第04講 直線的斜率與傾斜角（四大題型）（解析版）

第04講直線的斜率與傾斜角【題型歸納目錄】題型一：直線的傾斜角與斜率定義題型二：斜率與傾斜角的變化關系題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)題型四：直線與線段相交關系求斜率范圍【知識點梳理】知識點一：直線的傾斜角平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識點詮釋：1、要清楚定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．2、從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的角．3、傾斜角的范圍是．當時，直線與x軸平行或與x軸重合．4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應．5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．知識點二：直線的斜率1、定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識點詮釋：（1）當直線與x軸平行或重合時，，；（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直線的傾斜角與斜率之間的關系由斜率的定義可知，當在范圍內時，直線的斜率大于零；當在范圍內時，直線的斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應關系，且在和范圍內分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．知識點三：斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．知識點詮釋：1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：（1）當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；（4）當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：（1）由、點的坐標求的值；（2）已知及中的三個量可求第四個量；（3）已知及、的橫坐標（或縱坐標）可求；（4）證明三點共線．【典例例題】題型一：直線的傾斜角與斜率定義【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線l的傾斜角為（）

A．60° B．120°C．30° D．150°【答案】D【解析】由題圖易知l的傾斜角為45°＋105°＝150°．故選：D【對點訓練1】（2023·高二課時練習）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數(shù)為2.故選：B.【對點訓練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經過兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【解析】直線經過兩，，．又直線的傾斜角為，斜率一定存在，則直線的斜率為，即．故選：C．題型二：斜率與傾斜角的變化關系【例2】（2023·高二課時練習）若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調遞增，故，所以.故選：C【對點訓練3】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線過，兩點，且傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線過，兩點，且傾斜角為，所以，解得，故選：C.題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)【例3】（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）經過點的直線的斜率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由斜率公式可得：，則經過點的直線的斜率為2故選：D【對點訓練4】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎本€斜率等于，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設該直線的傾斜角為，則由，得，又，所以.故選：D.【對點訓練5】（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知，，三點共線，則實數(shù)（

）A．10 B．4 C．－4 D．－10【答案】A【解析】由題可得：，故選：A題型四：直線與線段相交關系求斜率范圍【例4】（2023·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習）已知點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直線的斜率分別為,結合圖形可知：直線過點且與線段相交時，，故選：B【對點訓練6】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】過點作，垂足為點，如圖所示：設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.【對點訓練7】（2023·廣東肇慶·高二?？计谥校┮阎獌牲c，過點的直線與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意：如下圖所示：所以，，則，若直線的傾斜角，則，所以，故選：.【真題演練】1．（1995·全國·高考真題）圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象可得，，故選：C2．（2004·浙江·高考真題）直線與直線的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，兩條直線的夾角為，故選：A3．（2006·北京·高考真題）若三點，，，（）共線，則的值等于___________.【答案】/0.5【解析】由題知，直線的斜率存在，由三點共線可知.由得：，即，又，∴.故答案為：【過關測試】一、單選題1．（2023·高二課時練習）直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，直線的斜率為，設直線的傾斜角為，即.故選：D.2．（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設直線的傾斜角分別為，由題圖知，直線的傾斜角為鈍角，.又直線的傾斜角均為銳角，且，，.故選：D.3．（2023·吉林白城·高二統(tǒng)考期末）已知直線經過，兩點，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設直線的傾斜角為，則，又，所以．故選：C．4．（2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】設直線的傾斜角為，因為，所以，當時，即，則；當時，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：C.5．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）設直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A6．（2023·北京·高二北師大實驗中學?？计谥校┮阎本€的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【解析】由直線的斜率為，設其傾斜角為，則，由直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，設直線的傾斜角為，則，，，解得或，由傾斜角的取值范圍為，則，故直線的斜率為.故選：C.7．（2023·安徽黃山·高二屯溪一中統(tǒng)考期末）設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，則當斜率時，由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質可知：直線的傾斜角的取值范圍為.故選：D8．（2023·湖南懷化·高二?？茧A段練習）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設直線交線段于點，記點，如下圖所示：當直線從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，此時直線的斜率；當直線從點運動到點（不包括點）時直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，此時直線的斜率.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：C.二、多選題9．（2023·福建泉州·高二?？茧A段練習）若直線l經過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則直線l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】令點，依題意，直線l與x軸的交點在線段上（不含端點B，C），如圖，直線斜率，直線斜率，因此直線l的斜率或，所以直線l斜率的取值可能是或1.故選：BC10．（2023·湖南郴州·高二?？计谥校┰谙铝兴膫€命題中，錯誤的有（）A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為【答案】ACD【解析】對于A，傾斜角為的直線斜率不存在,所以A錯誤;對于B,直線的傾斜角的取值范圍為,所以B正確;對于C,因為且，所以,所以C錯誤;對于D,傾斜角為的直線斜率不存在,所以D錯誤.故選：ACD11．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）在中，若直線的斜率為，則角大小為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題可知直線的斜率為，設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，則，所以或故選：BC12．（2023·高二課時練習）直線l過點且斜率為k，若直線l與線段AB有公共點，，，則k可以取（

）A．－8 B．－5 C．3 D．4【答案】AD【解析】由于直線l過點且斜率為k，與連接兩點，的線段有公共點，則，，由圖可知，時，直線與線段有交點，根據選項，可知AD符合．故選：AD．三、填空題13．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中學?？计谀┮阎本€l經過點．直線l的傾斜角是___________．【答案】/【解析】因為過兩點的直線的斜率為：，因為，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線（為常數(shù)）的傾斜角的取值范圍是______．【答案】【解析】因為直線（為常數(shù)）的斜率為，所以直線的傾斜角滿足，因為，所以或，即直線的傾斜角的取值范圍是.故答案為：15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為________．【答案】【解析】由題意知，所以，即，化簡得，解得或當時，重合，不符合題意舍去，當時，，符合題意，所以，故答案為：16．（2023·高二課時練習）如圖，已知兩點，過點的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．

【答案】【解析】根據圖形，∵直線的斜率是，直線的斜率是，∴過點的直線與線段有公共點時，直線的斜率的取值范圍是．故答案為：．四、解答題17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC（包括端點）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．【解析】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，直線AC的斜率，故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.（2）如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，直線AD的斜率由增大到，所以直線AD的斜率的變化范圍是．

18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍．【解析】（1）因為，，所以因為直線與線段有公共點，所以由圖可知直線的斜率滿足或，所以直線的斜率的取值范圍是．

（2）由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，因為直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，所以的取值范圍是．19．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學?？茧A段練習）已知坐標平面內三點A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．【解析】（1）由斜率公式得：，因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，∴直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為；（2）如圖，當直線CD由CA逆時針旋轉到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由增大到，∴k的取值范圍為，傾斜角α的取值范圍為．20．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）判斷下列三點是否在同一條直線上：(1)；(2).【解析】（1）因為，，所以，所以A，B，C三點不在同一條直線上.（2）因為，，所以.又直線DE與直線DF有公共點D，所以D，