2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第17講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

新高考新結(jié)構(gòu)命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練（11類核心考點(diǎn)精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。導(dǎo)數(shù)版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，易于學(xué)生入手。然而，同樣不能忽視的是，導(dǎo)數(shù)版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸題中，此時(shí)的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績(jī)?？键c(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．2．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與二次曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．3．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知函數(shù)(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍4．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.5．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.6．（2024·廣東佛山·二模）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.7．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，的最小值為，求證：．9．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．3．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.5．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．7．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．8．（2024·山東青島·二模）已知函數(shù).(1)證明曲線在處的切線過(guò)原點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性；9．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).10．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求極值與最值1．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．2．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的極大值；(2)若，求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.5．（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點(diǎn).(1)求a；(2)證明：.6．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．8．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求證：當(dāng)時(shí)，.9．（2024·四川攀枝花·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若（），證明：．10．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的一個(gè)極值為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，求實(shí)數(shù)與的值．考點(diǎn)四、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．4．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．5．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知函數(shù)．(1)若的圖象不在軸的下方，求的取值集合；(2)證明：．6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.7．（2024·重慶九龍坡·三模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，若，且，求證：；(3)求證：對(duì)任意，都有.8．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（），.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：（）；(3)證明：（）.9．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程.(2)證明：.10．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.考點(diǎn)五、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立有解問(wèn)題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)過(guò)原點(diǎn)作圖象的切線，求直線的方程；(2)若，使成立，求的最小值.2．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．3．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)，其中且．(1)若是偶函數(shù)，求a的值；(2)若時(shí)，，求a的取值范圍．4．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知．(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)若時(shí)，有解，求的取值范圍．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．6．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.7．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.9．（2024·山東·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2024·河北·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)；(2)若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.3．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．4．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．6．（2024·浙江溫州·一模）已知（）.(1)求導(dǎo)函數(shù)的最值；(2)試討論關(guān)于的方程（）的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．（2024·山東煙臺(tái)·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求其單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．10．（2024·福建寧德·三模）已知函數(shù)的圖象在處的切線過(guò)點(diǎn).(1)求在上的最小值;(2)判斷在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.考點(diǎn)七、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題1．（22-23高二下·四川涼山·期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．3．（2024·四川德陽(yáng)·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最小值.4．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若，求證：；(3)在（2）的條件下，若方程兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為，，求證：.5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性(2)已知，，若存在，使得成立，求證：．6．（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知.(1)若，求在處的切線方程；(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.7．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）是的導(dǎo)函數(shù)．證明：．8．（2023·浙江嘉興·二模）已知.(1)若存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意恒成立，求的值；(2)若，設(shè)，證明：①存在，使得成立；②.9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，若恒成立，求的最小值；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，求證：.10．（2023·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.考點(diǎn)八、利用導(dǎo)數(shù)解決隱零點(diǎn)問(wèn)題1．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）2．（22-23高三上·天津·期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)成立，求b的取值范圍．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)滿足，證明：．4．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為12.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：，有恒成立.5．（2024·山東棗莊·一模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．6．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式無(wú)整數(shù)解，求的取值范圍.7．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.8．（2024·山東·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．9．（2024·遼寧撫順·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，（其中a，b為實(shí)數(shù)，且）(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求b；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)九、利用導(dǎo)數(shù)解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且，求證：．2．（22-23高三上·遼寧丹東·期末）已知函數(shù)．(1)證明：若，則；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．3．（23-24高二下·云南·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，證明：.4．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，且，證明：．5．（22-23高三上·江西吉安·期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.6．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.7．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．8．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)（）．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．9．（23-24高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：．10．（2023·遼寧阜新·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若時(shí)，求的最值；(2)若函數(shù)，且為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：考點(diǎn)十、導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)雜糅問(wèn)題1．（2024·河北·三模）現(xiàn)隨機(jī)對(duì)件產(chǎn)品進(jìn)行逐個(gè)檢測(cè)，每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，且每件產(chǎn)品不合格的概率均為．(1)當(dāng)時(shí)，記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)若這件產(chǎn)品中恰好有件不合格，以（1）中確定的作為的值，則當(dāng)時(shí)，若以使得最大的值作為的估計(jì)值，求的估計(jì)值．2．（高二·全國(guó)·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的2.2倍．設(shè)．（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？3．（2023·浙江·一模）混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問(wèn)題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性．4．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動(dòng)員，然后該運(yùn)動(dòng)員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動(dòng)員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動(dòng)員，有的概率傳給另一位運(yùn)動(dòng)員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動(dòng)員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動(dòng)員的概率為.(1)求，；(2)求的表達(dá)式；(3)設(shè)，證明：.5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是橢圓：（）上（左、右端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別是的左、右焦點(diǎn).(1)設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，證明為定值，并求出這個(gè)定值；(2)的重心與內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）分別為，，已知直線垂直于軸.（?。┣髾E圓的離心率；（ⅱ）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，求被直線分成兩個(gè)部分的圖形面積之比的取值范圍.6．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為且，點(diǎn)在邊上，是的角平分線，設(shè)（其中為正實(shí)數(shù)）．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；②設(shè)是的最大零點(diǎn)，試比較與1的大?。?．（2024·全國(guó)·二模）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn).(1)若，求的方程；(2)當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在唯一的直線，使得？并說(shuō)明理由.8．（2024·山東青島·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，且兩切線間的距離為，其中.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若點(diǎn)分別在曲線上，求與之和的最大值;(3)若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，四邊形為正方形，其面積為，證明:附:ln2≈0.693.9．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）將足夠多的一批規(guī)格相同、質(zhì)地均勻的長(zhǎng)方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，每個(gè)鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長(zhǎng)度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠(yuǎn)而不掉下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問(wèn)題．將鐵塊從上往下依次標(biāo)記為第1塊、第2塊、第3塊、……、第n塊，將前塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌面的上方，整批鐵塊就保持不倒．設(shè)這批鐵塊的長(zhǎng)度均為1，若記第n塊比第塊向桌緣外多伸出的部分的最大長(zhǎng)度為，則根據(jù)力學(xué)原理，可得，且為等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為．①比較與的大小；②對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，如果存在常數(shù)，對(duì)任意的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列收斂于，也稱數(shù)列的極限為，記為；反之，則稱不收斂．請(qǐng)根據(jù)數(shù)列收斂的定義判斷是否收斂？并據(jù)此回答“里拉斜塔”問(wèn)題．10．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；（ii）證明：若，則對(duì)任意正整數(shù)，都有.考點(diǎn)十一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)新定義問(wèn)題1．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.2．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)存在點(diǎn)，使得成立．設(shè)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．易知，在實(shí)數(shù)集上有唯一零點(diǎn)，且．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解的零點(diǎn)是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在中選定一個(gè)作為的初始近似值，使得，然后在點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過(guò)程，得的近似值序列．①當(dāng)時(shí)，證明：；②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請(qǐng)以此為前提條件，證明：．3．（2024·貴州遵義·三模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)n階可導(dǎo)，則有如下公式：以上公式稱為函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，簡(jiǎn)稱為泰勒公式．其中，，表示的n階導(dǎo)數(shù)，即連續(xù)求n次導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題：(1)寫出的泰勒展開(kāi)式（至少有5項(xiàng)）；(2)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，k為正整數(shù)，求k的值．4．（2024·上海奉賢·三模）若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對(duì)任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點(diǎn)”．(1)試問(wèn)函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？(2)若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點(diǎn)”；(3)若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（小），這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（小）值.對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右可導(dǎo)；當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).(1)請(qǐng)舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)已知函數(shù).（ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；（ⅱ）若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范新高考命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練（11類核心考點(diǎn)精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。導(dǎo)數(shù)版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，易于學(xué)生入手。然而，同樣不能忽視的是，導(dǎo)數(shù)版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸題中，此時(shí)的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績(jī)?？键c(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于0來(lái)求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）令，解得或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示：0200單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減由函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，得方程有且僅有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個(gè)交點(diǎn)．顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．2．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與二次曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．(2)或．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求出函數(shù)的切線方程，與曲線聯(lián)立方程，分析得出結(jié)論.【詳解】（1）易知定義域?yàn)镽，，所以，，，．故單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．（2）因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線為把切線方程代入二次曲線方程，得有唯一解，即且，即解得或．3．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知函數(shù)(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分析可知原題意等價(jià)于對(duì)，恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.【詳解】（1）若，則的定義域?yàn)?，且，令，解得；令，解得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，則，所以原題意等價(jià)于對(duì)，恒成立，構(gòu)建，則，令，則對(duì)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且，可得，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)遞減區(qū)間為，無(wú)遞增區(qū)間；(2).【分析】（1）求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間.（2）等價(jià)變形給定不等式得，令并求出值域，再換元并分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即得.【詳解】（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，無(wú)遞增區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，令，依題意，，恒成立，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.5．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增；(2)【分析】（1）求導(dǎo)之后再對(duì)分析即可得到單調(diào)性；（2）在上單調(diào)遞增得，然后轉(zhuǎn)化為，即.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，∴，令，則，令，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，∴在上成立，∴在上單調(diào)遞增.（2）∵在上單調(diào)遞增，∴，恒成立，，恒成立，即，恒成立.令，則.∵，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴取得最小值.∴，.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）借助換元法，令，，，可得、是方程的兩個(gè)正根，借助韋達(dá)定理可得，，即可用、表示，進(jìn)而用表示，構(gòu)造相關(guān)函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），令，即，令，，則、是方程的兩個(gè)正根，則，即，有，，即，則，要證，即證，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，，故存在，使，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又，則，故，即，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助換元法，令，，，從而可結(jié)合韋達(dá)定理得、的關(guān)系，即可用表示，構(gòu)造相關(guān)函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可得.7．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，令，判斷的單調(diào)性，即可得到的取值情況，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得，即可得到，設(shè)，依題意可得有解，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可得到，從而得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，因?yàn)?、都在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，，得，因?yàn)椤⒍荚谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，已知存在，使得在上恒成立，所以是的最小值，所以，即，所以，所以，設(shè)，由方程有解，得有解，即有解，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞減，所以，則，設(shè)，則，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，又，所以，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，的最小值為，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的單調(diào)性以及，即可求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而可求解的單調(diào)性，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)證明，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即可根據(jù)，求解的最小值為2，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，即可求解.【詳解】（1）由題知，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以．設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值，且．記，易知在上單調(diào)遞增，則是的唯一零點(diǎn)．因?yàn)?，，所以所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．9．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)2個(gè).【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，當(dāng)時(shí)，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號(hào)；（2）當(dāng)時(shí)，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可判斷函數(shù)值符號(hào)，當(dāng)時(shí)，記，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象，根據(jù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，記，則，因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.綜上，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，

記，則，當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，此時(shí)無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，記，則，因?yàn)楫?dāng)趨近于0時(shí)，趨近于0，所以的變化越來(lái)越慢，圖象下凹，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn).易知是的一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn).10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用二次導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)證明即可；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷的零點(diǎn)，再由零點(diǎn)方程化簡(jiǎn)整理得的最小值，然后由零點(diǎn)的范圍即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且．①若，則，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增．又，所以；②若，則，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明，一般可以考慮證明，若有最小值，但無(wú)法具體確定，這種情況下一般是先把的最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，再根據(jù)極值點(diǎn)的取值范圍，確定最小值的取值范圍．考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)與分類討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】（1）（），當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得：，可知的最小值為；若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)無(wú)最大值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不合題意；綜上所述：的最小值為.2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）就、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，可由各式符號(hào)證明此不等式成立，當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證明恒成立，據(jù)此可得的單調(diào)性，從而可得原不等式成立.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，①當(dāng)時(shí)，，，；②當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，，即．綜上，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立，應(yīng)該根據(jù)不等式中含有的函數(shù)的類型進(jìn)行合理的分類討論，特別是含有三角函數(shù)式時(shí)，可根據(jù)其值域選擇分類討論的標(biāo)準(zhǔn).3．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋砸C，只要證明即可，即要證，等價(jià)于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.(2)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)對(duì)分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）結(jié)論判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出最小值，再通過(guò)最小值與在指定區(qū)間作比較即可得證.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以函數(shù)，要證,需證，即需證恒成立.令，則，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故，所以恒成立，所以當(dāng)時(shí)，.5．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，討論當(dāng)取不同的值時(shí)的正負(fù)情況，即可得到的單調(diào)性；（2）法一：由可化為，令，討論取正、負(fù)、零時(shí)恒成立，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：由可得，令，即恒成立，由，則令，則恒成立，討論取正、負(fù)、零時(shí)的單調(diào)情況，得到極值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，令，又，，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得其中，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令，當(dāng)時(shí)，恒成立，，若恒成立，符合題意，，當(dāng)恒成立，令則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，當(dāng)所以不存在滿足條件的.綜上所述：.法二：.令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立，，令，則恒成立；又，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解得，綜上，.6．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求區(qū)間；（2）結(jié)合（1）得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)最大值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)，得，若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，則由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，由，得，若時(shí)，函數(shù)的最大值為，若時(shí)，函數(shù)的最大值為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.7．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)與單調(diào)性的關(guān)系，分及討論即可得；（2）原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，即可得其最小值，即可得證.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）得，

要證，即證，即證，令，則，

令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，.8．（2024·山東青島·二模）已知函數(shù).(1)證明曲線在處的切線過(guò)原點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）可求得切點(diǎn)為，斜率，則切線方程為，則恒過(guò)原點(diǎn)；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，和，可得的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)由的判別式和，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的判別式，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題設(shè)得，所以，又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，斜率，所以切線方程為，即恒過(guò)原點(diǎn)．（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由，則，或，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；由，則，則，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸，，，由，則，則，所以在上單調(diào)遞增，由，則，則，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.9．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可得解；（2）結(jié)合（1）分，和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】（1）定義域?yàn)椋深}意得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），由（1）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以此時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.10．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分，，，四種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)，然后分和兩種情況結(jié)合零點(diǎn)存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，的極大值，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，的極小值，的極大值，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，且，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，令，則，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上遞增，即在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，所以在上恒成立，所以，所以，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)存在性定理分析判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求極值與最值1．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求區(qū)間；（2）結(jié)合（1）得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)最大值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)，得，若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，則由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，函數(shù)的最大值為，由，得，若時(shí)，函數(shù)的最大值為，若時(shí)，函數(shù)的最大值為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.2．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；（2）計(jì)算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調(diào)性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即．（2），令，解得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，考慮，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，所以由得；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上，．3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的極大值；(2)若，求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)2025個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，分情況討論，求函數(shù)的極大值.（2）先分析方程在上解得個(gè)數(shù)，再分析在上解的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步考慮方程在上解的個(gè)數(shù)，可得問(wèn)題答案.【詳解】（1）由題易得，函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以，?dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0200極小值極大值由上表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為．當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0200極大值極小值由上表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極大值為；當(dāng)時(shí)，的極大值為0．（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)．由，得．所以要求在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只需求的圖象與的圖象在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．又在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且只有1個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上有極大值，即當(dāng)時(shí)，恒有．又當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋移渥钚≌芷跒?，現(xiàn)考查在其一個(gè)周期上的情況，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn)，即在區(qū)間上有且只有1個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)樵趨^(qū)間上，，所以與的圖象在區(qū)間上無(wú)交點(diǎn)，即在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)．在區(qū)間上，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn)，即在區(qū)間上有且只有1個(gè)零點(diǎn)．所以在一個(gè)周期上有且只有2個(gè)零點(diǎn)．同理可知，在區(qū)間上，且單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，所以與的圖象在區(qū)間和上各有一個(gè)交點(diǎn)，即在上的每一個(gè)區(qū)間上都有且只有2個(gè)零點(diǎn)．所以在上共有個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，在區(qū)間上共有個(gè)零點(diǎn)．方法二：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．又，所以存在唯一零點(diǎn)，使得．所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以．所以在上無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，所以存在唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增．又，所以存在，使得．即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增．又，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減：又，所以存在唯一，使得．所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．所以在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．所以在上共有個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，在區(qū)間上共有個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，要利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值情況，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.【答案】(1)極大值是，無(wú)極小值；(2).【分析】（1）利用求導(dǎo)，通過(guò)參數(shù)，可分析出為正負(fù)的區(qū)間，從而可以判斷的極值；（2）利用不等式有唯一解，則正好是最大值取到等號(hào)，再去分析取等號(hào)的含參方程有解的條件，所以重新構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)和方程的解.【詳解】（1）由，因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，則，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，所以是的極大值點(diǎn)，的極大值是，無(wú)極小值.（2）由（1）可得，要使得集合有且只有一個(gè)元素，則只需要設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以，所以關(guān)于的方程有解時(shí)，只能是，所以集合有且只有一個(gè)元素時(shí).5．（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點(diǎn).(1)求a；(2)證明：.【答案】(1)3；(2)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）求導(dǎo)，由求解；（2）轉(zhuǎn)化為證，令，由證明.【詳解】（1）解：，依題意，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；（2）由（1）可知，，要證，即證，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，因?yàn)?，，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，往往由證明.6．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）討論函數(shù)在區(qū)間和上的符號(hào)即可推理作答.（3）在時(shí)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再探討在上的零點(diǎn)情況即可作答.【詳解】（1）由函數(shù)求導(dǎo)得：，所以，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，，，所以，有，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，，，則有，函數(shù)在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，，顯然是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的解，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，所以，有，在，上都遞減，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上遞增，在上遞減，，所以，，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減，取值集合為，在上遞減，取值集合為，所以，當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)或時(shí)，此方程無(wú)解，所以，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題.7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)有一個(gè)極值點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求，得，再設(shè)，通過(guò)對(duì)符號(hào)的分析，得到的單調(diào)性，再判斷的解的情況，分析函數(shù)的極值點(diǎn)的情況.（2）先把原不等式化成恒成立，利用換元法，設(shè)，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立．再設(shè)，利用（1）的結(jié)論求的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．（2）恒成立，恒成立，恒成立．令，則，恒成立．設(shè)，由（1）可知的最小值為．又，．（﹡）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，，由（﹡）知，，即．，，，又，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題第二問(wèn)的關(guān)鍵是求函數(shù)的最小值，由（1）得的極小值是，而的值不能準(zhǔn)確的表示出來(lái)，所以根據(jù)進(jìn)行代入計(jì)算.8．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)極大值，極小值0.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，證法一：轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于1即可，證法二：轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于0即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令得或，當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減0單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值0（2）令，則，當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：0單調(diào)遞減單調(diào)遞增故.要證當(dāng)時(shí)，.證法一：只需證當(dāng)時(shí)，，即令，則在上單調(diào)遞減故，即式成立，原不等式成立.證法二：只需證當(dāng)時(shí)，，即令，則令，則在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞減，即式成立，原不等式成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.9．（2024·四川攀枝花·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若（），證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（2）由，得到，求得，得到，化簡(jiǎn)得到，設(shè)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可求解．【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.（2）證明：由（1）知，，可得，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，可得，則，因?yàn)?，所以，記得，所以，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．10．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的一個(gè)極值為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，求實(shí)數(shù)與的值．【答案】(1)或5(2)實(shí)數(shù)的值為的值為5【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到極值點(diǎn)，根據(jù)極值為解出的值；（2）根據(jù)上的單調(diào)性，分，，，四種情況討論的最大值，只有中存在符合題意，令最大值為18，求得和的值.【詳解】（1）由，得，令，得或；令，得；令，得或．所以函數(shù)有兩個(gè)極值和．若，得，解得；若，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)的值為－22或5．（2）由（1）得，在區(qū)間的變化情況如下表所示：1+0－0+極大值極小值由表可知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最大值為，其值為或，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以在上的最大值為，其值為?5，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，所以在上的最大值為，其值為?5，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上的最大值為，其值為或，不符合題意，又因?yàn)槿?，則．那么，函數(shù)在區(qū)間上的最大值只可能小于－2，不合題意，所以要使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，必須使，且，即．所以，所以．所以，所以．所以或，所以或．因?yàn)?，所以舍去．綜上，實(shí)數(shù)的值為的值為5．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通過(guò)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而函數(shù)的最大值在極大值和端點(diǎn)值中取大，函數(shù)的最小值在極小值和端點(diǎn)值中取小.考點(diǎn)四、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得，即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢⒋?，解得，即，由切線方程，可知切線斜率，故，解得；（2）由（1）知，要證，即證．設(shè)，則，令，解得，或（舍去），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，所以，即．2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋砸C，只要證明即可，即要證，等價(jià)于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令，可得，，求導(dǎo)可證結(jié)論；（2）令函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可證當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（1）可得，從而得到，進(jìn)而得證.【詳解】（1），，令，則，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故的值域?yàn)椋?）令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以．由（1）知，當(dāng)1時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，令，其中，，2，3，，n，則，所以，，，，，以上n個(gè)式子相加得，即當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用（1）中結(jié)論與常見(jiàn)不等式得到，從而得證.4．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得恒成立，令，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)分類可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，可得在恒成立，當(dāng)時(shí)，可得，利用累加法可得結(jié)論.【詳解】（1）在恒成立．構(gòu)造函數(shù)，則在恒成立．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，矛盾，故舍去當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增，故，均有，矛盾，故舍去當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)時(shí)，可得同理，，，兩邊分別累加得：即即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)（1）中的結(jié)論得到，再代入得到其他不等式，最后累加即可證明.5．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知函數(shù)．(1)若的圖象不在軸的下方，求的取值集合；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得出恒成立，對(duì)求導(dǎo)，可得，令，對(duì)求導(dǎo)得出的單調(diào)性即可證明，即可得出的取值集合；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，可得，即，由累加法可證明，再證明可證得.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榈膱D象不在軸的下方，所以恒成立，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，，，，所以，故的取值集合?（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以，（當(dāng)時(shí)取等），令，所以，則，所以，故，，…，，由累加法可得：，即，令，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對(duì)進(jìn)行和的分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可得單調(diào)性.（2）證，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，接著構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得證.【詳解】（1）由題函數(shù)定義域?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，令，則時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上恒成立，故證證，即，令，則，故當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故，所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明含參函數(shù)不等式問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問(wèn)題，第（2）問(wèn)證當(dāng)時(shí)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，接著根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和最值即可得證.7．（2024·重慶九龍坡·三模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，若，且，求證：；(3)求證：對(duì)任意，都有.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分離參數(shù)，函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，進(jìn)而求最值即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，要證，只需證即可，結(jié)合不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)即可證明；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，利用賦值及累加法即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，只需即可，令，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，所以，所以在恒成立，在單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.（2）當(dāng)時(shí)，，，所以，在上單調(diào)遞增，又，且，不妨設(shè)，要證，即證明，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即證，因?yàn)?，即證，設(shè)，，令，則，則，，由可得，在單調(diào)遞增，所以，即，所以成立，所以.（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且，由得，即，令，則，即，所以，，，…，，相加得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在恒成立問(wèn)題，不等式證明中的應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題.8．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（），.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：（）；(3)證明：（）.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，后按照，分類討論即可；（2）用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（3）由（1）的結(jié)論可以得到.令，得到，即，結(jié)合數(shù)列累加法，可得.由（2）知，，每項(xiàng)進(jìn)行放縮即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，.（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，，，（當(dāng)時(shí)“=”成立）.令（），，即，，從而，，…，，累加可得，即.由（2）知，在是遞減函數(shù)，，即，.（）.9．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程.(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解答【分析】（1）求導(dǎo)可得，又，可求切線方程；（2）求導(dǎo)得，令，再求導(dǎo)，進(jìn)而判斷在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增，，可得結(jié)論.【詳解】（1）由，可得，，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.10．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)0(2)或(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用函數(shù)乘法求導(dǎo)法則來(lái)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并因式分解得，即可求出，從而可求得切線的傾斜角為0；（2）對(duì)參數(shù)分四種情形，，，進(jìn)行討論單調(diào)性，從而得到極小值小于0，來(lái)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）要證明不等式，利用放縮思想對(duì)和進(jìn)行代換，結(jié)合分析法證明，把原不等式最后轉(zhuǎn)化為新的不等式，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求最值證明.【詳解】（1）由，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為0.（2）由（1）知，且，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即此時(shí)極小值不可能小于0，所以當(dāng)時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即函數(shù)無(wú)極值，不滿足題意，所以當(dāng)時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以；綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為或.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，則.要證成立，只需證，.兩邊同除得：，即.只需證：，即證，令，，，解得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立.綜上可知不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）某點(diǎn)的切線斜率利用該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值來(lái)求解；（2）含參函數(shù)求極小值，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論的依據(jù)就是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零的大小比較，從而利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)去得到函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷極小值點(diǎn)來(lái)求的范圍；（3）證明這種含指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，要借用指數(shù)不等式和的放縮思想，利用分析法去把原不等式轉(zhuǎn)化到一些簡(jiǎn)單的函數(shù)不等式來(lái)證明.考點(diǎn)五、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立有解問(wèn)題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)過(guò)原點(diǎn)作圖象的切線，求直線的方程；(2)若，使成立，求的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點(diǎn)，求出參數(shù)即得切線方程；（2）由題意，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為在有解，即只需求在上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得的最小值.【詳解】（1）

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，解得，

所以切線的斜率為，所以的方程為.（2），，即成立，則得在有解，故有時(shí)，.

令，，，

令得；令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，

則，故的最小值為.2．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知易求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利