàn)場。司機申辯說，當他進入彎道時剎車失靈，他還一口咬定，進入彎道其車速為每小時４０英里（這是該路速度上限，約合每秒１７.９２米）。警察驗車時證實該車制動器在事故發(fā)生時確實失靈，然而，司機所說車速是否真實可信呢？第24頁

汽車最終位置

剎車痕跡

連接剎車痕跡初始點和終點，用x表示沿連線汽車橫向所走出距離，用y表示豎直距離，以下列圖第25頁

經(jīng)過測量還發(fā)覺，該車并沒有偏離它所行駛轉(zhuǎn)彎路線，也就是說，它車頭一直指向切線方向。能夠假設，該車重心是沿一個半徑為r圓做圓周運動。假設磨擦力作用在該車速度法線方向上，并設汽車速度v是一個常數(shù)。顯然，磨擦力提供了向心力，設磨擦系數(shù)為μ,則第26頁其中m為汽車質(zhì)量.由上式易得

假設已知弦長度為c，弓形高度為h，其圖以下所表示，由勾股定理知第27頁

由前面表中代入近似數(shù)據(jù)c=33.27,h=3.55后，得

r=40.75米依據(jù)實際路面與汽車輪胎情況，能夠測量出磨擦系數(shù)，經(jīng)過實際測試得到

g=8.175米／秒２

將此結(jié)果代入我們上面利用第二定律所得到式子中，得

v≈18.25米／秒

第28頁不過，我們不得不考慮計算半徑r及測試時誤差。假如誤差允許在１０％以內(nèi)，無疑，此計算結(jié)果對司機是相當有利。第29頁建立模型方法

1.機理分析2.統(tǒng)計分析3.機理分析與統(tǒng)計分析相結(jié)合第30頁步驟

１.建模準備要了解問題實際背景、明確建立模型目地，掌握對象各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，搞清實際對象特征。

第31頁２、模型假設

依據(jù)實際對象特征和建立模型目地，對問題進行必要簡化。要善于區(qū)分問題主要和次要方面，抓住主要原因，拋棄次要原因，盡可能將問題均勻化、線性化。第32頁

３.建立模型

依據(jù)所做假設，利用適當數(shù)學工具，建立各個量之間等式或不等式之間關系，列出表格，畫出圖形或確定其它數(shù)學結(jié)構(gòu)。

第33頁４、模型求解

對上述建立數(shù)學模型進行數(shù)學上求解，包含解方程、畫出圖形、證實定理以及邏輯運算等等，會用到傳統(tǒng)和近代數(shù)學方法，尤其是相關計算機技術。

第34頁５、模型分析

對上邊求得模型結(jié)果進行數(shù)學上分析，有時是依據(jù)問題性質(zhì)，分析各變量之間依賴關系或穩(wěn)定性態(tài)；有時則依據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學上預測；有時我們則給出數(shù)學上最優(yōu)決議或控制。

第35頁６、模型檢驗這一步是把模型分析結(jié)果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗模型合理性與實用性。假如檢驗結(jié)果不符合或部分不符合實際情況，那么，我們必須回到建模之初，修改、補充假設，重新建模，即按上面步驟做到模型檢驗這一步；假如檢驗結(jié)果與實際情況相符，則可進行最終工作－－－模型應用。第36頁模型分類1.按照變量情況：分為離散型和連續(xù)型模型，也可分為確定型模型和隨機模型；2.按照時間改變對模型影響，可分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型；第37頁3.按照研究方法和對象特征，有初等模型、優(yōu)化模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等；

第38頁4.按照研究對象實際領域，有些人口模型、交通模型、體育模型、生理模型、生態(tài)模型、經(jīng)濟模型、社會模型等；5.按照對研究對象了解程度，有所謂白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。

第39頁市場穩(wěn)定問題

當商品“供不應求”時，價格逐步長升高，經(jīng)營者會加大生產(chǎn)量。一旦生產(chǎn)量“供過于求”，價格馬上會下跌，生產(chǎn)者會馬上減產(chǎn)以防止損失，這么又極有可能造成又一輪新供不應求。問題是：如此循環(huán)，市場上商品數(shù)量與價格是否會趨于穩(wěn)定？

第40頁

所謂“需求”，指在一定條件下，消費者愿意購置而且有支付能力購置商品量。設p表示商品價格，q表示商品量，假設商品量q主要取決于商品價格p，則稱函數(shù)

q=f(p)為需求函數(shù)。

第41頁

需求函數(shù)q=f(p)普通是單調(diào)降低函數(shù)。因q=f(p)為單調(diào)降低函數(shù)，所以存在反函數(shù)p=f-1(q)，我們也稱它為需求函數(shù)，見下列圖。第42頁

“供給”是指在一定條件下，生產(chǎn)者愿意出售而且有可供出售商品量，設供給函數(shù)q=(p)。供給函數(shù)普通為單調(diào)增加函數(shù)。又因為q=(p)單調(diào)增加，所以存在反函數(shù)p=

-1(q)，往往我們也稱此函數(shù)為供給函數(shù)。第43頁

需求曲線與供給曲線交于一點E(qm,pm)。當p<pm時，

－１(p)＞ｆ－１（ｐ），即“供不應求”，市場機制造成價格上漲，p增大。當p>pm時，

－１(p)＜ｆ－１（ｐ），即“供過于求”，這種情況必定造成價格下跌，p降低。

第44頁

從以上分析我們似乎能夠看出：市場上商品價格將圍繞價格pm（稱之為均衡價格）擺動。但實際情況并非如此簡單？第45頁

例設某產(chǎn)品供給函數(shù)(p)與需求函數(shù)f(p)皆為線性函數(shù)：

(p)＝a(p-)+,f(p)=-b(p-)+其中a>0,b>0,兩直線相交于點Ｍ(,)。

第46頁

將時間區(qū)間用等步長來劃分，第n個節(jié)點處tn=n,為時間步長。設pm為tn時刻價格，則由市場上供求平衡需要，有ｆ（pn）＝

（pn-1）利用上面這兩個式子，可得到－b(pn-)+=a(pn-1-)+將上面式子經(jīng)過遞推運算，可得到

第47頁

由上式很輕易看出，當a<b時，pn->

，而當a>b時，數(shù)列pn發(fā)散到無窮大第48頁

從上例我們能夠得到啟示：市場價格穩(wěn)定似乎與供求函數(shù)斜率比相關系。第49頁

曲線Ｄ表示需求函數(shù)，曲線Ｓ表示供給曲線，Ｋ表示切線斜率。當|KD|<|KS|，商品量q與價格將按照Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ方向趨向于Ｍ點。第50頁假如|KD|＞|KS|，不難發(fā)覺，市場經(jīng)濟將按照Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ方向遠離Ｍ點，

第51頁穩(wěn)定條件解釋：切線斜率Ｋ表示什么？表示商品價格隨商品量改變而改變程度。|KD|＞|KS|：表明消費者對這種商品價格敏感度比經(jīng)營者要高，商品稍少一點，人們便蜂擁搶購，致使價格有大改變，引發(fā)價格不穩(wěn)定現(xiàn)象。

第52頁怎樣控制不穩(wěn)定現(xiàn)象？1.控制物價，此時有KD＝０，這時|KD|＜|KS|總成立，2.控制商品數(shù)量：|KS|→

，從而使得|KD|＜|KS|也總成立，市場經(jīng)濟便趨向于穩(wěn)定。

第53頁建模有時需要有跳出問題思維圍棋模型——棋盤19道確實立圍棋棋盤由古時每邊11道增至現(xiàn)在每邊19道，其間歷經(jīng)數(shù)千年。這種進化過程也顯示著人們認識逐步靠近真理?，F(xiàn)在棋盤經(jīng)受了二千多年考驗，其邊數(shù)設置必有其合理性，這里關鍵就在于要確保先手和后手無差異。

第54頁古人在不貼子情形下仍可“公平”對弈，說明先下一方占廉價不會太大。能夠推測，圍棋內(nèi)部一定存在著兩種抗衡力量，使先手即使先落子也無法取得多少優(yōu)勢。這也是形成圍棋那樣富于改變原因。這兩種力量既能夠反抗，又能夠隨時轉(zhuǎn)換。第55頁邊部和中腹是圍棋中兩種反抗勢力。應確保兩種勢力所含有價值相同，從而使二者能夠真正地進行抗衡。這是必要，不然，不論偏重哪一方，圍棋都會成為單一爭奪邊部或中腹乏味游戲，而且使先手棋獲益頗大。第56頁問題最終化為：怎樣設計方形棋盤（即每邊選取多少道）使三線圍成邊部與四線圍成中腹含有相同地位或最小差異？第57頁目效率定義對于一塊成活型棋塊，用它棋子數(shù)去除這些棋子所包含目數(shù)，得到商值稱為此棋塊目效率，記為E。Figure4第58頁Figure4第59頁Figure4第60頁第61頁宏觀問題可能需要微觀處理

地中海鯊魚問題

20世紀20年代中期，意大利生物學家UmbertoD’Ancona偶然注意到第一次世界大戰(zhàn)期間在原南斯拉夫里耶卡港，人們捕捉魚類中，鯊魚等軟骨魚百分比大量增加，而供其捕食食用魚百分比卻顯著下降,見下表。顯然，戰(zhàn)爭使打魚量下降，食用魚應該增加，鯊魚等軟骨魚也隨之增加，但為何其百分比大幅度增加呢？第62頁第63頁第64頁第65頁第66頁第67頁第68頁第69頁跑步時怎樣節(jié)約能量

問題提出：怎樣跑步能使我們消耗能量最少？Howtosaveyourenergyinrunning

Theproblem：howcanwesaveourenergyinrunning?第70頁模型假設：(1)跑步所花費時間分成兩部分：第一部分為兩條腿同時離地時間；在第二部分時間內(nèi)一條腿或兩條腿同時落地。TheAssumption：Tosolvetheaboveproblem,wesuppose(1)Theruningtimeconsistsoftwoparts：Oneisfortwolegsbothlefttheland;andtheotherisfortwooronelegontheland.第71頁第72頁第73頁第74頁第75頁第76頁第77頁第78頁第79頁第80頁Theconclusionscanbeappliedtoanimals.第81頁走路情形數(shù)學建模

WalkingModel

第82頁第83頁第84頁第85頁第86頁第87頁遺傳模型

在常染色體遺傳中，后代從每個親體基因中各繼承一個基因，形成自己基因?qū)Α?/p>

第88頁

問題：某植物園中中植物基因型為ＡＡ、Ａa、aa。人們計劃用ＡＡ型植物與每種基因型植物相結(jié)合方案培育出植物后代。經(jīng)過若干年后，這種植物后代三種基因型分布將出現(xiàn)什么樣情形？

InheritanceModelProblem:InsomearboretumthegenotypesofplantsareAA,Aaandaa.ThepeopleplantocultivatetheoffspringbytheplantwhosegenotypeisAAtomakegrafthybridizationwitheachgenotype.Wewouldliketoaskbyseveralyears,whatthegenotypedistributingoftheoffspringwouldbe?

第89頁

令x(n)=(an,bn,cn)T為第n代植物基因分布，x(０)=(a０,b０,c０)T為初始分布。顯然，我們有

a０＋b０＋c０＝1

先考慮第n代中ＡＡ型。我們有

Letx(n)=(an,bn,cn)Tdenotethedistributingofthenthplantsgenotype.Also,denotetheinitialdistributingbyx(０)=(a０,b０,c０)T.Apparently,wehavea０＋b０＋c０＝1FirstweconsiderthecaseAAofthen-stgeneration.

第90頁

an=an-1+bn-1/2+0.cn-1(n=1,2,…)同理，我們有