新教材人教B 版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章教案

新教材人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章教案（講義）

第二章等式與不等式

2.1等式

2.1,1等式的性質(zhì)與方程的解集

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1理.解且會(huì)運(yùn)用等式的性質(zhì).（重點(diǎn)）

1借.助等式的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).

2.理解恒等式的概念，會(huì)進(jìn)行恒等變形.（難

2.通過(guò)求方程的解集，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)

點(diǎn)）

運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.會(huì)求方程的解集.（重點(diǎn)）

自主預(yù)習(xí)。擢新Ml

ZIZ.HLJYLJXJTAZX1Z/H1

「7新知初探G

1.等式的性質(zhì)

性質(zhì)：（1）:等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或代數(shù)式），等式仍成立.

用字母表示為：如果。=江則對(duì)任意的C,都有〃土C=2些.

性質(zhì)（2）：等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（或代數(shù)式）（除數(shù)或代數(shù)式不為0）,等式

仍成立.

用字母表示為：如果。=方，則對(duì)任意的c,都有aXc=bXc,aJrc=h±c（c^0）.

2.恒等式

（1）一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等

式，也稱等式兩邊恒等.恒等式是進(jìn)行代數(shù)變形的依據(jù)之一.

（2）一個(gè)經(jīng)常會(huì)用到的恒等式：對(duì)任意的x,a,b,都有（x+a）（x+8）=/+魚(yú)土處+磴.

⑶用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式f+（a+b）x+必=（x+a）（x+。）進(jìn)行分解;

②利用公式。0^+（〃+兒,）/+〃=（依+份3+進(jìn)行分解.

3.方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.求方程解的過(guò)程叫做解方

程.把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集.

匚試身苦口

1.下列運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是()

A.如果a=b,那么a+c=b—c

B.如果屋=3a,那么a=3

C.如果a=b,那么

D.如果那么a=b

D[A.當(dāng)a=b時(shí)，a+c=b+c,故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)。=0時(shí)，此時(shí)aW3,故B錯(cuò)誤；C.

當(dāng)c=0時(shí)，此時(shí)，與《無(wú)意義，故C錯(cuò)誤；故選D.]

2.下列算式：(l)3a+2Z?=5ab；(2)5^2—2y2=3；(3)7a+<2=7<32；(4)4^—2xy2=2xy中正

確的有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

A[(1)(4)不是同類項(xiàng)，不能合并；⑵5y2—2尸=3y2；(3)7。+a=8a.所以4個(gè)算式都錯(cuò)誤.故

選A.]

3.已知AMR+GX—9,B=—jc3—2/+4x—6,則2A—35等于()

A.-J?+6JC2B.

C.X3—6xD.—5X3+6X2

B[依題意，可得2A—故選B.]

4.『一4的因式分解的結(jié)果是()

A.(x-2)2B.(龍一2)/+2)

C.(x+2)2D.(X—4)(x+4)

B[x2—4=(x+2)(x—2).故選B.]

合作探究。提素養(yǎng)

HEZUOTAZJIUTISUYAN

等式性質(zhì)的應(yīng)用

—

【例11已知x=y,則下列各式：①x—3=y—3；②4x=6y；③-2x=—2y；④1=1;

⑤52=平；啰=\其中正確的有()

A.①②③B.④⑤⑥

C.①③⑤D.②④⑥

C[①x—3=y—3;③-2x=-2y;好行一==~^-正確，故選C.]

規(guī)律方法

在等式變形中運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)要注意，必須保證等式兩邊同乘以或除以的同一個(gè)數(shù)是

不為零的數(shù)，此外，還要注意等式本身隱含的條件.

酗圈峭

1.設(shè)x,?c是實(shí)數(shù)，下列正確的是（）

A.若％="貝！Jx+c=y—c

B.若工=丁,則xc=yc

c.若％=?則目：

D.若.=.，則2x=3y

B[A.兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意：

B.兩邊都乘以c,故B符合題意；

C.c=0時(shí)，兩邊都除以c無(wú)意義，故C不符合題意；

D.兩邊乘6c,得到3x=2y,故D不符合題意.故選B.]

堡型2恒等式的化簡(jiǎn)

【例2】化簡(jiǎn)：

(1)(3。-2)—3僅一5)；

(2)-3*y+2fy+3盯2—2xy2；

(3)27?z+(m+n)-2(〃z+〃)；

(4)(4〃2占—Sab2)+[—2(3〃。-4次乃].

[解](1)(3。-2)—3(。-5)=3〃-2—3〃+15=13.

(2)-3^+2x2y+3xy2-2xy2=-^y+xy2.

(3)2機(jī)+(/%+〃)-2(機(jī)+〃)=2"?+m+〃—2m-2〃=根一兒

(4)(4〃28—5ah2)+[—2(3/8—4ab2)]=402b-Sab1+(—6crh+Sab2)=4a2b-Sab1—6crh+

8加=-2。2b+3加.

規(guī)律方法

去括號(hào)時(shí)，首先要弄清楚括號(hào)前究竟是“+”號(hào)，還是“一”號(hào)，其次要注意法則中的

“都”字，都改變符號(hào)或都不改變符號(hào)，一定要一視同仁，尤其是括號(hào)前面是“一”號(hào)時(shí),

容易出現(xiàn)只改變括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)符號(hào)，而其余各項(xiàng)均不變號(hào)的錯(cuò)誤.

金跟魄訓(xùn)練自

2.計(jì)算：

(1)次一3。/?+5-a2-3，仍一7;

(2)5(，找+〃)-4(3加一2〃)+3(2"?—3〃)；

(3)3(-5x+y)-［(2x-4y)-2(3x+5y)］.

［解］(1)原式=(1-1)a2+(—3—3)a/?+(5—7)=—6ah—2.

(2)原式=5〃z+5〃-12〃2+8〃+6〃?-9〃=(5—12+6)〃z+(5+8—9)〃=—〃z+4〃.

(3)原式=-15x+3y—(2x—4y—6x—10y)=-15x+3y—(—4x—14y)=-15x+3y+4x+

14y=(-15+4)x+(3+14)y=-1lx+17y.

【例3】十字相乘法分解因式：

(I)%2—x—56；(2)/—10x+16.

7

［解］(1)因?yàn)?人-8

7-8=-1

所以:原式=。+7)。-8).

-2-8=-10

所以：原式=(x—2)(x—8).

規(guī)律方法

常數(shù)項(xiàng)為正，分解的兩個(gè)數(shù)同號(hào)；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，分解的兩個(gè)數(shù)異號(hào).二次項(xiàng)系數(shù)一般都

化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提

出的負(fù)號(hào)添上.

3.將產(chǎn)一5)，+4因式分解的結(jié)果是()

A.S+D0+4)B.(y+l)(j-4)

C.(y—l)(y+4)D.(y—l)(y—4)

D［因式分解，可得y2—5y+4=(y—l)G-4),故選D.］

心型3方程的解集

【例4】求下列方程的解集.

(l)x(x+2)=2x+4；

(2)16(x—5尸9(X+4)2=0.

[解](1)原方程可變形為尤(x+2)=2(x+2),即(x—2)(x+2)=0,

從而x+2=0或*-2=0,所以x=—2或x=2,方程的解集為{-2,2}.

(2)利用平方差，將原方程變?yōu)閇4(x-5)+3(x+4)][4(x-5)—3(x+4)]=0,

Q

整理可得(7x—8)(x—32)=0,所以7x—8=0或九一32=0,所以x=,或x=32,

故原方程的解集為9，32；

規(guī)律方法

用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步驟

(1)移項(xiàng)，將一元二次方程的右邊化為0;

(2)化積，利用提取公因式法、公式法等將一元二次方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的

積；

(3)轉(zhuǎn)化，兩個(gè)因式分別為0,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程

(4)求解，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解；

(5)將其解寫(xiě)成集合的形式.

4.若x=-2是關(guān)于x的一元二次方程X2—/次+/=0的一個(gè)根，則a的值為()

A.1或4B.-1或一4

C.—1或4D.1或一4

B「.”=-2是關(guān)于x的一■元二次方程x2一■|ax+/=0的一■個(gè)根，.,.4+5a+/=0,

.,.(a+l)(a+4)=0,解得。=一1或。=一4.]

課堂小結(jié)m

1.利用等式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)要注意是否恒等變形，化簡(jiǎn)要徹底，要注意符號(hào)的變換.

2.十字相乘法分解因式的步驟：移項(xiàng)一化積一轉(zhuǎn)化一求解.

3.方程的解集要寫(xiě)成集合的形式.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。國(guó)JH墾

nAZGTANCDABlAOGUSHUAN（寸I

1.若3a=2b,下列各式進(jìn)行的變形中，不正確的是（）

A.3a+l=2b+lB.3a~l=2b~\

C.9a=4bD.—^=—1

C[A.V3a=2/?,：.3a+\=2b+l,正確，不合題意；

B."：3a=2b,：.3a~\=2b~l,正確，不合題意；

C.，：3a=2b,：.9a=6b,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

ah

D.'：3a=2b,：.-2=正確，不合題意.故選C.]

2.（〃?+〃）一2?！币弧ǎ┑挠?jì)算結(jié)果是（）

A.3/1+2/7?B.3〃+〃？

C.3n~mD.3/?+2m

C[原式="?+〃-2〃z+2〃=—〃z+3〃，故選C.]

3.下列方程的解正確的是（）

A.x—3=1的解集是{—2}

B.1x-2x=6的解集是{一4}

C.3%—4=，-3）的解集是{3}

D.—；x=2的解集是1一||

B[方程x—3=1的解是x=4,；x—2x=6的解是x=-4,3x—4=5（x—3）的解是x=-7,

一；x=2的解是x=-6,故選B.]

4.方程2%—1=0的解集是.

|||[由2x—1=0,解得光=g,方程的解集是\*.]

2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解一元二次方程的定義，并會(huì)求一元二次方程的解

1.通過(guò)對(duì)一元二次方程的解集及根

集.(重點(diǎn))

與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽

2.掌握一元二次方程的根的判別式，并會(huì)用其判斷根的

象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

個(gè)數(shù).(重點(diǎn))

2.通過(guò)求一元二次方程的解集，

3.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)用其求一

提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值.(重點(diǎn)、難點(diǎn))

自主預(yù)習(xí)。援新Ml

/l/HUYUXI【AZX1Z/HI

L新知初探D

1.一元二次方程的定義

形如加+Zzx+c=O的方程為一元二次方程，其中a,b,c是常數(shù),且aWO.

2.一元二次方程的解法

(1)直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)

平方法.

(2)配方法：通過(guò)方程的簡(jiǎn)單變形，將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是

一個(gè)非負(fù)常數(shù)，則可以運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

(3)公式法：將一元二次方程中的系數(shù)a,一c的值代入式子x=-”或一皿中,就求得

方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法.

3.一元二次方程根的判別式

式子從一4ac叫做一元二次方程辦2+法+c=()m#o)根的判別式，通常用/表示，即/

=〃-4ac.當(dāng)/>0時(shí)，一元二次方程a^+^x+cnOgWO)有兩個(gè)丕相篁的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/=0

時(shí)，一元二次方程加+bx+c=O(aWO)有兩個(gè)相笠的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/V0時(shí)，一元二次方程加

+Z?x+c=O(aWO)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

hc

如果的兩根是光1,X2,那么Xl+X2=—",X1-X2=~,即兩個(gè)根的和等

于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.

1.一元二次方程X2—16=0的解集是（）

A.{-8,8}B.{-4}

C.{4}D.{-4,4}

D[利用直接開(kāi)平方法解方程，即了一16=0,，/=16,解得為=4,及=一4,故選D.]

2.用配方法解方程/一8x+5=0,將其化為（x+a）2=b的形式，正確的是（）

A.（尤+4）2=11B.（尤+4）2=21

C.（x—8）2=11D.（無(wú)一4）2=11

D[X2-8%+5=0,九2_8%=-5,X2-8X+16=-5+16,（X-4）2=11,故選D.]

3.用公式法解方程6x—8=5/時(shí)，a,b,c的值分別是（）

A.5、6、—8B.5、—6、—8

C.5、-6、8D.6、5、-8

C[原方程可化為5/—6尤+8=0,，。=5,。=-6,c=8,故選C.]

4.已知一元二次方程2x2+2]—1=0的兩個(gè)根為X1,X2,且XI<12,下列結(jié)論正確的是（）

A.xi-bx2=1B.xi?X2=-1

C.|xi|<|X2|D.

21

D[根據(jù)題意，得％1+i2=-]=-1,xiX2=-2?所以A,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.Vxi+x2<0,

XlX2<0,/.Xl,X2異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤..??笛為一元二次方程2X2+2X

-1=0的根，/.2x?+2xi-l=o,，X+xi=；,D選項(xiàng)正確.故選D.]

合作探究。提素養(yǎng)

HEZUOTANJIUTISU

此型上______一元二次方程的解法

'I______________________________________

角度一直接開(kāi)平方法

【例1】用直接開(kāi)平方法求下列一元二次方程的解集：

（1）4/-25=0；（2）3f—x=15—x.

[思路點(diǎn)撥]可將方程轉(zhuǎn)化為f=pseo）的形式.再兩邊開(kāi)平方進(jìn)行降次，化為一元一

次方程.

[解]（1）移項(xiàng)，得4y2=25.

25

兩邊都除以4,得I/=才.

55

-*---

牙2

所以原一元二次方程的解集是jl,—I

(2)移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3/=15.

兩邊都除以3,得/=5.

解得加=小，X2=一小.

所以原一元二次方程的解集是｛小，一小｝.

規(guī)律方法

應(yīng)用直接開(kāi)平方法求一元二次方程解集的主要步驟

(1)化為/=pS2O)的形式；(2)直接開(kāi)平方；(3)解兩個(gè)一元一次方程，寫(xiě)出方程的兩個(gè)

根；(4)總結(jié)寫(xiě)成解集的形式.

0s跟踹訓(xùn)練利

1.用直接開(kāi)平方法求下列一元二次方程的解集.

(l)(x+1)2=12；

(2)(6x-1)2-25=0.

［解］(1)直接開(kāi)平方，得x+l=±2小，

.*.Xi=2^/3—1,X2=-2小一1.

.,?原一元二次方程的解集是｛2小一1,-2y［?>—1｝.

(2)移項(xiàng),得(6x—1)2=25.

開(kāi)平方，得6x—1=±5.

.2

?=1,X2=一?

二原一元二次方程的解集是11,

角度二配方法

【例2］用配方法求下列方程的解集.

(1*+4%—1=0；

(2)4^+8x+1=0.

［解］(nV^+^-^O,?，.x2+4x=1,

.,./+4x+4=l+4,，(X+2)2=5,

.?.x=~2±^5,

?*.xi=-2+A/5,XI——2—A/5.

原一元二次方程的解集是｛-2+小，-2一?。?

(2)移項(xiàng)，得4x2+8x=-1.

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得

配方，得x2+2x+12=I2—

3

即。+1)2=不

原一元二次方程的解集是］-1+坐一1一￡.

規(guī)律方法

利用配方法解一元二次方程加+Zzx+c=O(aWO),先把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?,即方程兩邊

都除以“，然后把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程

的一邊配方化為一個(gè)完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后用直接開(kāi)平方法求解(若另一邊為

負(fù)數(shù)，則此方程無(wú)實(shí)數(shù)根).

2.用配方法求下列方程的解集.

(l)x2+3=2y［3x；

(2)"—5+g=0.

［解］(1)移項(xiàng)，得/一2小x=-3.

配方，得f—2，§x+(小)2=—3+(4)2,

即(X一5)2=0.；.Xi=X2=/.

...原一元二次方程的解集是｛?。?

(2)移項(xiàng)，得2X2+啦x=5.

5

2

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得X2,

22

配方，得f14

??小冬陰

.一也一

??加=4，4，

...原一元二次方程的解集是一姆弋母

角度三公式法

【例3］用公式法求下列方程的解集.

(l)x2—4^/§x+10=0；

⑵白+%+1=0?

ZZo

f思路點(diǎn)撥］先化成一元二次方程的一般形式，再求」,然后根據(jù)求根公式求解.

［解］⑴，?7=1,方=一4小，c=10,

/=廿一4改=(一4小)2—4義1X10=8>0,

.一(一45)域4s±2啦r-r-

??1-2x1-2-2\3±\2,

：.XI=24+@,肥=2小一戲.

，原一元二次方程的解集是｛2小十也，2小一啦｝.

(2)方程兩邊都乘以8,得4光2+4尤+1=0.

。=4,c=1,

d=h2—4ac=42—4X4X1=0,

.—4±\［o

,,x=2X4=一1

.'.X1=A2=-2-

原一元二次方程的解集是

規(guī)律方法

利用公式法解一元二次方程時(shí)，首先將方程化為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系

數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，計(jì)算從一44的值；當(dāng)"一4比20時(shí)，把m方，C的值代入求根公式即可求出

原方程的解，然后總結(jié)寫(xiě)出解集.

頷題跪訓(xùn)練B

3.用公式法求下列方程的解集.

(1)/+3=2也；

(2)3f=—6x—1.

［解］(1)將方程化為一般形式為/-2也x+3=0.

Va=1,Z>=—2A/2,C=3,

/=/一4"=(一2a)2—4義1X3=-4VO,

...原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

.?.原一元二次方程的解集是。.

(2)將方程化為一般形式為3/+6x+l=0,

,*<6?=3,〃=6,c=1,

J=Z?2-4^C=62-4X3X1=24>0,

.--3±^

2X3=3.

.-3+置—3—y［6

**xi=3,X2=3.

原一元二次方程的解集是［二^四，

M型2一元二次方程的根的判別式

［例4］不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況.

⑴婷一2%—1=0；

(2)2x2—x+1=0；

(3)4x—X2=X2+2.

［解］(l)VJ=(-2)2-4X3X(-l)=16>0,...方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.，方程的

解集中有兩個(gè)元素.

(2)VJ=(-l)2-4X2Xl=-7<0,，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.，方程的解集為空集.

(3)方程整理為/—Zx+l：。，?.Z=(-2)2—4XlXl=0,.?.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.二

方程的解集中有一個(gè)元素.

規(guī)律方法

一元二次方程的根的判別式/="2—4ac.當(dāng)/>0時(shí)，方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/V0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

金跟魄訓(xùn)練.

4.下列一元二次方程中，解集為空集的是()

A.x2—2x=0B./+4x—1=0

C.2-3=0D.3f=5x—2

C［利用根的判別式/=〃-4ac分別進(jìn)行判定即可.

A.J=(-2)2-4XlX0=4>0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意；

B.J=42-4XlX(-l)=20>0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意；

C./=(-4)2—4X2X3=-8V0,沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)符合題意；

D.J=(-5)2-4X3X2=l>0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意.故選C.］

衛(wèi)型3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【例5】設(shè)XI,X2是方程2*2—9x+6=o的兩個(gè)根，求下列各式的值.

(1)5+占

(2)%?+8

(3)(xi—3)(%2—3)；

(4)X1—X2.

9

［解］由根與系數(shù)的關(guān)系，得Xl+12=1?X2=3.

,,1.1xi+%29c3

⑴z三+E="^T=5;3=5；

(2)x?+x^=(XI+X2)2—2X1X2

2

=(1)-2X3年

(3)(XI—3)(x2—3)

=X1X2-3(xi+X2)+9

9

=3—3X/+9

=——3.

T

（4）（XI—X2）2=（尢I+X2）2—4X1X2

2

=（D-4X3=y,

規(guī)律方法

利用根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)代數(shù)式的值的一般方法

(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出尢1+12,X1X2的值；

(2)將所求的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為含箝+X2,X\X2的代數(shù)式的形式；

(3)將X1+X2,尢1X2的值整體代入，求出待求代數(shù)式的值.

金岬但

5.已知a,4是一元二次方程f+x—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+4一a夕的值是()

A.3B.1C.-1D.-3

B「.'a,4是方程f+x—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，：.a+[i=-\,磔=-2,，a+4一磔=

-1+2=1,故選B.]

造型夕與一元二次方程相關(guān)的求未知字母的值或范圍問(wèn)題

【例6】已知關(guān)于光的一元二次方程2?一依+3=0的解集中只有一個(gè)元素，則人的值

為()

A.±2#B.±\[6

C.2或3D.2或3

A['：a=2,b=~k,c=3,：./i=b2-4ac=lc-4X2X3=l<2-24,..?方程的解集中只

有一個(gè)元素，.?./=標(biāo)-24=0,解得左=±2#.]

規(guī)律方法

根據(jù)已知條件求一元二次方程中字母系數(shù)的取值或取值范圍問(wèn)題，常見(jiàn)情況為根據(jù)方程

解的情況判定字母系數(shù)的情況.

頷遐蹴I幽

6.若關(guān)于x的一元二次方程f—(2a+l)x+a2=()有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求。的取值

范圍.

[解]?.?關(guān)于x的一元二次方程*一(2。+1W+。2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.,.J=[-(2a+l)]2-4a2=4a+1>0,：.a>

E課堂小結(jié)bl

1.一元二次方程的解法：(1)直接開(kāi)平方法；(2)配方法；

(3)公式法.

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

_hc

如果O^+bx+cnOmWO)的兩根是XI,X2,那么Xl+X2=—",XIX2=4.利用這個(gè)關(guān)系，可

以求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值的問(wèn)題.

注意：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系需滿足的前提條件是：①。#0；②/20.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。固雙基

DANGTAZGDABIAOGUSHUAZGJI

1.一元二次方程X2—9=0的解集是()

A.{3}B.{-3}

C.{-3,3}D.{-9,9}

C[VX2-9=0,：.^=9,：.x=±3,故選C.]

2.一元二次方程f=3x的解集是()

A.{0}B.{3}C.{-3}D.{0,3}

D[x2=3x,x2—3x=0,x(x—3)=0,解得xi=0,X2=3,故選D.]

3.一元二次方程4f+l=4x的解集情況是()

A.為空集B.只有一個(gè)元素

C.有兩個(gè)元素D.無(wú)法確定元素的個(gè)數(shù)

B[原方程可化為4/—4x+l=0,?.?/=(—4)2—4X4Xl=0,.?.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根.解集中只有一個(gè)元素.故選B.]

4.將方程2x=3化為(x—〃?)2=〃的形式，則〃?，〃分別是.

1,4[^-2x=3,配方得f-2x+l=4,即(％—1)2=4,：.m=\,〃=4.]

2.1.3方程組的解集

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

L理解方程組的解集的定義及表示方法.（難

1.通過(guò)理解方程組的定義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素

點(diǎn)）

養(yǎng).

2.掌握用消元法求方程組解集的方法.（重點(diǎn)）

2.通過(guò)求方程組的解集，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)

3.會(huì)利用方程組知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng).

題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

自主預(yù)習(xí)。擺新Ml

/IZHUYIJXITAZXIZ/HI

I新知初探」

1.方程組的解集

一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組.方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集

稱為這個(gè)方程組的解集.

2.求方程組解集的依據(jù)是等式的性質(zhì)等，常用的方法是消元法.

3.二元一（二）次方程組解集的表示方法為{（x,y）|（a,。），…},其中a,b為確定的實(shí)數(shù)，

三元一次方程組解集的表示方法為{（x,y,z）|（a,b,c）,…},其中a,b,c為確定的實(shí)數(shù).

y=1~x

1.用代入法解方程組,c時(shí)，代入正確的是()

[x—2y=44

A.%—2—x=4B.x—2—2x=4

C.x—2+2x=4D.x—2+x=4

1—x,①

C[\/把①代入②得，x—2(l—x)=4,去括號(hào)得，x—2+2x=4.故選C.]

[x-2y=4,②

(2x+y=7,

2.已知二元一次方程組,；。解集為()

.X十2y=8,

A.{(x,y)|(2,3)}B.{(x,y)|(3,2)}

C.{(x,訓(xùn)(一2,3)}D.{(x,y)|(-2,-3)}

'2x+y=7,①

[x+2y=8,②

①+②得：3x+3y=15,解得x=2,y=3,解集為{(x,y)|(2,3)},故選A.]

3.已知4={(》，y)b+y=5},3={(x,y)\2x-y=4},則)

A.{(x,y)|(l,4)}B.{(x,y)|(2,3)}

C.{(x,y)|(3,2)}D.{(x,>)|(4,1)}

'x+y=5,

C[根據(jù)題意,

2x-j=4,

由代入消元法可求得x=3,y=2,故An8={(x,y)|(3,2)}.]

2x+_y--7，

4.已知,'那么x—y的值是_________.

[x+2y=8,

-1[兩式相減可得結(jié)果x—y=-L]

合作探究。提素養(yǎng)

ANG

鰭型1二元一次方程組的解集

【例1】求下列方程組的解集.

x+y=4,①

⑴1o

[2x-3y=3.@

3L7y=—1,①

⑵'

出+7>=13.②

懈]⑴由①，得y=4-尤.③

把③代人②，得2r—3(4—x)=3.

解這個(gè)方程，得x=3.

把尤=3代入③，得y=l.

所以原方程組的解集為{(x,y)|(3,l)}.

(2)法一：①+②，得6x=12,所以x=2.

把x=2代入②，得3X2+7)，=13,所以)，=1.

所以原方程組的解集為{(x,訓(xùn)(2,1)}.

法二：①一②，得一14卜=一14,所以y=L

把y=1代入①得，3x—7X1=—1,所以x=2.

所以原方程組的解集為{(x,y)1(2/)}.

規(guī)律方法

求二元一次方程組的解集的常用方法有加減消元法和代入消元法，要能夠根據(jù)所解方程

組的特點(diǎn)選用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ⒁饨饧谋硎拘问?

頷題跪訓(xùn)練B

1.求下列方程組的解集.

「4x+8y=12,①

(1)1?

［3x-2y=5.@

'8x+9y=73,①

(2Y

〔7x+18y=2.②

［解］⑴由②，得2y=3x—5.③

把③代人①，得4x+4(3x—5)=12,解得x=2.

把x=2代入③,得＞

所以原方程組的解集為＜(*,y)(2,，?.

(2)由①義2,得16x+18y=146,③

由③一②，得9x=144,解得x=16.

把x=16代入①，得8X16+9y=73,解得y=一竟

所以原方程組的解集為D;

鏟型2三元一次方程組的解集

【例2】求下列方程組的解集.

(x+y+z=12,①

(1)1x+2y+5z=22,②

Lr=4y.③

(2x+j+3z=11>①

(2)53x+2j-2z=ll,②

14%一3廠2z=4.③

［解］(1)法一：將③分別代入①②，得

5v+z=12,［v=2,

<,,解得f

6y+5z=22,1z=2,

把y=2代入③，得x=8.

所以原方程組的解集為{(x,y,z)|(8,2,2)}.

法二：②一①，得y+4z=10,④

②一③，得6y+5z=22,⑤

y+4z=10,y=2,

聯(lián)立④⑤，得，解得＜

6y+5z=22,7=2,

把y=2代入③，得x=8.

所以原方程組的解集為{(x,y,z)|(8,2,2)}.

法三：①X5,得5x+5y+5z=60,④

④一②，得4x+3y=38,⑤

得尸"x=8,

聯(lián)立③⑤,解得＜

〔4x+3y=38,J=2,

把x=8,y=2代入①，得z=2.

所以原方程組的解集為{(x,y,z)|(8,2,2)}.

(2)①義2—②，得x+8z=ll,④

①X3+③，得10x+7z=37,⑤

x+8z=ll,x=3,

聯(lián)立④⑤,得V.解得

[10x+7z=37,z=l,

把x=3,z=l代入①，得y=2.

所以原方程組的解集為{(x,y,z)|(3,2,l)}.

規(guī)律方法

求三元一次方程組解集的基本思路是：通過(guò)“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”

化為“二元"，使三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.

領(lǐng)題:跑訓(xùn)練,

pc+y=l,①

2.求方程組卜+z=6,②的解集.

〔z+x=3(3)

［解］①+②+③，得2(x+y+z)=10,

即無(wú)+y+z=5.④

④一①，得z=4;④一②，得x=-1;④一③，得),=2.

所以原方程組的解集為{(x,y,z)|(-1,2,4)}.

4去型3待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式

【例3】已知二次函數(shù)y=o?+法的圖像過(guò)點(diǎn)(一1,2),(2,8),(5,158),求這個(gè)二次

函數(shù)的解析式.

［思路點(diǎn)撥］把a(bǔ),b,c看成三個(gè)未知數(shù)，分別把三組已知的x,y的值代入，就可以得

到一個(gè)三元一次方程組，解這個(gè)方程組即可求出a,b,c的值.

(a-b+c=2,①

［解］根據(jù)題意，得《4a+20+c=8,②

125a+50+c=158,③

②一①，得。+6=2,④

③一①，得4a+8=26,⑤

a+h=2,fa=8,

聯(lián)立④⑤，得解得

4a+b=26,［h=-6,

把a(bǔ)=8,/?=-6代入①，得c=-12.

因此所求函數(shù)的解析式為y=8x2—6x—12.

規(guī)律方法

解決此類問(wèn)題的方法是根據(jù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組，解方程組求得字母系數(shù)的值，

進(jìn)而確定所求函數(shù)的解析式.

何遇胤臉

3.已知二次函數(shù)y=a/+foc+c的圖像過(guò)點(diǎn)(1,4),(3,—20),(-1,-12),求這個(gè)二次

函數(shù)的解析式.

a+b+c=4,(a=~5,

9a+3b+c=~20,解得巾=8,

{a-b-\-c——12,lc=1,

因此所求函數(shù)的解析式為y=-5/+8x+l.

心型4二元二次方程組的解集

【例4】求下列方程組的解集.

尤+y=8,①

⑴［孫=12.②

22

x—4xy+4y+x—2y—2=09①

(2Y

〔3x+2y_ll=0.②

［解］⑴由①得尸8-匕③

把③代入②，整理得/-8x+12=0.

解得xi=2,X2=6.

把xi=2代入⑤)，得yi=6.

把X2=6代入③，得"=2.

所以原方程組的解集為{(九，y)|(2,6),(6,2)}.

⑵由①得(x—2y)2+(x—2y)—2=0,

解得x-2y=1或x-2y=~2,

x-2y=1,x=3,

由V,得彳

l3x+2y-ll=0f［y=l.

x-2y=-2,

由’,'

l3x+2y-ll=0,

917

所以原方程組的解集為(x,y)(3,1),1T

規(guī)律方法

求二元二次方程組解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把

二次降為一次，因此可以通過(guò)消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二

次方程甚至一元一次方程.

x+2y=4,①

4.求方程組21②的解集.

［解］..,方程①是x與2y的和，方程②是x與2y的積，

與2y是方程z?—4z—21=0的兩個(gè)根，解此方程得zi=-3,Z2=7,

x=-3

或'

2y=7

x=-3,fx=7,

即｛7或13

所以原方程組的解集為

卜,y）|（一3,3,（7,一|）

鏟型5方程組的實(shí)際應(yīng)用

【例5】某汽車在相距70km的甲、乙兩地往返行駛，行駛中有一坡度均勻的小山.該

汽車從甲地到乙地需要2.5h,從乙地到甲地需要2.3h.假設(shè)該汽車在平路、上坡路、下坡路

的行駛過(guò)程中時(shí)速分別是30km,20km,40km,則從甲地到乙的過(guò)程中，上坡路、平路、下坡

路的長(zhǎng)度各是多少？

［思路點(diǎn)撥］題中有三個(gè)等量關(guān)系：①上坡路長(zhǎng)度+平路長(zhǎng)度+下坡路長(zhǎng)度=70km；

②從甲地到乙地的過(guò)程中，上坡時(shí)間+平路時(shí)間+下坡時(shí)間=2.5h；③從乙地到甲地的過(guò)程

中，上坡時(shí)間+平路時(shí)間+下坡時(shí)間=2.3h.

［解］設(shè)從甲地到乙地的過(guò)程中，上坡路、平路、下坡路分別是xkm,ykm和zkm.

“+y+z=70,

|x=12,

—二=25解得｛

由題意得＜20十30十40y=54,

lz=4,

味+芯+疝=2.3,

故從甲地到乙地的過(guò)程中，上坡路是12km,平路是54km,下坡路是4km.

規(guī)律方法

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程組，求出方程組的解集，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題.

勘

5.在中國(guó)古算術(shù)《張丘建算經(jīng)》（約公元5世紀(jì)）里，有一道著名的“百雞問(wèn)題”：今有

雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛

各幾何？（三種雞都買(mǎi)）

［解］設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別買(mǎi)無(wú)只、y只、z只.

x+y+z=100,①

根據(jù)題意,根7

5x+3y+g=100.②

c_100-7x7

②X3一①，得7x+4y=100,y=-—=25—^x.

因?yàn)閤,y均為正數(shù)，所以x一定是4的倍數(shù)，且x是小于與的正整數(shù)，所以x的取值

只能為4,8,12.

若x=4,則y=18,z=78;

若x=8,則y=ll,z=81;

若尤=12,則y=4,z=84.

故雞翁為4只，雞母為18只，雞雛為78只或雞翁為8只，雞母為11只，雞雛為81只

或雞翁為12只，雞母為4只，雞雛為84只.

廣^課堂小結(jié)G

1.求二元一次方程組的解集的常用方法有加減消元法和代入消元法，要能夠根據(jù)所解方

程組的特點(diǎn)選用適當(dāng)?shù)姆椒?，注意解集的表示形?

2.待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解決此類問(wèn)題的方法是根據(jù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組,

解方程組求得字母系數(shù)的值，進(jìn)而確定所求函數(shù)的解析式.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。固雙基

DANGTAZCDABIACCUSHUAZCJI

「二元一次方程味fx-+3y=E7,的解集匙）

A.{(x,y)|(l,2)}B.{(x,y)|(l,0)}

C.{(x,y)|(—1,2)}D.{(x,y)|(l,-2)}

A[由加減消元法可求得x=l,y=2,故所求方程組的解集為{(x,y)|(l,2)}.]

x+y-z=11,

x+z=5,的解集時(shí)，要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，消元的方法應(yīng)選?。ǎ?/p>

{x~y+2z=1

A.先消去xB.先消去y

C