高中數(shù)學(xué)第7課時(shí)不等式的證法省公開課一等獎(jiǎng)新課獲獎(jiǎng)?wù)n件

古時(shí)候有個(gè)人叫王戎，7歲那年某天，他和小搭檔在路邊玩，看見一顆李子樹上果實(shí)多得把樹枝都快壓斷了，小搭檔們都跑去摘，只有王戎站著沒動(dòng).他說(shuō):“李子是苦，我不吃.”小搭檔摘來(lái)一嘗，李子果然苦得沒法吃.小搭檔問(wèn)王戎:“這就怪了!你又沒吃怎么知道李子是苦啊?”王戎說(shuō):“假如李子是甜，樹長(zhǎng)在路邊，李子早就沒有了，李子現(xiàn)在還這么多，所以啊，李子必定是苦，不好吃!”王戎推斷李子是苦澀道理和你方法一樣嗎?是什么方法?第7課時(shí)不等式證法（二）1/37預(yù)學(xué)1:反證法(1)反證法在證實(shí)過(guò)程中，先假設(shè)要證命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確推理，得到和命題條件(或已證實(shí)定理、性質(zhì)、顯著成立事實(shí)等)矛盾結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證實(shí)原命題成立.我們把這種方法稱為反證法.2/37前面比較法、綜正當(dāng)、分析法都是直接證實(shí)命題，屬于直接證法，而反證法是經(jīng)過(guò)說(shuō)明假設(shè)不成立來(lái)證實(shí)原命題成立，屬于間接證法.3/37(2)反證法適應(yīng)題目類型反證法主要適適用于以下兩種情況:①結(jié)論和條件之間聯(lián)絡(luò)不顯著，直接證實(shí)線索不清楚，難以入手；②直接從正面證實(shí)需要分各種情形進(jìn)行分類討論，而反面只需研究一個(gè)情形或極少幾個(gè)情形.如否定型命題，唯一性命題，至多、最少型命題等普通適適用反證法.4/37想一想:用反證法證實(shí)“已知a3＋b3＝2，求證:a＋b≤2”時(shí)假設(shè)為

，得出矛盾為

.

【答案】a＋b＞2

a3＋b3＞2(或a3＋b3＜2)5/37預(yù)學(xué)2:利用反證法證實(shí)不等式步驟第一步:分清欲證不等式所包括條件和結(jié)論；第二步:做出與所證不等式相反假定；第三步:從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用正確推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果原因，在于開始所做出假定不正確，于是原證不等式成立.6/37

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8/37預(yù)學(xué)3:放縮法放縮法就是將要證不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小)，使之得出顯著不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大小傳遞性，使不等式得到證實(shí)方法.這種方法是證實(shí)不等式慣用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)課時(shí)用處更廣泛.9/37

10/37【解析】第一個(gè)不等式成立原因是將每一個(gè)分?jǐn)?shù)分母減小，從而分?jǐn)?shù)值增大，第二個(gè)與第三個(gè)等號(hào)成立原因是應(yīng)用了裂項(xiàng)相消法，第四個(gè)不等式成立原因是進(jìn)行了放縮.11/37

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18/37【方法指導(dǎo)】(1)依據(jù)函數(shù)f(x)解析式，分別將x＝1，2，3代入求得f(1)，f(3)，f(2)值，進(jìn)而求得f(1)＋f(3)－2f(2)值；(2)“最少有一個(gè)大于”反面情況較簡(jiǎn)單，比較方便證實(shí)，故從反面進(jìn)行證實(shí)，即使用反證法.19/37

20/37變式訓(xùn)練1、已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證:a，b，c＞0.【解析】假設(shè)a＜0，∵abc＞0，∴bc＜0.又a＋b＋c＞0，∴b＋c＝－a＞0.∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，與題設(shè)矛盾.若a＝0，則與abc＞0矛盾，∴必有a＞0.同理可證:b＞0，c＞0.21/37

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33/371.反證法是經(jīng)過(guò)證實(shí)原命題等價(jià)命題從而證實(shí)原命題.其主要步驟是:提出假設(shè)——推出矛盾——必定結(jié)論.當(dāng)一個(gè)命題，正難則反，直接證實(shí)東西較少、較抽象、較困難時(shí)，其反面常會(huì)較多、較詳細(xì)、較輕易.2.反證法中常見矛盾形式(1)與已知條件即題設(shè)矛盾；(2)與假設(shè)即反設(shè)矛盾；(3)與已知定義、公理和定理矛盾，即得出一個(gè)恒假命題；(4)自相矛盾.34/373.放縮法注意事項(xiàng):當(dāng)要證實(shí)不等式中含有分式時(shí)，我們把分母放大，則對(duì)應(yīng)分式值縮小，反之，若把分母縮小，則分式值放大，這是一個(gè)慣用放縮方法.放縮法放大或縮小程度不是唯一，假如用某種放大方法能夠得到欲證結(jié)論，那么比此放大更“精細(xì)”放大就應(yīng)該更能得到所需結(jié)論.不過(guò)普通來(lái)講，這種“風(fēng)險(xiǎn)”和“難度”是成正比，放得越寬，能否證出命題“風(fēng)險(xiǎn)”越大，但相對(duì)放大“難度”就越低；反之，放大越精細(xì)，那么能證出最終止論可能性越大，不過(guò)“難度”也相對(duì)增大，這其中平衡就需要從大量練習(xí)中去把握.35/37用反證法證實(shí)命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0最少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做假設(shè)是(

).A.方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B.方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根【解析】因?yàn)椤?/p>