統(tǒng)計物理學(xué)課件第九章系綜理論

第九章系綜理論§9.1相空間劉維定理（1）相空間

對于經(jīng)典系統(tǒng),系統(tǒng)在t刻的運(yùn)動由廣義坐標(biāo)qi(t)動量pi(t)唯一確定.

如果一個粒子的自由度是r,則N個粒子系統(tǒng)的自由度為

f=Nr

或

(qi,pi)可以理解為2f-維空間的一點(diǎn),這個空間叫相空間.（2）劉維定理

系統(tǒng)的瞬時演化,又叫相空間的運(yùn)動軌跡,遵從哈密頓正則方程

在孤立系統(tǒng)中,哈密頓量不是時間的顯函數(shù),總能量:能量曲面由(9.1.2)確定.能量曲面上的一個確定點(diǎn)與系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)對應(yīng).相空間和體積元可寫為t

時間內(nèi)這個體積元內(nèi)的點(diǎn)數(shù)由下式?jīng)Q定有若在時刻t

系統(tǒng)在一個確定的態(tài)qi,pi,在時間間隔內(nèi),系統(tǒng)演化到另一微觀態(tài)qi

+dqi,pi+dpi.沿著相空間軌道,相空間密度隨時間變化.一般來說,瞬時變化可表達(dá)為,

此處我們將看到設(shè)dΩ由2f

平面為邊界構(gòu)成dt這個平面內(nèi)點(diǎn)子的增加數(shù)為

dΩ在平面qi

上的邊界面積為在dt

內(nèi)通過平面qi進(jìn)入dΩ

的點(diǎn)是以dA

為底為高的柱體內(nèi)的點(diǎn):類似地,通過平面qi+d

qi

跑出dΩ的點(diǎn)是過qi

和qi+d

qi

一對平面的凈點(diǎn)數(shù)為

同樣,通過一對平面pi

和pi+d

pi的代表點(diǎn)為于是有由正則方程

得到將此式代入(9.1.5),便得到如果隨著一個代表點(diǎn)沿正則方程所確定的軌道在相空間運(yùn)動,其鄰域的代表點(diǎn)密度不隨時間改變.稱劉維定理.Liouville’stheorem的另一表達(dá)對(9.1.9)作變換

t

到–t,公式保持不變.劉維定理可逆.

§9.2微正則分布9.2.1經(jīng)典理論

經(jīng)典理論中,可能的微觀態(tài)在相空間構(gòu)成一個連續(xù)分布.權(quán)重函數(shù)ρ

解釋為概率密度,表示系統(tǒng)微觀態(tài)處在相空間某點(diǎn)的概率.

概率密度滿足歸一化條件若B(q,p)是系統(tǒng)的一個微觀量,一般人們可觀測到這個量的平均值.微觀量B在一切的微觀態(tài)上平均值為

(1)統(tǒng)計系綜:大量的結(jié)構(gòu)完全相同且處在相同的宏觀條件下的系統(tǒng)的集合.系綜平均值:即:(9.2.3),量B在系綜上的統(tǒng)計平均值.(3)ρ可以理解為一個系統(tǒng)在(q,p)處的概率,也是系綜在(q,p)處的微觀態(tài)的數(shù)目,或態(tài)密度,表示微觀態(tài)的分布.9.2.2量子理論中

確定系綜分布函數(shù)ρ是系綜理論的根本問題9.2.3在孤立系統(tǒng)中微正則系綜:一個孤立系統(tǒng)的相空間密度,因而也是統(tǒng)計分布函數(shù)在與系統(tǒng)的能量相應(yīng)的等能面上是恒量.在面外是零.這樣的系綜為微正則系綜,分布叫微正則分布.

統(tǒng)計物理的假設(shè)之一就是等幾率原理.

對于一個小的能量ΔE

在經(jīng)典描述下人們設(shè)

等概率原理的量子描述經(jīng)典統(tǒng)計是量子統(tǒng)計的極限.在E

和E+ΔE之間的微觀態(tài)數(shù)

對于含多種粒子的系統(tǒng),推廣為

§9.3微正則分布的熱力學(xué)表達(dá)式

9.3.1微觀態(tài)數(shù)與熵的關(guān)系

孤立系統(tǒng)

A(0)整個系統(tǒng)的總微觀態(tài)數(shù)是

A2N2,E2,V2A1N1,E1,V1

達(dá)極大的條件利用,有讓

有兩個系統(tǒng)達(dá)熱平衡的條件因為得到kis是比例常數(shù).有

9.3.2微正則分布的熱力學(xué)表達(dá)式

根據(jù)類似討論有平衡條件定義有比較下面的公式與有

式(9.1.16)與熱力學(xué)平衡條件相對應(yīng).對于理想氣體與pV=nRT比較,得到

ThisisBoltzmannconstant.

根據(jù)可解出E=E(S,V,N).總的微分可寫為9.3.2理想氣體的例子

在理想氣體情形下首先計算代代替Ω

讓,將得

可以證明因此得到能量在ΔE內(nèi)的粒子數(shù)

對于理想氣體利用上面公式,我們得到將上面式子代入(9.2.26)有關(guān)于(9.3.23)的證明

§9.4正則分布正則分布:具有確定的N,V,T的系統(tǒng)分布函數(shù)

IsolatedsystemA(0)系統(tǒng)在態(tài)s的概率N,E,VQHeatresource因為,展開為冪級數(shù)而因此(9.4.3)的第一項是常數(shù).

考慮它的歸一化

Z

稱配分函數(shù),若一個系統(tǒng)的能級,Ωl

表示簡并度,就有經(jīng)典表達(dá)式為

§9.5正則分布的熱力學(xué)公式

內(nèi)能(2)廣義力

(3)熵lnZ

的全微分為因此β是dQ

的另一積分因子

(4)能量漲落CV

恒定為正,是熱力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡條件.能量的相對漲落§9.6實際氣體的狀態(tài)方程

9.6.1實際氣體的態(tài)方程

首先討論單原子分子的經(jīng)典氣體.氣體能量為

kineticenergypotentialenergy相互作用勢能項數(shù)

配分函數(shù)寫為如果僅保存第一項,,與理想氣體一致.r

是相對坐標(biāo)取對數(shù)

根據(jù)(9.5.3),氣體的壓強(qiáng)為式(9.6.10)是實際氣體方程的近似表達(dá)式.B

叫第二位力(Virial)系數(shù).9.6.1范德瓦爾斯方程(1)相互作用勢能

In1924,Lennard-Jones利用半經(jīng)驗公式給出兩個分子之間的勢能為簡化計算,采用粗略近似:(2)第二Virial

系數(shù)B

的計算

采用極坐標(biāo)將(9.6.13)代入,得因為,所以

(3)范德瓦爾斯方程這里代入到(9.6.10)可得這便是Vander

Waals’equation.

由于,因此§9.7固體的熱容量

9.7.1按照波的觀點(diǎn)一個系統(tǒng):N

個原子;每個原子的自由度:3;系統(tǒng)的動量:系統(tǒng)的勢能是

是所有原子在平衡位置的相互作用能.因此.

這樣系統(tǒng)的勢能是此處qi

稱為簡正坐標(biāo).3N

個簡正坐標(biāo)的運(yùn)動是獨(dú)立的.根據(jù)量子理論,3N個簡正諧振子的能量是量子化的.ni

是第i個量子數(shù).這里,是固體的結(jié)合能德拜將固體看作連續(xù)彈性介質(zhì),3N

簡正振動是基本波動.cl

和ct

分別表示縱波和橫波的傳播速度.在頻率Δω內(nèi)的簡正數(shù)

讓,有ωD叫Debye

頻率.按照頻譜,系統(tǒng)的內(nèi)能為

讓

叫德拜特征溫度.引進(jìn)德拜函數(shù)

materialsPbAgZnCuCMgO(f.ex)88215308345~1850~850(f.els)73214305332~950討論:在高溫情況下,x<<1,則在低溫下,x>>1,則式(9.7.14)稱為律.ThesolidlinedenotesthefrequencyspectrumofX-raymeasuringforAlbelow300K;ThedottedlinedenotestheDebye

frequencyspectrum.ThesolidlinedenotestheresultofDebyetheory;ThedottedlinedenotestheresultofEinsteintheory;Thecirclelinedenotestheresultofexperiment.9.7.2按粒子的觀點(diǎn)

具有某一偏振的簡正振動能量,波矢為K

可以把簡正振動能量看成一種準(zhǔn)粒子,稱為聲子.其準(zhǔn)動量和能量為這樣縱波聲子和橫波聲子的能量和動量關(guān)系為

溫度為T時處在能量為的態(tài)的平均聲子數(shù)

因此固體的內(nèi)能為一般

GroundenergyElementaryexcitedenergyThenumberofelementaryexcitation§9.8ThePropertyoftheLiquid4HeandLandauSuperfluidityTheoryIsotope:3He,

4HeSpin:?,0Phasediagramof4He

(1)SuperfluidityHeⅡisthemixtureofnormalfluidandsuperfluid(2)ThePropertyofHeⅡ

Thermodynamiceffect

Theeffectofsurfacefilm(3)LandausuperfluiditytheoryThenumberofelementaryexcitationElementaryexcitedenergyGroundenergyTheelementaryexcitedenergy

ofa

phonon(thefirstacoustic)isThelimitedvelocityofsuperflowforphononexcitationisTheelementaryexcitedenergy

ofa

spinoris

Thelimitedvelocityofsuperflowforphononexcitationis(4)Phasediagramof3He§9.9TheMean-FieldTheoryofIsingModelMonaxialanisotropyferromagnet:thespinofatomisinthe(reverse)directioncrystallographicaxis(z),.TheinteractionenergyofatomsofaferromagnetisJisainteractionconstant.Becauseexchangeinteractionexistsdirectlynearestneighbors,itiscountonlyforthenearestatomsinsum.Thespinsystemwhoseinteractionenergyofatomscanbedenotedastheformula(9.9.1)iscalledIsingmodel.AmagneticfieldBpointsthedirectionofz.

Weadoptmean-fieldapproximationTheforceactingonthespiniisTheeffectivemagneticfieldisHere

hasbeenconsidered.Thisisthespinsystemofapproximateindependency.orHere

Themagneticmomentumfollowsthat

Here

When

B=0,Thisisatranscendentalequation.Discussion:(1)When,(2)

When,(3)Thecriticaltemperaturebasedongetsthat