2025年哈佛-麻省數(shù)學(xué)競賽（HMMT）2月錦標(biāo)賽（團(tuán)體賽與搶答賽）試題

2025年哈佛-麻省數(shù)學(xué)競賽(HMMT)2月錦標(biāo)賽(團(tuán)體賽)團(tuán)體賽(TeamRonud):60分鐘，團(tuán)隊(duì)協(xié)作完成10道證明題或解答題.為180且面積為2024的不同構(gòu)多聯(lián)骨牌的數(shù)量，并證明你的結(jié)論.3(30分).設(shè)圓w?和w?相交于不同點(diǎn)A和B.點(diǎn)X為w?上的動(dòng)點(diǎn)，在w?上選取點(diǎn)Y,使得AB平分∠XAY.證明：△AXY的外心(若存在)在一條定直線上.5(35分).設(shè)△ABC是一個(gè)銳角三角形，垂心為H.點(diǎn)E和F分別在線段AC和AB上，使6(40分).復(fù)數(shù)w?,W?,…,wn的模都為1.設(shè)z是一個(gè)與w?,W?,…,Wn都不同的復(fù)數(shù)，且滿足8(50分).設(shè)△ABC的內(nèi)心為I.△ABC的內(nèi)切圓與BC相切于D.設(shè)M是BC的中點(diǎn)，直圓.如果w與線段AD相交于點(diǎn)P,證明：∠IPM=90°.9(60分).求所有的質(zhì)數(shù)p,使得存在函數(shù)f:Z→Z,滿足對于任意整數(shù)x,都有f(x+p)=f(x),10(60分).對于所有正整數(shù)三元組(a,b,c),結(jié)論.一42025年哈佛-麻省數(shù)學(xué)競賽(HMMT)2月錦標(biāo)賽(搶答賽)搶答賽(GutsRonud):80分鐘，團(tuán)隊(duì)協(xié)作完成36道題，按組提交并實(shí)時(shí)記分1(5分).如果一個(gè)9位數(shù)恰好使用1到9這9個(gè)數(shù)字各一次，就稱它為“食火雞數(shù)”.計(jì)算“食火雞2(5分).計(jì)算的值.3(5分).雅各布擲兩枚標(biāo)準(zhǔn)的六面骰子，如果這兩枚骰子的結(jié)果相同，他就再擲一枚標(biāo)準(zhǔn)的六面4(5分).設(shè)△ABC是邊長為4的等邊三角形.對于滿足[PAB]+[PAC]=[PBC]的△ABC內(nèi)部所有點(diǎn)P,計(jì)算PA的最小可能長度.(這里，[XYZ]表示△XYZ的面積)5(6分).計(jì)算在坐標(biāo)平面中，包含在區(qū)域|x+|yll≤1內(nèi)的圓的最大可能半徑.6(6分).設(shè)△ABC是等邊三角形.點(diǎn)D在線段BC上，且BD=1,DC=4.點(diǎn)E和F分別在射線AC和AB上，使得D是EF的中點(diǎn).計(jì)算EF的長度.7(6分).已知是一個(gè)整數(shù).計(jì)算它的質(zhì)因數(shù)之和.8(6分).棋盤是一個(gè)矩形單元格網(wǎng)格，單元格黑白相間染色，使得左上角單元格為黑色，且任意兩個(gè)同色單元格不共用邊.兩個(gè)棋盤不同當(dāng)且僅當(dāng)它們的行數(shù)或列數(shù)不同.例如，一個(gè)20×25的棋盤和一個(gè)25×20的棋盤被視為不同的棋盤.計(jì)算恰好有41個(gè)黑色單元格的不同棋盤的數(shù)量·9(7分).在正六邊形ABCDEF內(nèi)部均勻且獨(dú)立地隨機(jī)選取點(diǎn)P和Q.計(jì)算線段PQ完全包含在四邊形ABCD、BCDE、CDEF、DEFA、EFAB或FABC中至少一個(gè)內(nèi)的概率.10(7分).一個(gè)邊長為1的正方形被分割成兩個(gè)全等的五邊形.計(jì)算其中一個(gè)五邊形周長的最小上界.11(7分).設(shè)f(n)=n2+100.計(jì)算除以104的余數(shù).13(9分).如果一個(gè)數(shù)的十進(jìn)制數(shù)字從左到右是不減的，就稱這個(gè)數(shù)是“遞增數(shù)”.計(jì)算小于10?且14(9分).平行四邊形P可以沿一條直線折疊，使得折疊后的圖形是一個(gè)邊長為1的正五邊形.計(jì)算平行四邊形P的周長.15(9分).直角三角形△DEF中，∠D=90°,∠F=30°,它內(nèi)接于等邊三角形△ABC,使得D、E、F分別在線段BC、CA、AB上.已知BD=7,DC=4,計(jì)算DE的長度.16(9分).康托集被定義為滿足0≤x<1且其三進(jìn)制展開中不出現(xiàn)數(shù)字1的實(shí)數(shù)x的集合·從gn·已知a?、a?、a?、a?和as分別等于1、2、3、14和16,計(jì)算的值.18(11分).設(shè)f:{1,2,3,…,9}→{1,2,3,…,9}是從9!種可能的排列中均勻隨機(jī)選取的排列.計(jì)算)的期望值19(11分).對于集合{1,2,3,…,2025}的子集S,如果對于S中的任意元素a和b,都存在S中的元素c,使得2025能整除a+b-2c,那么S就被稱為平衡子集.計(jì)算非20(11分).在各位數(shù)字都小于3且是7的倍數(shù)的正整數(shù)中，求第100小的數(shù). 21(12分).計(jì)算唯一的5位正整數(shù)abcde,滿足a≠0,c≠0,且abcde=(ab+cde)2.(注：ab22(12分).設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，滿足a2(b+c)=1,b2(c+a)=2,c2(a+b)=5.已知abc有三23(12分).正六邊形ABCDEF的邊長為2.圓w在六邊形內(nèi)部，且與線段AB和AF相切.存在兩條分別過C和E且與w相切的垂線，且這兩條直線不在直線AD上相交.計(jì)算圓w的半徑.使得f(a)-20能被1012整除計(jì)算f(a+101)除以1012的余數(shù).24(12分).對于任意整數(shù)x,使得f(a)-20能被1012整除計(jì)算f(a+101)除以1012的余數(shù).25(14分).設(shè)梯形ABCD中，AB||CD,AD=13,BC=15,AB=20,CD=34.點(diǎn)X在26(14分).伊莎貝拉有一個(gè)袋子，里面有20顆藍(lán)色鉆石和25顆紫色鉆石.她重復(fù)以下過程4427(14分).計(jì)算有序?qū)?m,n)的數(shù)量，其中m、n均為小于80的奇正整數(shù)，且gcd(4"+2"+1,4"+2"+1)>1.28(14分).設(shè)f:N→N,滿足f(0)=0,且對于所有正整數(shù)m,有29(16分).點(diǎn)A和B在以O(shè)為圓心的圓w上.設(shè)點(diǎn)X在圓w內(nèi)部，且XO=2√2,XA=1,XB=3,∠AXB=90°.點(diǎn)Y和Z在圓w上，且Y≠A,△AXB和△XYZ順相似.計(jì)算XY的長度.30(16分).設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，滿足方程組計(jì)算a的值.31(16分).存在唯一的一個(gè)圓，它既與拋物線y=x2相切于兩點(diǎn)，又與曲線相切.計(jì)算這個(gè)圓的半徑.32(16分).在坐標(biāo)平面中，長度為2n的封閉格點(diǎn)回路是一個(gè)格點(diǎn)序列Po,P,P?,…,P2n,其中Po和P2n均為原點(diǎn)，且對于每個(gè)i,P?P+1=1.從所有長度為2026的封閉格點(diǎn)回路中均勻隨機(jī)選取一個(gè).設(shè)k是使得直線x+y=k至少經(jīng)過回路中一個(gè)點(diǎn)的最大整數(shù).計(jì)算滿足0≤i≤2025且P?在直線l上的索引i的期望數(shù)量.(格點(diǎn)是坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn).)33(20分).估計(jì)今年團(tuán)體賽中各隊(duì)提交的總頁數(shù).(與至少一個(gè)題目編號相關(guān)的所有頁面都算作的空白封面頁.)提交一個(gè)正整數(shù)E.如果正確答案是A,你將獲得)分.34(20分).在單位圓的周長上均勻且獨(dú)立地隨機(jī)選取12個(gè)點(diǎn).估計(jì)由這些點(diǎn)構(gòu)成的凸12邊形的面積的期望值.提交一個(gè)用小數(shù)表示的正數(shù)E.如果正確答案是A,你將獲得round(20e-15|E-A)35(20分).如果一個(gè)8位數(shù)恰好使用2到9這8個(gè)數(shù)字各一次，就稱它為“火烈鳥數(shù)”.估計(jì)“火烈鳥數(shù)”中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù).提交一個(gè)正整數(shù)E.如果正確答案是A,你將獲得36(20分).伊桑最初在黑板上寫了一些數(shù)字，每個(gè)數(shù)字要么是3,要么是5.然后他反復(fù)選取兩個(gè)數(shù)字，并用它們的和、差、積或商(除數(shù)不為0時(shí))來替換它們，設(shè)f(n)表示伊桑為了最終能寫出數(shù)字π,最初至少需要寫的數(shù)字個(gè)數(shù).例如，f(2025)≤6,因?yàn)橐辽？梢韵仍诤诎迳蠈?、3、3、3、5和5,然后每