湖南省益陽市2024-2025學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題 含解析

益陽市年下學期普通高中期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學注意事項：?多項選擇題?填空題和解答題四部分，共4頁，考試用時分鐘，滿分分.答題前，考生務必將自己的姓名?考號等填寫在本試題卷和答題卡指定位置，請按答題卡的要求在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作答無效.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一般式中斜率的計算公式即可求解.【詳解】的斜率為，故選：B2.過點且與直線平行的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】與直線平行的直線可設為，帶點即可解出.【詳解】設與直線平行的直線可設為，因為點在上，所以，所以方程為.第1頁/共18頁故選：A.3.已知兩個向量，則的值是（）A.B.C.1D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解.【詳解】根據(jù)可得，解得，故選：D4.已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A.36B.64C.72D.88【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解.【詳解】由可得，故，進而可得，故，故選：C5.已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則的離心率為（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線的斜率為即可求解.【詳解】由于雙曲線的兩條漸近線互相垂直，故漸近線的斜率為，即，故，故選：A第2頁/共18頁6.已知圓.過點的直線與交于的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】當直線時，弦的長最短，利用即可求出直線的斜率.【詳解】因為圓的半徑為，設原點到直線的距離為，則有，可知當最大時弦的長最短，所以當直線時，弦的長最短，設直線的斜率為，則有，因，所以，所以，直線的方程為.故選：D.7.在四面體中，、分別是棱、的中點，是的中點，設，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的表達式.第3頁/共18頁【詳解】因為為的中點，則，即，所以，，因為、分別為、的中點，同理可得，故選：C.8.已知點、及直線上有且僅有個點是直角三角形，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】對各內(nèi)角為直角進行分類討論，分析可知直線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離公式可求得的值.【詳解】當為直角時，直線方程為，此時，直線與直線有一個公共點，當為直角時，直線的方程為，此時，直線與直線有一個公共點，由題意可知，在直線上有且只有一個點，使得為直角，此時，，則點在以線段為直徑的圓上，且該圓的圓心為原點，半徑為，且圓的方程為，所以，直線與圓相切，直線的一般方程為，則，解得.第4頁/共18頁故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知直線，則（）A.的傾斜角為B.在軸上的截距為C.原點到的距離為1D.與坐標軸圍成的三角形的面積為2【答案】ABC【解析】ABC到直線的距離公式求解；選項D，利用直線與坐標軸的圍成面積求解即可.【詳解】選項A：直線的傾斜角為，斜率，則，由得，故選項A正確；選項B：令則則在軸上的截距為，故選項B正確；選項C：原點到的距離為，故選項C正確；選項D：與坐標軸圍成三角形的面積為，故選項D錯誤.故選：ABC.10.已知數(shù)列的前項和為，且，則（）A.B.C.D.數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】因為，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即可求出，利用分組求和即可求出，進而即可判斷CD.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是以首項為，第5頁/共18頁公比為2的等比數(shù)列，所以，故A正確；數(shù)列的前項和為，故B正確；因為，故C錯誤；令，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AB.在棱長為1的正方體中，分別是棱的中點，是線段上一個動點，則（）A.在線段上存在一點，使得B.三棱錐的體積為C.與平面所成角的余弦值的最小值為D.若平面，則平面與正方體的截面面積是【答案】BCD【解析】A角的正弦判斷BC中點并作出過點垂直于該截面并求出面積判斷D.【詳解】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，第6頁/共18頁則，設點，對于A，，當時，與不共線，當時，與不共線，因此不平行，A錯誤；對于B，，設平面的法向量為，則，令，得，點到平面的距離，，，則，，因此三棱錐的體積，B正確；對于C，，設與平面所成的角為，則，當且僅當時取等號，此時取得最小值，C正確；對于D，，取中點，過點的平面截正方體的截面為正六邊形，，則，，于是，平面面與的交點為，因此平面，截面正六邊形的面積為，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意公式求出的是線面角的正弦．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.第7頁/共18頁12.已知兩個向量，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】,故答案為：13.已知圓，直線與交于兩點，則的面積等于__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弦長公式以及點到直線的距離公式即可根據(jù)面積公式求解.【詳解】的圓心為半徑為，故圓心到直線的距離為，弦長，故，故答案為：14.已知雙曲線的左右焦點分別為的直線與的右支交于兩點，與軸交于點的內(nèi)切圓與邊相切于點與的內(nèi)切圓的半徑之和的最小值等于______.【答案】2【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得、，從而求得雙曲線的方程，結(jié)合三角形內(nèi)切圓第8頁/共18頁性質(zhì)得，設直線的傾斜角為，則，進而求得，，最后利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因為的內(nèi)切圓與邊相切于點，如圖，，為另外兩個切點，由切線長定理可知，，，因為在軸上，所以，所以，所以，，，雙曲線的方程為：，如圖，設兩內(nèi)切圓圓心分別為，，半徑分別為，，設，，與圓分別相切于點，，，由切線長定理得，第9頁/共18頁而，兩式相加得，所以是雙曲線的右頂點，軸，所以的橫坐標為，同理可求得的橫坐標為，則，設直線的傾斜角為，由雙曲線漸近線為，傾斜角分別為，要使直線與雙曲線的右支交于兩點，則，有，在，中，有，，因為，所以，所以，當且僅當即時，等號成立．故答案為：的左右焦點分別為，則的內(nèi)切圓圓心橫坐標為，的內(nèi)切圓圓心橫坐標為.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求；（2）若，記，求的值.【答案】（1）（2）【解析】第10頁/共18頁1）設等差數(shù)列公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2求和公式可求得的值.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，則，解得，.所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由題意知，則，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，又因為，所以，.16.已知拋物線的焦點為，點在上.（1）求焦點的坐標及的值；（2）設的準線與軸的交點為，求過三點的圓的方程.【答案】（1）的坐標為，（2）【解析】1）根據(jù)焦點坐標即可求解，代入點到拋物線方程中即可求解，（2）設圓一般式方程，代入三點坐標即可求解.【小問1詳解】由題意可得焦點的坐標為.點在上，.解得.第11頁/共18頁【小問2詳解】由拋物線可得準線方程為，所以，.由（1）知.設過三點的圓的方程為，代入點得，解得.所以，過三點的圓的方程為（或者）.17.如圖，在正三棱柱中，為的中點，為棱上一個動點.（1）若，求證：平面；（2）若為的中點，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直，進而可得，即可根據(jù)勾股定理求解長度證明，即可求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角求解.【小問1詳解】證明：正三棱柱平面平面.第12頁/共18頁為正三角形，為中點，.又平面平面平面.又平面，..所以，..又平面,故平面.【小問2詳解】以為坐標原點，以及過點且垂直平面的垂線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，可取.設平面的一個法向量為，第13頁/共18頁則，可取.平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓過點，且的離心率為.（1）求的方程；（2）設分別是的左頂點，上頂點，與直線平行的直線與交于兩點.①若以線段為直徑的圓與直線相切，求在軸上的截距；②當直線斜率存在時，分別將其記為，證明：為定值.【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】1）代入坐標以及離心率公式即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長公式以及點到直線的距離公式列出方程，求解即得在軸上的截距；根據(jù)斜率公式化簡，將韋達定理代入計算即可求得定值.【小問1詳解】由題意可知解得.第14頁/共18頁故的方程為.【小問2詳解】①由題意知.則直線的方程為.設平行于直線的直線的方程為.聯(lián)立，消去得：.，解得：.設與橢圓的交點坐標為，..又直線與直線的距離，由于以線段為直徑的圓與直線相切，則，即.解得.經(jīng)檢驗：，故在軸上的截距為；②由第15頁/共18頁.為定值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：以線段為直徑的圓與直線相切，則，根據(jù)求出的值即得；對于定值問題，一般需要等價轉(zhuǎn)化，利用韋達定理代入，推理計算可得.19.若各項均為正整數(shù)的數(shù)列，對任意的，均有成立，則稱數(shù)列為“下凸正整數(shù)數(shù)列”.（1）若數(shù)列是“下凸正整數(shù)數(shù)列”，求出所有的數(shù)對；（2滿足，且是否為“下凸正整數(shù)數(shù)列”，并說明理由；（3）已知“下凸正整數(shù)數(shù)列”中，，，，，求的最大值.【答案】（1）、（2）是，理由見解析（3）【解析】第16頁/共18頁1、的取值范圍，求出正整數(shù)值，進而可得出正整數(shù)的值，即可得出數(shù)對；（2）由已知化簡得出，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合題中定義驗證即可得出結(jié)論；（3）由“下凸正整數(shù)數(shù)列”的定義可得出，可得出用累加法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得出解不等式，可得出，然后取，驗證，即可得出結(jié)果.小問1詳解】因為數(shù)列為“下凸正整數(shù)數(shù)列”，則，所以，，可得，又、，當時，或，當時，不符合題意.即所求的數(shù)對有、.【小問2詳解】數(shù)列是“下凸正整數(shù)數(shù)列”，理由如下：因為，所以，.對任意的，所以，，即，且.則當時，，，，，，累加得，則，也滿足，故對任意的，.①由可知