2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.3.2平面與平面垂直的判定課時作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE1-2.3.2平面與平面垂直的判定[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點(diǎn)，下列推斷正確的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析：由已知條件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC?平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列說法正確的是()A．若m⊥n，則α⊥βB．若m∥n，則α⊥βC．若m⊥n，則α∥βD．若m∥n，則α∥β解析：若m⊥n，則α與β可以平行或相交，故A，C錯誤；若m∥n，則α⊥β，D錯，選B.答案：B3．如圖，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，連接PB，PC，則圖形中相互垂直的平面有()A．一對B．兩對C．三對D．四對解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，從而平面PBC⊥平面PAB.故選C.答案：C4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故選A.答案：A5．如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A．平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B．它們兩兩垂直C．平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D．平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD?平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.明顯平面PAD與平面PBC不垂直．故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知四棱錐P－ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，則平面PBD與平面PAC的位置關(guān)系是________________________．解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.答案：平面PBD⊥平面PAC7．正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，則側(cè)面與底面所成二面角的大小為________．解析：如圖，設(shè)S在底面內(nèi)的射影為O，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，SM，則∠SMO為所求二面角的平面角，在Rt△SOM中，OM＝eq\f(1,2)AD＝1，SM＝eq\r(SA2－\f(1,4)AB2)＝eq\r(2)，所以cos∠SMO＝eq\f(OM,SM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠SMO＝45°.答案：45°8．已知a，b，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，給出下列命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；②若a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，則α⊥β；③若a⊥α，b?β，a∥b，則α⊥β.其中正確的命題是________(填序號)．解析：如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，記平面ADD1A1為α，平面ABCD為β，平面ABB1A1為γ，明顯①錯誤；②只有在直線b，c相交的狀況下才成立；易知③正確．答案：③三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：由AB是圓的直徑，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A.PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.10．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，求二面角P－CD－B的大小．解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝eq\r(3)，AC＝eq\r(3)，∴∠PCA＝45°.故二面角P－CD－B的大小為45°.[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故選C.答案：C12.如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.解析：取BC中點(diǎn)M，則AM⊥BC，由題意得AM⊥平面BDC，∴△AMD為直角三角形，AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a.∴AD＝eq\f(\r(2),2)a×eq\r(2)＝a.答案：a13．如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點(diǎn)，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，連接A′B，A′C，P為A′C的中點(diǎn)．(1)求證：EP∥平面A′FB；(2)求證：平面A′EC⊥平面A′BC.證明：(1)因?yàn)镋，P分別為AC，A′C的中點(diǎn)，所以EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，而EP?平面AA′B，所以EP∥平面AA′B，即EP∥平面A′FB.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC.因?yàn)锽C⊥AC，所以EF⊥AE，故EF⊥A′E，所以BC⊥A′E.而A′E與AC相交，所以BC⊥平面A′EC.又BC?平面A′BC，所以平面A′EC⊥平面A′BC.14．在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線．已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．解析：如圖所示，連接OB，OO′，則四邊形OO′FB為直角梯形．過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，則有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC.可得FM＝eq\r(FB2－BM2)＝3.過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，連接FN.可得FN⊥BC，從