湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)屆高三第二次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：武漢市第一中學(xué)審題學(xué)校：武漢市第十一中學(xué)考試時(shí)間：年元月日下午：：試卷滿分：分第I卷（選擇題）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通過解不等式和求函數(shù)值域，求得集合A，B，再根據(jù)交集的定義求解．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A．2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.0B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算得，再由求結(jié)果.【詳解】由，則.故選：B第1頁/共27頁3.把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用輔助角公式化簡f(x)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象平移求出g(x)解析式，在利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求解．【詳解】，則，∵的單調(diào)遞減區(qū)間為()，故由得故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是選項(xiàng)僅在該區(qū)間內(nèi)，故選：D．4.我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.42.84厘米，）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式分析求解.第2頁/共27頁【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面?下底面的半徑分別為，由題意可知：，則圓臺(tái)的母線長，所以其側(cè)面積為.故選：B.5.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布有極值點(diǎn)的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性可得解.【詳解】由已知，則，由函數(shù)有極值點(diǎn)，可知有變號零點(diǎn)，則，即，又，則，所以，故選：C.6.下列關(guān)于統(tǒng)計(jì)概率知識的判斷，正確的是（）A.將總體劃分為層，通過分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，，且已知，則總體方差B.在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于C.在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好D.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：，，，，，；乙組：，，，，第3頁/共27頁，，若這兩組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)第百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)特征值的計(jì)算公式可判斷AD選項(xiàng)，再根據(jù)線性相關(guān)關(guān)系判斷BC選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)兩層中的數(shù)據(jù)分別有，個(gè)，由，可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，所以第百分位數(shù)為兩組數(shù)據(jù)中的第個(gè)數(shù)據(jù)，分別為與，即，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為，，即，解得，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.7.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算公式及指數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較大小.【詳解】由已知，則，，所以，又函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，則由，得，所以，即，故選：A.8.已知函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的，，滿足，且，，則（）第4頁/共27頁A.B.是偶函數(shù)C.關(guān)于點(diǎn)對稱D.【答案】D【解析】【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對稱性直接判斷AB選項(xiàng)，再結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可判斷C選項(xiàng).A，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：令，可知，又不恒為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，令，則，即，即，又，則，所以，所以為奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可知，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可知，即函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；第5頁/共27頁D選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可知，即函數(shù)的一個(gè)周期，由上述分析和已知條件，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，，.下列命題中真命題是（）A.若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列B.若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C.若，則D.若，則向量在向量上的投影向量為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可判斷數(shù)列的類型及與的關(guān)系，根據(jù)，可得與，即可得投影向量.【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，A選項(xiàng)：由已知，則，則數(shù)列為常數(shù)列，即，所以，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列；BB選項(xiàng)錯(cuò)誤；第6頁/共27頁C選項(xiàng)：由已知，，，由，則，即，無法確定，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，則，又，所以向量在向量上的投影向量為，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，在線段上，則下面說法中正確的有（）A.平面B.直線與平面所成角的余弦值為C.直三棱柱的外接球半徑為D.直線與直線所成角最小時(shí)，線段長為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間位置關(guān)系的向量證明可得A正確，再由線面角的向量求法計(jì)算可得B的外接球球心位置可計(jì)算半徑為C求法求出直線與直線所成角最小時(shí)點(diǎn)的位置，可判斷D正確.【詳解】因?yàn)槭侵比庵?，所以平面，又平面，所以，又，即；?頁/共27頁因此為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對于A，又，所以，可得，顯然平面的一個(gè)法向量為，所以，又平面，所以平面，即A正確；對于B，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，所以因此直線與平面所成角的正弦值為，余弦值為，即B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以其外接圓圓心為的中點(diǎn)，外接圓半徑為；因此可得直三棱柱的外接球球心即為的中心，外接球半徑為，因此C正確；對于D，易知，所以，由在線段上，可設(shè)，其中，所以，因此直線與直線所成的角的余弦值為第8頁/共27頁令函數(shù)，可得；易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得此時(shí)直線與直線所成的角最小，因此，即，因此線段長為，即D正確.故選：ACD已知函數(shù)（其中）.對于不相等的實(shí)數(shù)，設(shè)，現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的選項(xiàng)是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)B.對于任意不相等的實(shí)數(shù)，都有C.對于任意的實(shí)數(shù)，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得D.對于任意不相等的實(shí)數(shù)，都有【答案】BCD【解析】A與的圖象即可判斷；對于B，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷;對于C可得導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上不單調(diào)即可；對于D，將不等式化解為第9頁/共27頁，再由基本不等式證明即可.A有3個(gè)交點(diǎn)，故有3個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即有，故B正確；對于C，由，可得，即，令，對于任意的實(shí)數(shù)，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，即函數(shù)在上不單調(diào)，則，對于任意的實(shí)數(shù)，不恒大于0或恒小于0，即在定義域上有增有減，故C正確；對于D，要證，即證，即證，即證，即證，令，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.又因?yàn)?，即，所以對于任意不相等的?shí)數(shù)，都有，故D正確.故選：BCD.第10頁/共27頁【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及通過基本不等式證明是解題的關(guān)鍵.第卷（非選擇題）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，利用賦值法可得特定項(xiàng)系數(shù).【詳解】由已知可得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，可得，則，即項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：.13.如圖，已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則直線在軸上的截距為__________.【答案】2第11頁/共27頁【解析】坐標(biāo)表示求出，進(jìn)而即可求解.【詳解】由題意設(shè)直線，即，將直線與拋物線聯(lián)立，消去得，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，直線不符合題意，所以，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，即直線在軸上的截距為，故答案為：14.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正邊形（，）的中心為.，，，，為圓上的點(diǎn)，，，，，分別是以，，，，為底邊的等腰三角形.沿虛線前開后，分別以，，，，為折痕折起，，，，，，，，棱錐.當(dāng)正邊形的邊長變化，所得棱錐體積（單位：）取得最大值時(shí)，圓心到的距離為__________.第12頁/共27頁【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)可得正棱錐的底面邊長，結(jié)合棱錐的體積公式可得體積，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得取得最值時(shí)情況.【詳解】連接交于點(diǎn)，則，設(shè)到為，則，，且為中點(diǎn)，設(shè)折起后，，，，重合于點(diǎn)，則，且，即，截出三棱錐，如圖所示，易知，即，所以在中，則，則，所以，所以，又在中，，所以，所以正棱錐體積，，設(shè)，，，第13頁/共27頁令，解得，即函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在時(shí)取最大值，即當(dāng)時(shí)，體積取得最大值，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及驗(yàn)算步驟.15.在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，，且.（1）求的值；（2）若點(diǎn)，分別在邊和上，且與的面積之比為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】1）由正弦定理及二倍角公式可得，結(jié)合三角形角的關(guān)系可得；（2）設(shè)，，由三角形面積關(guān)系可得，再根據(jù)余弦定理及基本不等式可得最值.【小問1詳解】由已知，即，再由正弦定理可得，即，，又，則，所以，又，即，所以；【小問2詳解】第14頁/共27頁由（1）得，且，所以，則，設(shè)，，則，，又，即，解得，所以在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最小值為.16.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法證明異面直線垂直；（2）根據(jù)三棱錐體積公式可知當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，面積最大，結(jié)合基本不等式可判斷點(diǎn)，作法可求得兩平面法向量，進(jìn)而可兩平面夾角正弦值.第15頁/共27頁【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，，，，，，由，；【小問2詳解】由，可知若三棱錐的體積最大值，則取得最大值，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，即，分別是棱，上中點(diǎn)，（法一）過作，連接，由平面可得，，又，且，平面，平面，又平面，則，連接和，交于點(diǎn)，連接，則是以為底的等腰三角形，又，第16頁/共27頁而平面，可得為平面與平面的夾角，又，，所以，，則，則，即平面與平面夾角正弦值為；（法二）設(shè)平面與平面的夾角為，則，，，，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，故則，，故平面與平面的夾角正弦值為.17.為，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復(fù)進(jìn)行.記甲同學(xué)第局贏的概率為.（1）求乙同學(xué)第2局贏的概率；第17頁/共27頁（2）求；（3）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根據(jù)獨(dú)立事件和對立事件的概率公式結(jié)合意求解即可；（2）由題意得時(shí)，，化簡變形后可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而可求出；（3）由題意得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷在上遞減，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，從而得，進(jìn)而可求得答案.【小問1詳解】由題意甲第2局贏的概率為，所以乙贏的概率為；【小問2詳解】由已知時(shí)，，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以；第18頁/共27頁【小問3詳解】，即，令，則，因?yàn)楹驮谏线f減，所以在上遞減，因?yàn)?，所以時(shí)，，則在上遞減，顯然，因此要求的最大值，即求的最小值，又，為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，且在為奇數(shù)時(shí)，是單調(diào)遞增的，所以是中的最小值，所以，又在上是減函數(shù)，所以，而，故所以，所以滿足的整數(shù)的最小值為.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù).其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；第19頁/共27頁②當(dāng)時(shí)，記的面積為S，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用.【答案】（1）的方程為是焦點(diǎn)在線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（2）①證明見解析；②存在，【解析】1）設(shè)點(diǎn)，由題意得到方程，分和，得到軌跡形狀；（21知，計(jì)算出為定值2；由橢圓定義和平行關(guān)系得到，的周長為定值；法二：，設(shè)，根據(jù)題干結(jié)論表達(dá)出，，所以，的周長為定值；②當(dāng)?shù)能壽E為雙曲線，，關(guān)系得到，由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，出（常數(shù)）.【小問1詳解】第20頁/共27頁設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時(shí)，，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.【小問2詳解】①法一：由（1）可知的方程為，設(shè)點(diǎn)，其中，由對稱性可知，因，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，第21頁/共27頁所以，所以為定值2；由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以.因?yàn)?，所以的周長為定值.法二：由（1）可知的方程為，設(shè)點(diǎn)，其中，由對稱性可知，因?yàn)椋?，因此，三點(diǎn)共線，第22頁/共27頁且，由題干條件可得動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)，設(shè)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，作⊥直線于點(diǎn)，直線與軸交點(diǎn)，則，，故，所以，解得，同理