4.4 數(shù)學(xué)歸納法（6大題型）精練（解析版）

4.4數(shù)學(xué)歸納法【題型1對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解】1、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（），在驗(yàn)證時(shí)，左端計(jì)算所得的式子是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證時(shí)，把當(dāng)代入，左端．故選：C．2、（2022·上?！じ叨嗥指呒?jí)中學(xué)校考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，驗(yàn)證成立時(shí)等式左邊計(jì)算所得項(xiàng)是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】表達(dá)式的左邊是從開(kāi)始加到結(jié)束，所以驗(yàn)證成立時(shí)等式左邊計(jì)算所得項(xiàng)是.故選：D3、（2023·上?！じ叨谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成（）A．假設(shè)正確，再推正確B．假設(shè)正確，再推正確C．假設(shè)正確，再推正確D．假設(shè)正確，再推正確【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)正確，再推正確；故選：B．4、（2022·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時(shí)不等式成立B．時(shí)不等式成立C．時(shí)不等式成立D．時(shí)不等式成立【答案】B【解析】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．5、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）如果命題對(duì)成立，則它對(duì)也成立.則下列結(jié)論正確的是（）A．若對(duì)成立，則對(duì)所有正整數(shù)都成立B．若對(duì)成立，則對(duì)所有正偶數(shù)都成立C．若對(duì)成立，則對(duì)所有正奇數(shù)都成立D．若對(duì)成立，則對(duì)所有自然數(shù)都成立【答案】BC【解析】由題意可知，若對(duì)成立，則對(duì)所有正奇數(shù)都成立；若對(duì)成立，則對(duì)所有正偶數(shù)都成立.故選：BC【題型2數(shù)學(xué)歸納法的增項(xiàng)問(wèn)題】1、（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為故選：B.2、（2023·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意的，”，第一步應(yīng)該驗(yàn)證的等式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因，則第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否成立.故選：B3、（2023·廣東佛山·高二石門(mén)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，等式左端為，當(dāng)時(shí)，等式左端為，兩式比較可知，增加的項(xiàng)為．故選：B．4、（2023·上?！じ叨？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是【答案】【解析】把和代入等式左邊分別可得：①②兩式作差得.5、（2023·高全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，從到時(shí)，不等式左邊需增加的代數(shù)式為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，當(dāng)時(shí)，不等式為.【題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】1、（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，左式，右式，顯然等式成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，等式也成立，所以成立.2、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（,）．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：①當(dāng)時(shí)，，，等式成立；②假設(shè)時(shí)，，則時(shí)，，即時(shí)，等式成立，綜合①②可知，（，）．3、（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）證明：記，當(dāng)時(shí)，則有，等式成立，假設(shè)當(dāng)，等式成立，即，則，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，等式成立，故對(duì)任意的，.（2）證明：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，所以，，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，等式成立，所以，對(duì)任意的，.4、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則，即成立，故當(dāng)時(shí)也成立.綜上有（2）當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則，故當(dāng)時(shí)也成立.故【題型4用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】1、（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)，，且，用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以，故左邊右邊，原不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，，在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．綜上，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立．2、（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，且，證明∶.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：①當(dāng)時(shí)，，∴成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即當(dāng)，且（，2，…，n）時(shí)，均有.③當(dāng)時(shí)，對(duì)于，若，則命題顯然成立.若存在，不妨設(shè)，則在中必存在一個(gè)數(shù)小于1，不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為，從而，即.把看作一個(gè)整體，有.故原命題對(duì)也成立.綜上可得，原命題成立.3、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).【答案】證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊右邊，即當(dāng)n＝1時(shí)，原不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，原不等式成立，即1+++…+≤+k，則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，綜合（1）和（2）得，原不等式對(duì)所有的n∈N*都成立.4、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】（?。┊?dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，左邊<右邊，即不等式成立；（ⅱ）假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊=，問(wèn)題可通過(guò)證明來(lái)實(shí)現(xiàn).要證，只需證，只需證只需證，只需證，只需證，∵顯然成立，∴，即當(dāng)是不等式也成立.由（?。áⅲ┛傻?，對(duì)于一切的，不等式恒成立.【題型5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題】1、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證（1）當(dāng)時(shí)，能被整除，所以結(jié)論成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即能被整除．則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槟鼙徽?，能被整除，所以，能被整除，即即時(shí)結(jié)論也成立．由（1）（2）知命題對(duì)一切都成立．2、（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）能被哪些自然數(shù)整除？【答案】能被自然數(shù)6，1，2，3整除，證明見(jiàn)解析【解析】時(shí)，原式；時(shí)，原式；時(shí)，原式；時(shí)，原式；這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；1.當(dāng)時(shí)，，命題顯然成立；2.假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被6整除；3.當(dāng)時(shí)，，其中兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，由假設(shè)知能被6整除，故，，6分別能被6整除，所以當(dāng)時(shí)，命題也成立；綜上所述：可以被6整除．故能被自然數(shù)6，1，2，3整除.3、求證：對(duì)任意正整數(shù)，都能被整除．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：當(dāng)時(shí)，，則能被整除，假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除，則當(dāng)時(shí)，即,因?yàn)椤⒍寄鼙徽?，故能被整除，即能被整除，所以，?dāng)時(shí)，命題也成立，因此，對(duì)任意正整數(shù)，都能被整除.4、（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：是64的倍數(shù)．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，能被64整除，命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，能夠被64整除．當(dāng)時(shí)，能夠被64整除，能夠被64整除．即當(dāng)時(shí)，命題也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍數(shù)．【題型6用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題】1、（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）計(jì)算，，，的值；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并進(jìn)行證明．【答案】（1），，，；（2），證明見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)?，所以，，?（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，，猜想正確，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也正確，則有，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，猜想也正確，綜上所述，.2、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（為正整數(shù)）.（1）計(jì)算，，，并猜測(cè)通項(xiàng)公式；（2）證明（1）中的猜想.【答案】（1），，，；；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）中令得：，解得：，令得：，求出，解得：，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，猜想：；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立，則當(dāng)時(shí)，，即，由得：，故，解得：，綜上：.3、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，（1）求、的值；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【答案】（1），；（2），理由見(jiàn)解析【解析】（1）令得：，即，故，令得：，即，解得：，（2）猜想，證明如下：顯然滿足