非線性相互作用誘導(dǎo)的鴿群運動方向的有序切換

中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期:412–425SCIENTIASINICAInformationis論文論文SCIENCECHINAPRESScrossMark非線性相互作用誘導(dǎo)的鴿群運動方向的有序切換1.中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐州2211162.江蘇省應(yīng)用數(shù)學(xué)(中國礦業(yè)大學(xué))中心,徐州2211163.東南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,南京211096*通信作者.E-mail:yzsun@收稿日期:2024–05–17;修回日期:2024–08–16;接受日期:2024–12–31;網(wǎng)絡(luò)出版日期:2025–01–20國家自然科學(xué)基金(批準號:12302040,12271519)、江蘇省自然科學(xué)基金(批準號:BK20221107)、徐州市自然科學(xué)基金(批準號:KC23065)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(批準號:2024KYJD2003)資助項目摘要在許多動物群體的運動中,其在方向上突然連貫的變化是一重要且普遍存在的現(xiàn)象.對鴿群和蝗蟲群的觀察表明,方向切換是它們運動的內(nèi)在特性.已有研究表明,自驅(qū)動粒子模型可以用來描述群體運動的方向切換行為.理解決定方向切換行為的因素是理解群體運動的關(guān)鍵.本文重點研究社交和非線性相互作用對鴿群方向切換行為的影響.基于降維理論框架,將高維復(fù)雜模型簡化為一維簡單模型,對一維模型理論分析得到穩(wěn)態(tài)概率密度和平均切換時間.對于穩(wěn)態(tài)概率密度,一維模型得到的理論結(jié)果和高維模型得到的數(shù)值結(jié)果一致,說明降維和理論分析方法的有效性.研究結(jié)果表明社交和非線性相互作用在調(diào)節(jié)鴿群的方向切換行為中起著重要作用.具體來說,群密度和網(wǎng)絡(luò)平均度的增加可以抑制方向切換行為.然而,非線性參數(shù)對方向切換行為的影響是非單調(diào)的,當(dāng)非線性參數(shù)較小時,其增加首先抑制方向切換行為,而繼續(xù)增加可以促進方向切換行為.非線性參數(shù)的增加使群體的運動從有序逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)闊o序切換.研究結(jié)果揭示了社交和非線性相互作用在鴿群運動方向切換中的作用機制,為設(shè)計無人機集群的控制策略提供理論依據(jù).關(guān)鍵詞非線性相互作用,社交網(wǎng)絡(luò),方向切換行為,穩(wěn)態(tài)概率密度,平均切換時間在自然界和人造系統(tǒng)中,相互作用的多個體粒子或群體系統(tǒng)中出現(xiàn)的群集行為普遍存在.例如,覓食蟻群[1]、蝗蟲群[2]、魚群[3]、蝦群[4]、群集鳥類[5]、協(xié)調(diào)機器人[6]等.這些現(xiàn)象及相應(yīng)系統(tǒng)引起了研究人員的廣泛關(guān)注.在過去的幾十年中,許多理論[1,7,8]和實驗研究[2,9,10]探索群集行為出現(xiàn)的潛在機制.特別地,Vicsek等[11]提出了自驅(qū)動粒子(self-propelledparticles)模型,在該模型中,運動粒子的速度傾向于與其周圍鄰居的平均速度保持一致.Vicsek模型自提出以來,被廣泛應(yīng)用于生物系統(tǒng)的群集行為[5,9,10,12,13]、多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問題[14~29],以及用來解決路徑規(guī)劃和優(yōu)化等問引用格式:肖瑞,李望,劉世杰,等.非線性相互作用誘導(dǎo)的鴿群運動方向的有序切換.中國科學(xué):信息科學(xué),2025,55:412–425,doi:10.1360/SSI-2024-0149XiaoR,LiW,LiuSJ,etal.Nonlinearinteraction-inducedordereddirectionalswitchesinpigeon?ocks.SciSinInform,2025,55:412–425,doi:10.1360/SSI-2024-0149?c2025《中國科學(xué)》雜志社/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期413題[30,31].因此,Vicsek模型及其變體的相關(guān)研究成果不僅加深了對生物群體群集行為的理解,也為多智能體系統(tǒng)的應(yīng)用提供了理論支持和啟發(fā).大多數(shù)研究主要關(guān)注群體中的大量個體如何以幾乎相同的速度運動.然而,這些研究忽略了一個普遍存在而重要的現(xiàn)象,即群體經(jīng)常會突然改變其運動方向.實驗研究表明,生物系統(tǒng)會出現(xiàn)方向切換行為,如群集細菌[32]、蝗蟲群[2]、鴿群[33]、椋鳥群[34]、魚或蝦群[3,4]等.研究表明方向改變是對外部影響作出的反應(yīng),例如當(dāng)捕食者存在時,獵物可能會改變其運動方向[3].然而,在沒有外界環(huán)境改變的情況下,方向切換行為仍會發(fā)生,在沙漠蝗蟲[2]、玻璃蝦[4]和鴿子[33]等實驗中得到了證實.事實上,Vicsek等[35,36]提出的開創(chuàng)性模型及其變體已被用于解釋群體的方向切換行為.鴿群通過個體間的相互作用規(guī)則產(chǎn)生方向切換行為,其涉及個體對鄰居行為的響應(yīng)以及整個群體的協(xié)調(diào)一致性[37].過去的研究表明,通過模仿鴿群的方向切換行為可以為無人機編隊問題設(shè)計出更高效的集群控制算法,提升無人機群在路徑規(guī)劃、避障和隊形變換等任務(wù)中的靈活性和效率[37,38].因此,深入研究鴿群的方向切換行為,對于理解和設(shè)計無人機集群的控制策略具有重要的意義.最初,對方向切換行為的研究主要集中在探究群密度的影響.Vicsek等[11]研究表明,增加群密度能有效地抑制群體的方向切換行為.Buhl等[2]通過記錄蝗蟲群在環(huán)形臺內(nèi)的運動行為,觀測到當(dāng)群密度達到臨界值時,蝗蟲群能夠從無序運動切換到有序運動,且在繼續(xù)增加群密度時,群體仍能保持有序的運動方向.進一步地,研究人員考慮了隨機噪聲對方向切換行為的影響[1,3].Biancalani等[1]研究表明固有噪聲可以誘導(dǎo)覓食中的蟻群在兩個食物源之間有序切換.Jhawar等[3]研究了魚群的群集行為,研究結(jié)果表明,較小的魚群規(guī)模和較大的固有噪聲能有效地促進魚群運動方向的一致性.雖然現(xiàn)有的模型可以在一定程度上模擬有序的方向切換行為,但它們主要考慮線性相互作用關(guān)系[2,11,39],忽略了非線性相互作用[7,40].然而,非線性相互作用機制在復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和群集行為中起著重要作用[41,42].Yates等[7]研究了具有非線性相互作用的自驅(qū)動粒子模型,理論與實驗結(jié)果均表明平均切換時間與N呈指數(shù)關(guān)系.Chen等[40]基于鴿群自由飛行GPS數(shù)據(jù),利用稀疏貝葉斯(Bayes)學(xué)習(xí)方法識別出鴿群中的非線性相互作用機制.研究表明,非線性相互作用對鴿群的方向切換行為具有重要影響.上述研究主要假設(shè)局部鄰域內(nèi)的相互作用關(guān)系,但這一假設(shè)忽略了社交相互作用的影響,即個體傾向于將其速度與具有較強社交聯(lián)系的個體速度保持一致[43,44],但這可能被相對較長的歐氏距離分開.在移動的魚群和鴿群中觀察到的社交網(wǎng)絡(luò)可以用來描述社交相互作用[9,10,33].由于社交相互作用在生物群體中廣泛存在,將其影響引入模型,有助于揭示真實生物群體方向切換行為的潛在機制.本文建立具有社交和非線性相互作用的自驅(qū)動粒子模型來研究鴿群的方向切換行為,定義平均切換時間(meanswitchingtime,MST)來刻畫鴿群的方向切換行為.為了量化社交和非線性相互作用對MST的影響,使用降維理論框架[45]將高維復(fù)雜模型簡化為一維簡單模型.在簡化模型的基礎(chǔ)上,建立了求解具有社交和非線性相互作用的自驅(qū)動粒子模型的MST的數(shù)學(xué)框架.主要考慮Erd¨os-R′enyi網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)的方向切換行為.我們發(fā)現(xiàn)群密度、社交網(wǎng)絡(luò)平均度和非線性相互作用均會對方向切換行為產(chǎn)生重要影響.結(jié)果表明,MST是群密度和網(wǎng)絡(luò)平均度的遞增函數(shù),增加群密度或網(wǎng)絡(luò)平均度可以抑制群體發(fā)生方向切換行為,然而,非線性參數(shù)對MST的影響是非單調(diào)的,隨著非線性參數(shù)的增加,MST先增加后減少,即非線性參數(shù)的增加先抑制后促進群體的方向切換行為.特別地,非線性參數(shù)的增加使群體的運動方向從有序逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)闊o序切換.2具有社交和非線性相互作用的自驅(qū)動粒子模型1995年,Vicsek等[11]提出了自驅(qū)動粒子模型,該模型成為模擬生物群體集體運動的經(jīng)典模型:xi(t+1)=xi(t)+vi(t)?t,(1)θ(t+1)=(θ(t)〉r+?θ,/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期414其中,粒子i的狀態(tài)由其位置和速度定義,粒子i以恒定的速度大小運動,但其方向θ(t+1)根據(jù)鄰域內(nèi)粒子的平均運動方向?θ(t)?r進行調(diào)整,?θ表示隨機噪聲.研究表明,在群密度較高且噪聲較低時,群體的運動方向更有序.隨后,研究人員基于自驅(qū)動粒子模型研究群體的方向切換行為[2,8].Czir′ok等[39]考慮粒子的速度在群體中的波動性,假設(shè)每個粒子的狀態(tài)由其位置和速度決定:xi(t+1)=xi(t)+v0ui(t),ui(t+1)=G(?u(t)?i)+ξi,(2)其中,第i個粒子的速度ui(t+1)隨區(qū)間[xi??,xi+?]內(nèi)粒子的平均速度?u(t)?i演化,ξi為噪聲項.G(u)表示非線性相互作用函數(shù),當(dāng)u>0時,G(u)=(u+1)/2,而當(dāng)u<0時,G(u)=(u?1)/2,它的反對稱性能反映自驅(qū)動粒子模型的自發(fā)對稱破缺.研究發(fā)現(xiàn)臨界噪聲強度ηc與粒子平均密度ρ存在函數(shù)關(guān)系,即ηc(ρ)～ρn,κ=0.25±0.05.隨著ρ的增加,ηc也增加,粒子群的運動方向表現(xiàn)出更高的一致性.在上述的研究中,大多假設(shè)局部鄰域內(nèi)的相互作用規(guī)則,忽略了社交相互作用的影響.因此,我們采用具有社交和非線性相互作用的自驅(qū)動粒子模型研究鴿群的方向切換行為.本文考慮N只鴿子,每只鴿子根據(jù)與其具有社交聯(lián)系的鴿子的行為調(diào)整自己的狀態(tài).由于不關(guān)注局部領(lǐng)域作用信息,即鴿子的空間位置可忽略,所以鴿子的狀態(tài)僅由速度項Vi唯一確定.鴿群的速度變化趨勢可由以下系統(tǒng)描述:其中,社交相互作用由鄰接矩陣A表示,當(dāng)個體i和j有社交聯(lián)系時,矩陣元素Aij=1,否則Aij=0,且Aii=0.dWi(t)是獨立的標(biāo)準白噪聲,η>0代表噪聲強度,非線性相互作用[40]表示為其中,wα=1/(1+α),α∈(0,1),sign:R→{?1,0,1}是符號函數(shù).F(x)在[?α,α]區(qū)間為0,個體間的相互作用僅由式(3)中的耗散項決定,而在區(qū)間之外,F(x)表示以wα為權(quán)重的速度大小(速率)與以1?wα為權(quán)重的速度方向之和.方程(3)中個體間的相互作用項可以寫為其中1Aij表示節(jié)點i的入度.為了探究網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對運動群體方向切換行為的影響,首先將文獻[45]提出的降維理論框架應(yīng)用到模型(3),即將高維系統(tǒng)壓縮為有效的一維系統(tǒng).具體地,引入算子其中,向量l=(1,...,1)T,V=(V1,...,VN)T,s=∑Aij是節(jié)點j的出度.算子L以速度向量V作為輸入,并產(chǎn)生與平均群體速度?V(t)?不同的輸出.具體地,該輸出通過計算V中各分量速度的加權(quán)平均值得到,其中權(quán)重由各分量對應(yīng)的出度決定.對于度相關(guān)性較小的網(wǎng)絡(luò),假設(shè)與個體i有相互作用的節(jié)點j的速度Vj等于群體的有效平均速度L(V),即/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期415進一步地,模型(3)可以寫成如下形式:改寫成向量形式為其中sin=(sn,...,s)?代表加權(quán)入度向量,W=(W1,...,WN)?,為了便于計算,假設(shè)W的各分量相同,?表示Hadamard積,a?b=(a1b1,...,aNbN)?.將算子L作用到方程(4)兩端,根據(jù)L的線性以及L(a?b)≈L(a)L(b)[45],可以得到因此,高維的復(fù)雜系統(tǒng)(3)可以簡化為有效的一維系統(tǒng),如下:其中,Ve?=L(V)是群體的有效平均速度,βe?=L(sin)=?soutsin?/?s?代表社交相互作用的復(fù)合效應(yīng).因此,通過模型的簡化,N2個微觀元素Aij的變化可由相應(yīng)的宏觀參數(shù)βe?的變化說明.將方程(3)映射到一維簡化方程,使我們能基于低維系統(tǒng)開發(fā)的理論工具分析方向切換行為.為了探究社交網(wǎng)絡(luò)拓撲對模型(3)方向切換行為的影響,我們分析一維隨機微分方程(5).假設(shè)P(ν,t)表示由方程(5)定義的隨機過程的概率密度函數(shù),有效平均速度Ve?(t)∈[v,v+dv)的概率分布可由P(ν,t)dν表示.概率密度P(ν,t)滿足Fokker-Planck方程[46]:假設(shè)Pst(ν)=limt→∞P(ν,t)是Ve?(t)的穩(wěn)態(tài)概率分布,則limt→∞P(ν,t)=0.因此,在Fokker-Planck方程(6)兩端令t→∞,可得到因此,可以得到其中,C為歸一化常數(shù),滿足條件Pst(ν)dν=1,?(ν)為勢函數(shù).則(10)當(dāng)|ν|>α?xí)r,/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期416則記L=exp([WαQ2+2(1?Wα)Q]),C′=LC,則有因此,概率密度函數(shù)Pst(ν)在整個實數(shù)域上的積分為纟I1+I2+I3.為了估計參數(shù)C值,分別計算I1,I2和I3.對于I1,令ν′=√ν,則dν′=√變量替換可得其中,Φ(兒)表示標(biāo)準正態(tài)分布的分布函數(shù)該分布函數(shù)在兒=0處的泰勒(Taylor)展開式為兒=兒.對于I2,引入變量ν′′=√則根據(jù)Φ(兒)在兒=0處的泰勒展開式,I2可近似為/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期417對于I3,令ν′′′=√,則dν′′′=√可得根據(jù)Φ(兒)在兒=0處的泰勒展開式,I1+I3可近似為將式(17)和(19)帶入式(14)可得由概率密度函數(shù)的歸一化條件Pst(ν)dν=1可得因此,穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為(19)(20)(21)其中,C′=LC,L=exp進一步地,計算粒子從一個有效勢阱跳躍到另一個有效勢阱的平均切換時間.具體來說,假設(shè)粒子初始位于(?∞,0]的勢阱中,T(ν)是指粒子首次逃離該勢阱的時間.T(ν)滿足以下方程[47]:假設(shè)邊界條件為T(0)=0且limν→+∞T′(ν)=0(在0處吸收,在+∞反射).有效勢阱在ν→?1時接近最小值,在ν→0時接近最大值ν2.因此,當(dāng)N>1時可以得到/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期418為了計算上式中的積分值,引入高斯(Gauss)誤差函數(shù)和虛部誤差函數(shù):對于第一個積分,設(shè)t=√則對于第二個積分,設(shè)v1=√則因此,T(ν)的估計為顯然,平均首次通過時間與MST相同.從式(23)中看出,MST與群密度N,網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)參數(shù)βe?和非線性相互作用參數(shù)α有關(guān).對于無向網(wǎng)絡(luò),βe?=表示網(wǎng)絡(luò)拓撲的度異質(zhì)性,MST不僅依賴考慮模型(3)在兩個經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)模型的方向切換行為:Erd¨os-R′enyi隨機圖和小世界圖.1969年,Erd¨os和R′enyi提出了Erd¨os-R′enyi隨機網(wǎng)絡(luò),是一種經(jīng)典的隨機圖模型[48].隨后,小世界網(wǎng)絡(luò)模型由Watts和Strogatz于1998年提出,其有兩個重要的結(jié)構(gòu)特征:高聚類系數(shù)和短平均路徑長度[49].接下來,主要討論這兩種網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和非線性相互作用對方向切換行為的影響.本節(jié)主要探究Erd¨os-R′enyi網(wǎng)絡(luò)中的方向切換行為[48].通過在不同的群密度N下對模型(3)進行數(shù)值模擬,探究N對群體方向切換行為的影響.其中,數(shù)值模擬結(jié)果由二階隨機Runge-Kutta方法得到[50].群密度對方向切換行為的影響在圖1(a)~(c)中給出,從圖中可以看出,群體可向相反方向切換速度,即從Ve?<0切換到Ve?>0,反之亦然.事實上,群密度越低,群體越頻繁地切換方向.此外,群密度對MST的影響分別在圖1(d)和(e)中給出.圖1(d)顯示了MST在不同α下隨N的變化曲線,在給定α?xí)r,MST隨著N的增加而增加.圖1(e)給出了MST在不同(s〉下隨N的變化曲線,(s〉一定時,N越大,MST越大.從圖中我們得到,群密度N的增加會抑制群體的方向切換行為.接下來,從另一個角度探究網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和非線性參數(shù)對方向切換行為的影響.圖2給出了概率密度函數(shù)Pst在不同參數(shù)組下的變化曲線,其中曲線表示由方程(21)得到的理論結(jié)果,實心圓表示由/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期419圖1(網(wǎng)絡(luò)版彩圖)群密度N對模型(3)群體方向切換行為的影響.不同群密度N下平均有效速度Ve?隨時間的變化曲線,(a)N=200,(b)N=400和(c)N=600,其他參數(shù)?s〉=10,α=0.2.(d)對于不同的α值,MST隨N的變化曲線,?s〉=5.(e)對于不同的?s〉值,MST作為N的函數(shù),α=0.2.噪聲強度η=10.Figure1(Coloronline)E?ectofgroupdensityonthedirectionalswitchingbehaviorwithintheframeworkofmodel(3).Thetimeevolutionofthee?ectiveaveragevelocityVe?forvaryinggroupsizes:(a)N=200,(b)N=400,and(c)N=600.Otherparametersare(s〉=10,Q=0.2.(d)TheMSTasafunctionofgroupsizeforarangeofQvalues,with(s〉=5.(e)TheMSTasafunctionofgroupsizeforavarietyofsvalues,withQ=0.2.Thenoiseintensityissetasη=10.圖2(網(wǎng)絡(luò)版彩圖)穩(wěn)態(tài)概率密度Pst隨ν的變化圖,其中曲線表示由方程(21)得到的Pst的理論結(jié)果,實心圓表示由蒙特卡洛模擬得到的數(shù)值結(jié)果.(a)α=0.2和?s〉=10固定,變化N;(b)N=100和?s〉=5固定,變化α;(c)α=0.2和N=100固定,變化?s〉.噪聲強度η=10.Figure2(Coloronline)StationaryprobabilitydensityPstasafunctionofv,withthetheoreticalresultsobtainedfrom(21)representedbycurves,andthesimulationresultsobtainedbasedontheMonteCarlomethod,depictedby?lledcircles.(a)Fordi?erentgroupsizesN,withQ=0.2and(s〉=10?xed;(b)foravarietyofQvalues,withN=100and(s〉=5?xed;(c)fordi?erentvaluesof(s〉,withQ=0.2andN=100?xed.Thenoiseintensityisη=10.蒙特卡洛(MonteCarlo)模擬方程(3)得到的數(shù)值結(jié)果,理論結(jié)果和數(shù)值結(jié)果一致,說明降維方法和理論推導(dǎo)合理.從圖中可以看出Pst有3個局部最大值:v=±1和v=0.圖2(a)給出了不同群密度N下Pst的變化圖,從圖中可以看出,Pst在v=±1的取值最大,且N越大,Pst值越大.結(jié)果表明,群體的平均有效速度主要落在v=±1勢阱內(nèi),且群密度越大,群體落在v=±1的概率越大,即群體越不容易發(fā)生方向切換行為.圖2(b)給出了非線性參數(shù)α對Pst的影響.從圖中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)α較小時,群體的平均有效速度落在v=±1勢阱的概率比落在v=0勢阱的概率大.隨著α的增加,群體的/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期420圖3(網(wǎng)絡(luò)版彩圖)非線性參數(shù)對模型(3)群集行為的影響.模型(3)平均有效速度的時間序列,在不同的非線性參數(shù)值下,(a)α=0.1,(b)α=0.5和(c)α=0.8,其他參數(shù)N=100,(s〉=5.(d)對于不同N值,MST隨α的變化曲線,(s〉=5.(e)對于不同(s〉值,MST作為α的函數(shù),N=100.噪聲強度η=10.Figure3(Coloronline)In?uenceofnonlinearparametersonthecollectivebehaviorofmodel(3).Timeseriesofaveragee?ectivevelocityofmodel(3)forarangeofnonlinearparametervalues:(a)Q=0.1,(b)Q=0.5,(c)Q=0.8,otherparametersN=100,(s〉=5.(d)TheMSTasafunctionofQfordi?erentvaluesofN,(s〉=5.(e)TheMSTvarieswithQfordi?erentvaluesof(s〉,N=100.Thenoiseintensityisη=10.平均有效速度落在v=±1勢阱的概率先增大后減小,而落在v=0勢阱的概率逐漸增大.當(dāng)α增加到某臨界值時,群體的平均有效速度落在v=0勢阱的概率高于落在v=±1勢阱的概率.圖2(c)給出了不同平均度〈s〉下Pst的變化,群體的平均有效速度主要落在v=±1勢阱內(nèi),且〈s〉越大,落在v=±1勢阱的Pst越大,即方向切換行為越不容易發(fā)生.研究結(jié)果表明,群密度N和平均度〈s〉的增加能抑制方向切換行為的發(fā)生,而非線性參數(shù)α的增加先抑制后促進群體發(fā)生方向切換行為.接下來,探究非線性參數(shù)α對方向切換行為的影響.圖3(a)~(c)展示了在不同α值下,模型(3)的平均有效速度隨時間的演化軌跡.從圖中可以觀察到,當(dāng)α=0.1時,群體的平均有效速度主要集中在v=±1勢阱,群體在v=±1勢阱內(nèi)表現(xiàn)出有序的方向切換行為.隨著α的增加,當(dāng)α=0.5時,群體的平均有效速度落在v=0勢阱的概率增大,而落在v=±1勢阱的概率減小.這一變化表明,群體的方向切換行為不僅發(fā)生在v=0勢阱領(lǐng)域內(nèi),也涉及不同勢阱間的轉(zhuǎn)換.隨著α的進一步增加,即當(dāng)α=0.8時,群體的平均有效速度主要集中在v=0勢阱內(nèi),群體在v=0勢阱的鄰域內(nèi)展現(xiàn)出無序的方向切換行為.根據(jù)非線性相互作用機制,F在區(qū)間[-α,α]內(nèi)取值為0.隨著α的增加,個體j的速度Vj落在此區(qū)間的概率也隨之增大,此時個體間的相互作用在很大程度上由模型(3)中的擴散項主導(dǎo).在區(qū)間[-α,α]外,隨著α的增加,個體間的線性相互作用減弱,而非線性相互作用增強.因此,隨著非線性參數(shù)的增加,群體的方向切換行為逐漸從有序變得無序.圖3(d)描繪了在不同N值下,MST隨α的變化曲線.從圖中可以發(fā)現(xiàn),隨著α的增加,MST先增加到最大值,然后開始減小.此外,對于給定的α值,MST隨N的增加而增大.圖3(e)呈現(xiàn)了在不同〈s〉下,MST隨α的變化曲線.從圖中可以觀察到,〈s〉越大,MST越大,而固定〈s〉時,MST隨著α的增加先增加后減少.這表明非線性參數(shù)α的增加對群體的方向切換行為有雙重影響:當(dāng)α值較小時,α的增加會抑制群體的方向切換行為;然而,隨著α的進一步增加,其能促進方向切換行為的發(fā)生./doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期421圖4(網(wǎng)絡(luò)版彩圖)(a)平均切換時間在不同的N下隨(s〉的變化曲線,α=0.2;(b)平均切換時間在不同的(s〉下隨α的變化曲線,N=200.噪聲強度η=10.Figure4(Coloronline)(a)RelationshipbetweenMSTand(s〉underdi?erentvaluesofN,Q=0.2;(b)MSTevolveswithQfordi?erentvaluesof(s〉,N=200.Thenoiseintensityisη=10.為了探究Erd¨os-R′enyi網(wǎng)絡(luò)平均度對群體方向切換行為的影響,圖4(a)給出了在不同群密度N下MST隨平均度?s?的變化曲線,可以看到MST隨?s?的增加而增加.圖4(b)給出了不同的非線性參數(shù)值α下MST作為?s?的函數(shù),發(fā)現(xiàn)MST隨?s?的增加而增加.結(jié)果表明,網(wǎng)絡(luò)平均度的增加會抑制群體的方向切換行為.因此,Erd¨os-R′enyi網(wǎng)絡(luò)的群密度和平均度以及非線性相互作用在群體的方向切換行為中起著重要作用.4小世界網(wǎng)絡(luò)本節(jié)考慮小世界網(wǎng)絡(luò)中群體的方向切換行為[49].為了探究群密度N、非線性參數(shù)α以及?s?對概率密度函數(shù)Pst的影響,圖5給出了不同參數(shù)組下的Pst,其中曲線表示由方程(21)得到的理論結(jié)果,實心圓表示由蒙特卡洛模擬模型(3)得到的數(shù)值結(jié)果,從圖中可以看到理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果一致.從圖5中可以看出Pst有3個局部最大值v=0和v=±1.圖5(a)給出了不同群密度N下Pst的變化,發(fā)現(xiàn)Pst在v=±1的取值最大,說明群體的平均有效速度主要落在v=±1勢阱內(nèi),且N越大,Pst值越大,即群體越不容易發(fā)生方向切換行為.圖5(b)顯示了不同α下Pst的變化,可以看到當(dāng)α較小時,群體的平均有效速度主要落在v=±1勢阱內(nèi),隨著α的增加,群體的平均有效速度落在v=0勢阱內(nèi)的概率增加,而落在v=±1勢阱內(nèi)的概率先增加后減小,表明非線性參數(shù)α對Pst的影響是非單調(diào)的.圖5(c)給出了不同平均度?s?下Pst的變化,可以看出群體的平均有效速度主要落在v=±1勢阱內(nèi),且?s?越大,Pst值越大,即群體越不容易發(fā)生方向切換行為.接下來,分析群密度N、非線性參數(shù)α和網(wǎng)絡(luò)平均度?s?對方向切換行為的影響.圖6給出了不同參數(shù)對MST的影響.圖6(a)和(b)顯示了MST隨N的變化,分別對應(yīng)3組不同的α和?s?.從圖中可以看到隨著N的增加,MST逐漸增加,表明群體越不容易發(fā)生方向切換行為.圖6(c)和(d)顯示了MST隨α的變化,分別對應(yīng)3組不同的N和?s?.從圖中可以看到隨著α的增加,MST先增加后減少,說明α的增加先抑制群體的方向切換行為,隨后促進方向切換行為.圖6(e)和(f)展示了MST隨?s?的變化,分別對應(yīng)3組不同的N和α.可以看到?s?越大,MST越大,即群體越不容易發(fā)生方向切換行為.通過對比可以發(fā)現(xiàn)群密度、網(wǎng)絡(luò)平均度和非線性參數(shù)在小世界網(wǎng)絡(luò)和Erd¨os-R′enyi網(wǎng)絡(luò)中對群體方向切換行為的影響是類似的./doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期422圖5(網(wǎng)絡(luò)版彩圖)穩(wěn)態(tài)概率密度Pst隨ν的變化圖,其中曲線表示由方程(21)得到的Pst的理論結(jié)果,實心圓表示由蒙特卡洛模擬得到的數(shù)值結(jié)果.(a)α=0.2和(s〉=10固定,變化N;(b)N=100和(s〉=5固定,變化α;(c)α=0.2和N=100固定,變化(s〉.噪聲強度η=10.Figure5(Coloronline)StationaryprobabilitydensityPstasafunctionofv.Thetheoreticalcurves,whichareobtainedfrom(21),arecomparedwithsimulationresultsrepresentedby?lledcircles,whicharegeneratedusingtheMonteCarlomethod.(a)Fordi?erentvaluesofN,withQ=0.2and(s〉=10?xed;(b)fordi?erentvaluesofQ,withN=100and(s〉=5?xed;(c)fordi?erentvaluesof(s〉,withQ=0.2andN=100?xed.Thenoiseintensityisη=10.圖6(網(wǎng)絡(luò)版彩圖)平均切換時間在不同參數(shù)下的變化曲線,其中曲線表示由方程(23)得到.平均切換時間隨N的變化圖:(a)不同α,(s〉=10;(b)不同(s〉,α=0.2.平均切換時間隨α的變化圖:(c)不同N,(s〉=10;(d)不同(s〉,N=200.平均切換時間隨(s〉的變化圖:(e)不同N,α=0.2;(f)不同α,N=200.噪聲強度η=10.Figure6(Coloronline)VariationofMSTunderdi?erentsetsofparameters,wherethecurvesarederivedfrom(23).TheMSTevolveswithN:(a)fordi?erentvaluesofQ,(s〉=10;(b)fordi?erentvaluesof(s〉,Q=0.2.ThevariationofMSTwithQ:(c)fordi?erentvaluesofN,(s〉=10;(d)fordi?erentvaluesof(s〉,N=200.TheMSTasafunctionof(s〉:(e)fordi?erentvaluesofN,Q=0.2;(f)fordi?erentvaluesofQ,N=200.Thenoiseintensityisη=10.5結(jié)論本文研究了鴿群運動的方向切換行為,量化了群密度、非線性相互作用和網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對方向切換行為的影響.特別地,我們以具有社交和非線性相互作用的自驅(qū)動粒子模型為研究對象,其中個體從與其具有較強社交作用的個體中接收信息,并根據(jù)非線性相互作用機制調(diào)整其狀態(tài).為了探究群規(guī)/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期423模、非線性相互作用和網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對MST的影響,首先基于降維理論框架將高維復(fù)雜模型簡化為一維簡單模型,然后基于一維模型,建立了求解具有社交和非線性相互作用系統(tǒng)的MST的理論框架,得到了關(guān)于群密度、非線性參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)拓撲參數(shù)的MST的分析估計.本文主要考慮了Erd¨os-R′enyi網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò).研究發(fā)現(xiàn),由于MST是群密度和網(wǎng)絡(luò)平均度的遞增函數(shù),群密度和網(wǎng)絡(luò)平均度可以抑制群體的方向切換行為.然而,非線性參數(shù)對方向切換行為的影響呈現(xiàn)非單調(diào)性.當(dāng)α較小時,其增加先抑制方向切換行為.但隨著α進一步增加,導(dǎo)致群體運動從有序逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)闊o序,繼而促進方向切換行為的發(fā)生.本文的理論結(jié)果能夠為受鴿群啟發(fā)的無人機集群編隊、協(xié)同控制和路徑優(yōu)化等問題提供借鑒.本文僅考慮了瞬時相互作用,忽略了由有限的通信速度和信息處理時間等因素引起的時滯相互作用.考慮時間延遲的存在對于理解真實系統(tǒng)的動力學(xué)至關(guān)重要.因此,將時滯引入模型,分析其對群體方向切換行為的影響,可能對于揭示真實鴿群方向切換行為的機制具有重要意義.此外,現(xiàn)實中的動物個體間的時間延遲不一定是相同的,但往往隨機分布在某個特定范圍內(nèi),建立理論方法研究具有隨機分布延遲的群體的方向切換行為,是我們未來的研究課題.參考文獻1BiancalaniT,DysonL,McKaneAJ.Noise-inducedbistablestatesandtheirmeanswitchingtimeinforagingcolonies.PhysRevLett,2014,112:0381012BuhlJ,SumpterDJT,CouzinID,etal.Fromdisordertoorderinmarchinglocusts.Science,2006,312:1402–14063JhawarJ,MorrisRG,Amith-KumarUR,etal.Noise-inducedschoolingof?sh.NatPhys,2020,16:488–4934MannRP,PernaA,Str¨ombomD,etal.Multi-scaleinferenceofinteractionrulesinanimalgroupsusingBayesianmodelselection.PlosComputBiol,2013,9:e10029615CuckerF,SmaleS.Emergentbehaviorin?ocks.IEEETransAutomatContr,2007,52:852–8626LiS,BatraR,BrownD,etal.Particleroboticsbasedonstatisticalmechanicsoflooselycoupledcomponents.Nature,2019,567:361–3657YatesCA,ErbanR,EscuderoC,etal.Inherentnoisecanfacilitatecoherenceincollectiveswarmmotion.ProcNatlAcadSciUSA,2009,106:5464–54698SunY,LiW,LiL,etal.Delay-induceddirectionalswitchesandmeanswitchingtimeinswarmingsystems.PhysRevRes,2022,4:0330549Herbert-ReadJE,PernaA,MannRP,etal.Inferringtherulesofinteractionofshoaling?sh.ProcNatlAcadSciUSA,2011,108:18726–1873110RosenthalSB,TwomeyCR,HartnettAT,etal.Revealingthehiddennetworksofinteractioninmobileanimalgroupsallowspredictionofcomplexbehavioralcontagion.ProcNatlAcadSciUSA,2015,112:4690–469511VicsekT,Czir′okA,Ben-JacobE,etal.Noveltypeofphasetransitioninasystemofself-drivenparticles.PhysRevLett,1995,75:1226–122912WuC,DongJG.E?ectsoftimedelayonCucker-Smale?ockingunderhierarchicalleadership.IEEETransAutomatContr,2023,69:1812–181713DongJG.Flockswithnonlinearinherentdynamicsunder?xedandswitchingdigraphs.SIAMJApplDynSyst,2024,23:1242–127114Olfati-SaberR,MurrayRM.Consensusproblemsinnetworksofagentswithswitchingtopologyandtime-delays.IEEETransAutomatContr,2004,49:1520–153315WangL,GuoL.Robustconsensusandsoftcontrolofmulti-agentsystemswithnoises.JSystSciComplex,2008,21:406–41516LiuXK,ZhangJF,WangJ.Di?erentiallyprivateconsensusalgorithmforcontinuous-timeheterogeneousmulti-agentsystems.Automatica,2020,122:10928317WuJK,WangYF,ShenZK,etal.Distributedmultilanemergingforconnectedautonomousvehicleplatooning.SciChinaInfSci,2021,64:21220218LiG,WangL.Adaptiveoutputconsensusofheterogeneousnonlinearmultiagentsystems:adistributeddynamiccompensatorapproach.IEEETransAutomatContr,2023,68:2483–248919LiD,LiT.Cooperativeoutputfeedbacktrackingcontrolofstochasticlinearheterogeneousmultiagentsystems.IEEETransAutomatContr,2023,68:47–62/doi/10.1360肖瑞等中國科學(xué):信息科學(xué)2025年第55卷第2期42420ZhaoL,DaiH,YangC,etal.Tradeo?betweentimeandenergycostsforcontrollingstochasticcoupledneuralnetworks.IEEETransAutomatContr,2024,69:1112–111821FengZ,HuG,DongX,etal.AdaptivelydistributedNashequilibriumseekingofnoncooperativegamesforuncertainheterogeneouslinearmulti-agentsystems.IEEETransNetwSciEng,2023,10:3871–388222WuX,WuX,WangCY,etal.Synchronizationinmultiplexnetworks.PhysRep,2024,1060:1–5423ZhangR,ZhangY,ZongX.Bipartitecontainmentofmulti-leadermulti-agentsystemswithantagonisticinformationandmeasurementnoise.IEEETransCircSystI,2024,71:4199–421024LiY,WangX,SunJ,etal.Self-triggeredconsensuscontrolofmultiagentsystemsfromdata.IEEETransAutomatContr,2024,69:4702–470925LiT,ZhangR,LiuZ,etal.ControllabilityofnetworkedmultiagentsystemsbasedonlinearizedTuring’smodel.Automatica,2024,162:11150726XueM,TangY,RenW,etal.Practicalconsensustrackingofasynchronouslyswitchedmultiagentsystems.IEEETransAutomatContr,2024,69:7758–777227YangX,ZhangX,CaoJ,etal.Observer-basedadaptivefuzzyfractionalbacksteppingconsensuscontrolofuncertainmultiagentsystemsviaevent-triggeredscheme.IEEETransFuzzySyst,2024,32:3953–396728DengJ,WangFY,LiuZX,etal.Fullydistributedconsensuscontrolforsecond-ordermulti-agentsystemsbasedonadaptivedynamicclockcommunication.SciSinInform,2023,53:97–110[鄧甲,王付永,劉忠信,等.基于自適應(yīng)動態(tài)時鐘通信的二階多智能體系統(tǒng)完全分布式一致性.中國科學(xué):信息科學(xué),2023,53:97–110]29ZhangC,WuYM,XuM,etal.Resilientconsensuscontrolofmulti-agentsystemsunderprivacyprotection.SciSinInform,2024,54:927–943[張沖,伍益明,徐明,等.隱私保護下的多智能體系統(tǒng)彈性一致性控制.中國科學(xué):信息科學(xué),2024,54:927–943]30LiGS,ChouWS.Pathplanningformobilerobotusingself-adaptivelearningparticleswarmoptimization.SciChinaInfSci,2018,61:05220431BoP,XieG,QuF.Sphericalformationcontrolofmobiletargetbymulti-agentsystemswithcollisionavoidance:alimit-cycle-baseddesignapproach.Neurocomputing,2023,561:12679532B′eerA,IlkanaivB,GrossR,etal.Aphasediagramforbacterialswarming.CommunPhys,2020,3:6633NagyM,V′as′arhelyiG,PettitB,etal.Context-dependenthierarchiesinpigeons.ProcNatlAcadSciUSA,2013,110:13049–1305434AttanasiA,CavagnaA,CastelloLD,etal.Informationtransferandbehaviouralinertiainstarling?ocks.NatPhys,2014,10:691–69635VicsekT,ZafeirisA.Collectivemotion.PhysRep,2012,517:71–14036ChenC,LiuS,ShiX,etal.Weaksynchronizationandlarge-scalecollectiveoscillationindensebacterialsuspensions.Nature,2017,542:210–21437ShenYK,DuanHB,DengYM,etal.Veri?cationofaUAVswarm?ightsimulatingthepassiveinertialemergencyobstacleavoidancebehaviorofapigeon?ock.SciSinInform,2019,49:1343–1352[申燕凱,段海濱,鄧亦敏,等.仿鴿群被動式慣性應(yīng)急避障的無人機集群飛行驗證.中國科學(xué):信息科學(xué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