2025高考數(shù)學(xué)專項講義第08講正余弦定理解三角形(學(xué)生版+解析)

第08講正余弦定理解三角形（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第15題,13分正弦定理解三角形余弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用正弦的和差公式2024年新Ⅱ卷，第15題,13分正弦定理解三角形正弦定理邊角互化的應(yīng)用輔助角公式2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用用和、差角的正弦公式化簡、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形數(shù)量積的運算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用2會用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計算問題.3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進(jìn)行綜合考查，需重點復(fù)習(xí)。知識講解正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式考點一、正弦定理邊角互化解三角形1．（2023·全國·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，則.3．（2024·四川涼山·二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則．4．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．1．（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則.3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點在邊上，且，，，求的面積．考點二、利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，則能使同時滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東茂名·三模）（多選）中，角所對的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）（多選）在中，，若滿足條件的三角形有兩個，則邊的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.83．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）（多選）在中，角、、的對邊分別為、、，且已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍是B．若，且，則恰有一解.C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是考點三、余弦定理求值1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．4．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．1．（2021·安徽安慶·二模）在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則（

）A．1 B． C． D．23．（2023·廣東廣州·三模）在中，點D在邊上，，，，，則的長為．4．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.考點四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（22-23高三·吉林白城·階段練習(xí)）已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)△的三邊長為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形3．（22-23高三·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點五、三角形面積的應(yīng)用1．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.2．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．3．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．4．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．1．（2024·北京大興·三模）中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，，.(1)求的大??；(2)若，求的面積.2．（2024·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)證明：.(2)若，，求的面積.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知中，角所對的邊分別為已知.(1)求的取值范圍；(2)求最大時，的面積.4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對邊分別為．(1)求的大??；(2)若，且邊上的中線長為，求的面積．考點六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題1．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在平面內(nèi)的四個動點，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.(1)求面積的取值范圍；(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧大連·一模）在中,(1)求點到邊的距離:(2)設(shè)為邊上一點，當(dāng)取得最小值時，求外接圓的面積.3．（2024·山西晉城·一模）在中，，，．(1)求A的大??；(2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．考點七、雙正弦1．（2024·福建泉州·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，點D是BC上靠近C的三等分點(1)若的面積為，求AD的最小值；(2)若，求．2．（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．(1)求角；(2)若，，求．3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在中，為邊的中點．(1)若，，求的長；(2)若，，試判斷的形狀．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，設(shè).(1)若，求的長；(2)若，求.1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點，.(1)若，求；(2)若，求.3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求A；(2)若，將射線BA和CA分別繞點B，C順時針方向旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點D（如圖所示），且，求AD．考點八、雙余弦1．（2024·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，，．(1)求；(2)若點在邊上，且，，求的面積．1．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.2．（2024·河北·二模）已知中，角的對邊分別為的面積為.(1)若為等腰三角形，求它的周長；(2)若，求.考點九、解三角形中的證明問題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求證：；(2)求的最大值．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．3．（23-24高三上·河南信陽·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．(1)證明：．(2)求的取值范圍．1．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D是邊上一點，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．2．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.3．（23-24高三上·江蘇·開學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F．

(1)試證明：(2)若P為重心，，求的面積．考點十、解三角形中的實際應(yīng)用1．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（

）．A． B． C． D．3．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．1．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護(hù)單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．3．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中，分別為角的對邊，若，，，則（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·重慶·三模）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．三、填空題4．（2024·山東威海·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則，.四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的面積.7．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角C的大小；(2)若，，求的面積．8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.9．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點D，，，求的長.10．（2024·陜西西安·一模）在中，角所對的邊分別為，，.(1)求角；(2)若，求的周長.一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對的邊分別為．若，且邊上的中線長為，則（

）A． B．的取值范圍為C．面積的最大值為 D．周長的最大值為三、填空題4．（2024·湖北武漢·二模）在中，角A，，所對的邊分別為，，，．且，則．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則的最大值為.四、解答題6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，已知且均為整數(shù)．(1)證明：；(2)設(shè)的中點為，求的余弦值．7．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且______．(1)求角的大??；(2)已知，是邊的中點，且，求的長．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為.已知．(1)求；(2)若為的中點，且，求．9．（2023·黑龍江佳木斯·三模）中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求∠A；(2)若，滿足，，四邊形是凸四邊形，求四邊形面積的最大值．10．（2024·河北·二模）若內(nèi)一點滿足，則稱點為的布洛卡點，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點為的布洛卡點，為的布洛卡角．(1)若，且滿足，求的大?。?2)若為銳角三角形．（?。┳C明：．（ⅱ）若平分，證明：．1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則(精確到0.1度)2．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．3．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．4．（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．5．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.6．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：7．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．8．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．9．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．10．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；11．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.1．1．12．（2020·全國·高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.13．（2020·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．14．（2020·北京·高考真題）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．15．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．16．（2020·山東·高考真題）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．17．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．18．（2020·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.19．（2020·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．20．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大第08講正余弦定理解三角形（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第15題,13分正弦定理解三角形余弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用正弦的和差公式2024年新Ⅱ卷，第15題,13分正弦定理解三角形正弦定理邊角互化的應(yīng)用輔助角公式2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用用和、差角的正弦公式化簡、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形數(shù)量積的運算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用2會用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計算問題.3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進(jìn)行綜合考查，需重點復(fù)習(xí)。知識講解正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式考點一、正弦定理邊角互化解三角形1．（2023·全國·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，則.【答案】/【分析】利用正弦定理結(jié)合和角正弦公式可得，進(jìn)而求得，從而有，故，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，所以，即，因為，所以，因為，所以，即,所以.故答案為：.3．（2024·四川涼山·二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則．【答案】【分析】根據(jù)給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計算即得.【詳解】在中，由及正弦定理得：，而，則，整理得，即，又，因此，而，所以.故答案為：4．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為1．（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.【詳解】因為，由正弦定理，因為，展開化簡，又.故選:B.2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡計算可得，由同角的平方關(guān)系可得，結(jié)合正弦定理計算即可求解.【詳解】因為，所以，所以.又，所以，所以.因為，由正弦定理知，所以，又，所以，.故答案為：3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點在邊上，且，，，求的面積．【答案】(1)(2)或【分析】（1）代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；（2）先確定長度，再確定，即可判斷三角形形狀，確定面積．【詳解】（1），由正弦定理可得，，，，，；（2）設(shè)，，，或4，當(dāng)時，，，此時三角形為正三角形，當(dāng)時，，，滿足，此時三角形為直角三角形，．考點二、利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理推出，根據(jù)三角形有兩解，確定角A的范圍，從而結(jié)合的取值范圍求得答案.【詳解】由正弦定理得，所以,因為該三角形有兩解，故,故，即，故選：B2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，則能使同時滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形不唯一的條件進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，則，要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則，即.故選：A.3．（2023·廣東茂名·三模）（多選）中，角所對的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項A；已知條件得出角的關(guān)系，可判斷選項B；化邊為角可判斷選項C；根據(jù)正弦定理可判斷選項D，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于A，若，則，又，所以必有兩解，故A正確；對于B，若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理得：，即，而，故，所以一定為直角三角形，故C正確；對于D，若，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D錯誤.綜上所述，只有AC正確，故選：AC.1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理求出，由，且，可得的取值范圍.【詳解】由正弦定理可得：，所以，所以，因為滿足條件的有兩個，所以，即，所以的取值范圍是故選：D2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）（多選）在中，，若滿足條件的三角形有兩個，則邊的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8【答案】BC【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得：滿足條件的有兩個，可得，故選:BC3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）（多選）在中，角、、的對邊分別為、、，且已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍是B．若，且，則恰有一解.C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)正弦定理，判斷三角形的解的個數(shù)，即可判斷AB，根據(jù)余弦定理和三邊的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】A選項：由正弦定理，，，且，則，選項A正確；選項B：，所以無解，故B錯誤；C選項：①為最大邊：，且，此時；②為最大邊：，且，此時，選項C錯誤；D選項：，且，所以，選項D正確；故選；AD.考點三、余弦定理求值1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.2．（2021·全國·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．3．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．4．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．1．（2021·安徽安慶·二模）在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.【詳解】因為，且，所以，所以，因為，所以，故選：A2．（2024·安徽合肥·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】給兩邊同時乘以，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】因為，兩邊同時乘以得：，由余弦定理可得，則，所以有，又，所以，又因為，所以.故選：A3．（2023·廣東廣州·三模）在中，點D在邊上，，，，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后在中由余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】

由題意，作交于，因為，，，，所以，則，在中，由余弦定理可得，.所以.故答案為：.4．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.考點四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（22-23高三·吉林白城·階段練習(xí)）已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因為，所以，又由及正弦定理，得，化簡得，所以為等邊三角形，故選：B2．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡，根據(jù)余弦定理化簡得到即可得到答案.【詳解】因為，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故選：B3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)△的三邊長為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各邊長為a、b、c且內(nèi)切圓半徑為r，法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有、，根據(jù)邊角關(guān)系可得或，注意討論所得關(guān)系驗證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角形的形狀.【詳解】設(shè)，△的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，

法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，從而得或，∴或．故△為等腰三角形或直角三角形，（1）當(dāng)時，內(nèi)心I在等腰三角形的底邊上的高上，

，從而得．又，代入①式，得，即，上式兩邊同時平方，得：，化簡，即．即△直角三角形，∴△為等腰直角三角形．（2）當(dāng)時，易得．代入②式，得，此式恒成立，綜上，△為直角三角形．法二：利用，及正弦定理和題設(shè)條件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因為為三角形內(nèi)角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，將其代入⑤，得：．變形得，即⑥，由知A為銳角，從而知．∴由⑥，得：，即，從而，．因此，△為等腰直角三角形．（2）若，即，此時③④恒成立，綜上，△為直角三角形．故選：B1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項.【詳解】因為，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形，故選：D.2．（22-23高三·河南商丘·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形【答案】A【分析】根據(jù)題意，先由降冪公式化簡，然后由余弦定理可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，再由余弦定理可知，所以，即，所以△ABC是直角三角形.故選：A3．（22-23高三·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，因為，由正弦定理得，則，則，所以為有一個角為的直角三角形.故選：B.4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用三角恒等變換公式和正弦定理，把中等式化為，從而，得或，然后結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】根據(jù)正弦定理可得，所以所以，即，整理得，則或，因為，，，，則或，即或，所以由不能推出；當(dāng)為等腰三角形時，不一定為，也不一定相等，所以由不能推出，故p是q的既不充分也不必要條件．故選：D考點五、三角形面積的應(yīng)用1．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.2．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．3．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.4．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳解】（1）解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.1．（2024·北京大興·三模）中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，，.(1)求的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知得，結(jié)合正弦定理得得，計算得到的大小.（2）法一：由（1）知，代入求得，結(jié)合余弦定理求得或，最后利用三角形面積公式計算結(jié)果；法二：求出的大小，再利用三角形面積公式即可.【詳解】（1）由已知得，由正弦定理得得，得（2）法一：由（1）知，代入得，由余弦定理得得或①當(dāng)時，②當(dāng)時，法二：代入得∵，∴，或①時，②時，2．（2024·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)證明：.(2)若，，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式計算即可；（2）利用余弦定理及（1）的結(jié)論，三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理知，整理得，因為，所以，由正弦定理可得；（2）因為，所以，由余弦定理可得，即，則，因為，所以，所以，則，即，解得或，當(dāng)時，，此時的面積，當(dāng)時，，此時的面積.所以的面積為或.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知中，角所對的邊分別為已知.(1)求的取值范圍；(2)求最大時，的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合三角形面積公式可得，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系可列不等式求解的范圍；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為，此時，結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由于，所以.由三角形的三邊關(guān)系知:.又，所以；（2）由余弦定理可得，，當(dāng)時取等，又，所以的最大值為，此時.4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對邊分別為．(1)求的大??；(2)若，且邊上的中線長為，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）取的中點，連接，在和中，分別利用余弦定理表示，結(jié)合化簡求出，再利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1），由余弦定理得，化簡得．；（2）由（1）可得①，又②，取的中點，連接，在中，③，由②③得④，由①④得，解得或（舍去），，.考點六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題1．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得外接圓的半徑．【詳解】因為，，，由余弦定理可得：，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，則．故選：B．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在平面內(nèi)的四個動點，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.(1)求面積的取值范圍；(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的性質(zhì)，求的范圍，再根據(jù)余弦定理求的范圍，以及的范圍，最后代入面積公式，即可求解；（2）由余弦定理和有外接圓的四邊形的性質(zhì)，求和，最后代入外接圓面積公式，即可求解.【詳解】（1）由三角形的性質(zhì)可知，，即，且，即，所以，中，，所以，則，，所以面積的取值范圍是；（2）中，，中，，即因為四邊形存在外接圓，所以，即，即，得，，此時，即，由，四邊形外接圓的面積.3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑【答案】(1)1(2)1【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定義可求得的外接圓半徑；（2）由余弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以外接圓半徑．所以.（2）因為，由題可知，所以，又因為，可得，因為．由的面積，得．1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理先求出，結(jié)合同角平方關(guān)系求出，再由正弦定理求出外接圓半徑為，即可得解．【詳解】因為，，，所以，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，則的外接圓的面積．故選：A．2．（2024·遼寧大連·一模）在中,(1)求點到邊的距離:(2)設(shè)為邊上一點，當(dāng)取得最小值時，求外接圓的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，再由面積相等可得結(jié)果；（2）求出的表達(dá)式并利用二次函數(shù)性質(zhì)求得時，，由正弦定理求出外接圓的半徑可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角所對的邊為，即；由余弦定理可得，解得；又的面積；設(shè)點到邊的距離為，因此，解得.點到邊的距離為.（2）如下圖所示：

在中，由余弦定理可得；所以，又，所以，且；因此；易知當(dāng)時，；由可得為正三角形，所以；設(shè)外接圓的半徑為，在中由正弦定理可得，解得；所以外接圓的面積為.3．（2024·山西晉城·一模）在中，，，．(1)求A的大??；(2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內(nèi)切圓半徑.【詳解】（1）由余弦定理得，因為，所以．（2）設(shè)外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．的面積，由，得．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦的二倍角公式結(jié)合兩角和的余弦公式與三角形內(nèi)角關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)化簡可得，再設(shè)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解即可.【詳解】（1）由題意得，即，，故．（2）因為，為內(nèi)切圓半徑，所以．設(shè)，則，又因為，，，，所以三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍為．考點七、雙正弦1．（2024·福建泉州·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，點D是BC上靠近C的三等分點(1)若的面積為，求AD的最小值；(2)若，求．【答案】(1)2(2)．【分析】（1）先通過正弦定理將條件角化邊后化簡整理可得，再利用面積公式求得，進(jìn)而利用余弦定理及基本不等式求最值；（2）設(shè)，則，利用正弦定理將代入角和邊整理計算可得答案.【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：（※），，所以，代入（※）可得：，又因為，所以，由己知得：，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以AD的最小值為2；（2）設(shè)，則．在中，由正弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，即，將上面兩式相比，得：，即．2．（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．(1)求角；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，利用余弦定理求得，即可求解；（2）設(shè)，在和中，利用正弦定理化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，求得的值.【詳解】（1）解：由分別以為邊長的正三角形的面積依次為，則，可得，由余弦定理得，因為，所以.（2）解：設(shè)（其中為銳角），在和中，由正弦定理可得且，于是，又因為，所以，化簡得，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，因為，聯(lián)立方程組，解得，即.3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在中，為邊的中點．(1)若，，求的長；(2)若，，試判斷的形狀．【答案】(1)2；(2)非直角的等腰三角形.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理、余弦定理計算得解.（2）利用正弦定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦化得，再結(jié)合已知即可推理得解.【詳解】（1）依題意，，在中，由正弦定理得，即，解得，則，在中，由余弦定理得，即，所以.（2）由，得，在中，，在中，，又，兩式作商得：，即，則，于是或，而，即，因此，，所以為非直角的等腰三角形.4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，設(shè).(1)若，求的長；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由正弦定理解出，再在中由余弦定理解出即可；（2）在中由正弦定理解出，再在中，由正弦定理解出，由相等關(guān)系得，最后解出即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，即，，因為，所以，解得，則，在中，由余弦定理得：，所以.（2）如圖：由，則，因為，所以在中，由正弦定理知：，，由，因為，所以，，由，，所以在中，由正弦定理知：，由，在中，，所以，所以，又因為，即，所以，即，所以，，所以，故.1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合已知變形，再利用正弦定理邊化角及和差角的正弦推理即得.（2）利用正弦定理結(jié)合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，得，即，由正弦定理，得，即，由，得，則，因此，即，則，所以．（2）由，得，由，得．在，中，由正弦定理，得，則，解得，從而，又，由余弦定理，得，解得，所以BD的長為.2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點，.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2).【分析】（1）在等腰中可得，進(jìn)而得，在中運用正弦定理可求得的值.（2）求出的值，設(shè)，則，在、中，由正弦定理可得、，結(jié)合求解即可.【詳解】（1）如圖所示，

在中，，所以.所以.在中，由正弦定理得，即，解得.（2）如圖所示，

當(dāng)時，.設(shè)，則.在中，由正弦定理得.在中，由正弦定理得.因為，所以，即，整理得，即，解得，即.3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求A；(2)若，將射線BA和CA分別繞點B，C順時針方向旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點D（如圖所示），且，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)三角恒等變形，即可求解；（2）由條件確定幾何圖形中的角的值，再根據(jù)正弦定理和余弦定理求解.【詳解】（1）由正弦定理可知,又因為，所以，且，則，即，所以，因為，，所以，所以；（2）由條件可知，，，且，所以，又，所以，，，且中，，得,中，，得，中，，.考點八、雙余弦1．（2024·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，，．(1)求；(2)若點在邊上，且，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得到，從而有，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，在中，利用余弦定理得到，，在中，利用余弦定理得到，聯(lián)立方程，即可求解.【詳解】（1）因為，又，所以，則，因為，所以，由正弦定理，得，所以．（2）由（1）知，，在中，由余弦定理得①，②，在中，由余弦定理得③，由②③得，化簡得，把①代入得，即，解得，于是的面積.1．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）在、中分別利用余弦定理表示出，再由四點共圓得到，即可求出；；（2）由（1）可得，再由面積公式得到，將兩式平方再相加得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因為四點共圓，所以，因此，上述兩式相加得：，所以（負(fù)值已舍去）.（2）由（1）得：，化簡得，則①，四邊形的面積，整理得，則②①②相加得：，即，由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，此時四邊形的面積最大，由，解得，故四邊形面積的最大值為.2．（2024·河北·二模）已知中，角的對邊分別為的面積為.(1)若為等腰三角形，求它的周長；(2)若，求.【答案】(1)20；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理，結(jié)合三角形面積公式求解即得.（2）按為鈍角和不是鈍角分類，利用余弦定理和正弦定理求解即得.【詳解】（1）由為等腰三角形，得，由余弦定理，則，于是，則，所以的周長為20.（2）在中，，當(dāng)不為鈍角時，，由余弦定理得，，解得，由正弦定理，得，所以，；當(dāng)為鈍角時，，由余弦定理得，，解得，由正弦定理，得，所以.考點九、解三角形中的證明問題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求證：；(2)求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡即可.（2）利用（1），求出，表示出，并進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),進(jìn)而求得最大值.【詳解】（1）由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)，或（舍）,.（2）由，則由（1）問，得：，所以，且又，令，則，所以因為,當(dāng)時，所求的最大值為.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）分別在，，中，利用正弦定理即可得證；（2）設(shè)，則，，在，中，利用正弦定理即可得證.【詳解】（1）如圖．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．所以，所以．（2）因為，所，所以．由可知，均為銳角．由（1）知，．設(shè)，則，．由，得．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．所以．3．（23-24高三上·河南信陽·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．(1)證明：．(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式及正弦的和角公式化簡變形條件結(jié)合角的范圍證明即可；（2）利用（1）結(jié)論及正弦定理、三角恒等變換化簡得，換元利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性求值域即可.【詳解】（1）證明如下：由，則有，所以，因為，所以，則B為銳角．所以，所以或，則或，由題意知，所以，所以．（2）由（1）知，且，由正弦定理，有即令，記，．在上單調(diào)遞增．即．故的取值范圍為．1．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D是邊上一點，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）應(yīng)用正弦定理得、，根據(jù)已知有，將左側(cè)化簡整理為，即可證結(jié)論；（2）由及余弦定理得到，結(jié)合求得，最后應(yīng)用余弦定理求即可.【詳解】（1）

在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理得，則，因為，所以，而．所以，即．（2）由，得，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，，即，整理得，，在中，由余弦定理得，∴，故，即，所以.2．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；（2）（i）在和中，分別應(yīng)用正余弦定理，得出線段之間的等量關(guān)系，結(jié)合角平分線以及分式的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（ii）利用（i）的結(jié)論以及基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因為中，，故，因為，故；（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，

又②，同理在中，③，④，BD是的角平分線，則，則，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，則，即；（ii）因為，故，則由⑤得，則，由以及（i）知，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立，故，即的最大值為.【點睛】難點點睛：本題解答的難點在于的證明，證明時要利用正余弦定理得到涉及到的線段之間的等量關(guān)系，然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行變形，過程比較復(fù)雜，計算量較大，因此要十分注意.3．（23-24高三上·江蘇·開學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F．

(1)試證明：(2)若P為重心，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理及角的互補關(guān)系即可證結(jié)論；（2）由題意為中線，可得，再由、、，求，進(jìn)而求對應(yīng)正弦值，結(jié)合及三角形面積公式求面積.【詳解】（1）中，則，中，則，又則，所以，得證.（2）由是重心，則為中線，又，所以，而，則，所以，可得，且，所以，同理，，可得，，所以，，則.考點十、解三角形中的實際應(yīng)用1．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.【詳解】由題意，而，所以.故選：D3．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．【答案】20【分析】確定每個角的大小，可得均為等腰三角形，在中，設(shè)，通過余弦定理計算即可.【詳解】在中，延長與的延長線交于點E，如圖所示.由題意可知，，因為小李同學(xué)根據(jù)課本書中有一道測量山上松樹高度的題目受此題啟發(fā)，所以三點在同一條直線上.所以，所以為等腰三角形，即.設(shè)，即，，在中，由余弦定理得,即，，所以，又因為，所以.故答案為：.1．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)鐘樓的高度為，根據(jù)相似得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，由，可得：，由，可得：，故，故，故選：D.

2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護(hù)單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．【答案】B【分析】現(xiàn)從四棱錐中提取兩個直角三角形和的邊角關(guān)系，進(jìn)而分別解出兩個三角形邊的長，求出來雁塔AB的高度即可.【詳解】過點作，交于點，在直角三角形中，因為，所以，在直角三角形中，因為，所以，則.故選：B.3．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【分析】設(shè)炮彈第一次命中點為，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理計算可得.【詳解】依題意設(shè)炮彈第一次命中點為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），在中，所以，即炮臺與彈著點的距離為公里.故選：D一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中，分別為角的對邊，若，，，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，，利用兩角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，進(jìn)而求出a的值．【詳解】由，可得，根據(jù)進(jìn)而求出，，由可得，，則，由正弦定理可知，又因為，解得，，由正弦定理可得．故選：B．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求得，進(jìn)而利用三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面積為.故選：A二、多選題3．（2024·重慶·三模）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】由余弦定理得:，即或4，故面積或.故選：AC.三、填空題4．（2024·山東威?！ざ＃┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．【答案】【分析】在中，由余弦定理可得，結(jié)合已知求得，再由正弦定理可求得.【詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，因為，所以，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所以.故答案為：.5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則，.【答案】/【分析】在中，運用正弦定理求得，運用余弦定理求得即可.【詳解】由正弦定理，有，所以，由余弦定理，有，解得.故答案為：，.四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；（2）由余弦定理求出，即可求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，因為，所以，所以.（2）由余弦定理可知，即，所以（負(fù)值舍去），所以.又，所以.7．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角C的大??；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理，即可求解；（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式，得到角和邊的關(guān)系，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1），且，所以；（2）根據(jù)正弦定理，，所以或，當(dāng)時，，，此時，不成立，當(dāng)時，此時，則，的面積.8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形中，將已知條件化簡為，化簡后再根據(jù)求解；（2）由（1）結(jié)果結(jié)合已知條件，根據(jù)余弦定理求出，再利用面積公式求解.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以.因為，所以，所以由，得.因為，所以.（2）由余弦定理知.因為，所以，所以，故的面積.9．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點D，，，求的長.【答案】(1)(2).【分析】（1）由三角形面積公式可得，即可由余弦定理求解，（2）利用等面積法即可求解.【詳解】（1）在中，，而，即，所以，由余弦定理得，所以.（2）在中，由等面積法得，即，即所以.10．（2024·陜西西安·一模）在中，角所對的邊分別為，，.(1)求角；(2)若，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式利用誘導(dǎo)公式和正弦定理化簡，得，可得角；

（2）已知條件中得到，余弦定理得，可求的周長.【詳解】（1）由得由正弦定理得：又，，則有，即又，所以.（2）由且，則有，由余弦定理得，即，由，解得，所以周長為.一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由代入化簡得，由正弦定理得，代入化簡即可，根據(jù)檢驗即可選出正確選項.【詳解】在中，，所以，因為，由正弦定理可得，所以，即，所以或，即或，當(dāng)時，，而，所以不符合舍去，即.故選：A2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.【詳解】在中，由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，則，由的面積為，得，解得，由，得，又，因此，令A(yù)C邊上的高為，則，所以.故選：B二、多選題3．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對的邊分別為．若，且邊上的中線長為，則（

）A． B．的取值范圍為C．面積的最大值為 D．周長的最大值為【答案】AB【分析】對A，將條件利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡求得角；對B，利用向量，運算結(jié)合基本不等式求解；對C，由B選項結(jié)合三角形面積公式求解；對D，由題可得，令，由，得，解得，所以三角形周長，利用導(dǎo)數(shù)求解判斷.【詳解】對于A，由，所以,所以，由正弦定理可得，因為，,可得，化簡得，又，.故A正確；對于B，設(shè)，，，根據(jù)題意，，，，化簡得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，，，，即，故B正確；對于C，由B，可得，故C錯誤；對于D，由前面選項，可得，且，，，即，令，由，得，解得，所以三角形周長，則，令，解得，又，所以在上單調(diào)遞減，所以，故D錯誤.故選：AB.三、填空題4．（2024·湖北武漢·二模）在中，角A，，所對的邊分別為，，，．且，則．【答案】/【分析】由余弦定理得到，并化切為弦，結(jié)合正弦定理和余弦定理求出，從而得到，，從而利用余弦定理求出答案.【詳解】由得，，由余弦定理得，故，所以，，故，所以，即，由正弦定理得，因為，所以，故，即，由和得，故故，故故.故答案為：5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題目所給的條件，利用正弦定理化簡后得到，利用正弦定理“邊化角”化簡得到，因此最大值即.【詳解】中，，，所以，所以，根據(jù)正弦定理，，即，因為，所以，由為三角形內(nèi)角可知，，根據(jù)正弦定理，，所以，其中，，當(dāng)時取得最大值，所以的最大值為.故答案為：四、解答題6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，已知且均為整數(shù)．(1)證明：；(2)設(shè)的中點為，求的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先得出，即，進(jìn)一步根據(jù)三角恒等變換以及，且均為整數(shù)，可得，由此即可得證；（2）由題意先得出，，結(jié)合正弦定理有，再結(jié)合余弦定理以及等邊對等角即可得解.【詳解】（1）在中，均為整數(shù)，，，且，最?。?dāng)，矛盾，，則，且為整數(shù)，，．又，即．由均為整數(shù)，且，由，可得，又因為，可得，故．．（2）由（1）知，，則．由正弦定理，可得，又的中點為．在中，由余弦定理，得，，則，．7．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且______．(1)求角的大?。?2)已知，是邊的中點，且，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；若選②，利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式求出，即可得解；若選③，利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算可得；（2）首先求出，由中線的性質(zhì)得到，由面積公式得到，再由余弦定理得到，即可求出、，再由勾股定理計算可得.【詳解】（1）方案一：選條件①．因為由正弦定理得，即，由余弦定理得．又，所以．方案二：選條件②．因為，由正弦定理得，所以，因為，所以，又，所以，又，所以．方案三：選條件③．因為，由正弦定理得，因為，所以，所以．在中，，可得，故，因為，則，所以，故，所以，則．（2）解法一：因為D是邊AB的中點，所以，由（1）知，因為，所以，故，故．由余弦定理得，故，因為，所以，．在中，，，所以，即的長為．解法二：由（1）知，因為，所以，因為，D是邊AB的中點，所以設(shè)，則，在中，①，在中，由正弦定理，即②，①②兩式相除可得，即，得，所