2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)講義第17講圓錐曲線中的阿基米德三角形(高階拓展、競(jìng)賽適用)(學(xué)生版+解析)

圓錐曲線中的阿基米德三角形（高階拓展、競(jìng)賽適用）（8類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線阿基米德三角形的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的阿基米德三角形問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做橢圓切線，交于Q點(diǎn)，稱(chēng)△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做雙曲線切線，交于Q點(diǎn)，稱(chēng)△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn),頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點(diǎn)I(不與A,B重合),過(guò)I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接考點(diǎn)一、阿基米德三角形的認(rèn)識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦與拋物線交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線、相交于點(diǎn).又常被稱(chēng)作阿基米德三角形.下面關(guān)于的描述：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③設(shè)、，則的面積的最小值為；④；⑤平行于軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，稱(chēng)為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：（1）點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）為直角三角形，且；（3）．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．1．被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱(chēng)的阿基米德（前287—前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系心中，已知直線l：y＝4與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為．2．（2024高三下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，以A

A．若弦過(guò)焦點(diǎn)，則為直角三角形且B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是C．的邊所在的直線方程為D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）考點(diǎn)二、阿基米德三角形之定點(diǎn)、定軌跡問(wèn)題1．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過(guò)點(diǎn) D．恒過(guò)點(diǎn)2．（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求E的方程；(2)直線，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).3．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，且該垂線與拋物線交于點(diǎn)，，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)試問(wèn)為何種圓錐曲線？說(shuō)明你的理由.(2)圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，這兩條切線分別與相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)）.當(dāng)變化時(shí)，是否存在定點(diǎn)，使得直線恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（2023·廣東廣州·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程：(2)過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．2．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)分別分別為的上?下頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)直線上任一點(diǎn)，作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).3．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；(3)若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．考點(diǎn)三、阿基米德三角形之定值問(wèn)題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，連接，設(shè)的斜率分別為，問(wèn)：是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.2．（2023高二下·海南·學(xué)業(yè)考試）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過(guò)橢圓外一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，斜率分別為，，若恒成立，證明：存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到這兩定點(diǎn)的距離之和為定值．3．（22-23高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．（2023·安徽黃山·二模）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線分別與軸交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：為定值；(2)設(shè)直線的斜率為，證明：為定值．3．（2023·河南·一模）已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.考點(diǎn)四、阿基米德三角形之面積問(wèn)題1．（2021高三·全國(guó)·競(jìng)賽）過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，點(diǎn)A?B為切點(diǎn)過(guò)A?B的直線l與x軸?y軸分別交于點(diǎn)P?Q兩點(diǎn)，則面積的最小值為.2．（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是軸下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，且分別交軸于兩點(diǎn).(1)求證：，，，四點(diǎn)共圓；(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，兩直線分別交于兩點(diǎn)，求的面積的最小值.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.1．（21-22高二上·福建龍巖·期中）畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為8．(1)求拋物線M的方程；(2)若點(diǎn)Q在C上，QA，QB為M的兩條切線，A，B是切點(diǎn)（A在B的上方），求面積的最小值．3．（23-24高三下·重慶·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，是拋物線上位于軸兩側(cè)不對(duì)稱(chēng)的兩動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，且；（?。┣蟪鳇c(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線，在上任取一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，，求面積的最小值．考點(diǎn)五、阿基米德三角形之切線垂直1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：.1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直.2．（2024·廣東汕頭·三模）已知雙曲線：的漸近線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)記雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，求的值.(3)探究圓：上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)作雙曲線的兩條切線，互相垂直.考點(diǎn)六、阿基米德三角形之角度問(wèn)題1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一條準(zhǔn)線的方程為，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差為2．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)上任一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的正切值．2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)作軌跡的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.1．（2024·全國(guó)·二模）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn).(1)若，求的方程；(2)當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在唯一的直線，使得？并說(shuō)明理由.考點(diǎn)七、阿基米德三角形之點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題1．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，圓是上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，求的最小值；(2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線分別交于兩點(diǎn)（異于）.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，線段的中垂線與直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形的面積，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).2．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線和直線的斜率分別為，，證明：的值為定值；(3)過(guò)雙曲線上不同的兩點(diǎn)，分別作雙曲線的切線，若兩條切線相交于點(diǎn)，且，求的最大值.考點(diǎn)八、阿基米德三角形之參數(shù)問(wèn)題1．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線分別與軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線交于P、Q兩點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，連接，設(shè)的斜率分別為，求的值；(3)設(shè)，求的值.1．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)度的最小值為．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，弦過(guò)其焦點(diǎn)，分別過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，點(diǎn)到直線距離的最小值是（

）A． B． C．1 D．23．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱(chēng)圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求C的方程；(2)過(guò)A，B作C的兩條切線交于點(diǎn)P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點(diǎn)，且直線DE與C相切，求證：．5．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，依次連接四個(gè)頂點(diǎn)得到的圖形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).6．（23-24高三下·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)（其中，）為拋物線上一點(diǎn).過(guò)作拋物線的兩條切線，，，為切點(diǎn).射線交拋物線于另一點(diǎn).(1)若，求直線的方程；(2)求四邊形面積的最小值.7．（2024·陜西·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).點(diǎn)是右準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.已知.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線的斜率分別為，直線的斜率為，證明：.8．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，垂直軸的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最大值時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線、，直線、與圓的另一交點(diǎn)分別為、,①證明：；②求面積的最大值．9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到F的最小距離為1．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)向C作兩條切線AM，AN，切點(diǎn)分別為M，N，直線AF與直線MN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．10．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,Q為上一點(diǎn)．已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是．點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記兩切線的斜率分別為．(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求值；(3)設(shè)直線與軸分別交于點(diǎn)，求的取值范圍．11．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)．，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線分別與橢圓交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)變化時(shí)，直線的斜率乘積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)給定一個(gè)，橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值，并求出此時(shí)的值．12．（23-24高三上·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，以為圓心作半徑為1的圓，過(guò)且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，分別交于另外兩點(diǎn)，直線分別交軸正半軸、軸正半軸于兩點(diǎn)，求面積的最小值．13．（23-24高三上·云南保山·期末）已知橢圓：（），且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)的直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，且直線交線段于點(diǎn)，試判斷與的大小，并說(shuō)明理由.14．（2024·廣東廣州·二模）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，的兩條切線交于點(diǎn)是切點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)若點(diǎn)在直線上，記的面積為的面積為，求的最小值；(3)證明：．15．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，上?下頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形面積為，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)求所在直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求的值.16．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．（22-23高三下·山西晉城·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，且，求面積的取值范圍.18．（2023·江西南昌·三模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，．(1)證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程．參考結(jié)論：為橢圓上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為．19．（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓過(guò)點(diǎn)，和，且圓與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn).(1)求圓和拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，試判斷直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，如果是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由．20．（23-24高三下·重慶大足·階段練習(xí)）已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)．是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且垂直于軸．(1)求證：的中點(diǎn)在上；(2)設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，，是的兩條切線，，是切點(diǎn)．若，且位于軸兩側(cè)，求證：．21．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的重心為，內(nèi)心為．(1)求橢圓的方程；(2)若為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線為切點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2024·安徽·二模）已知點(diǎn)在橢圓：的外部，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．(1)①若點(diǎn)坐標(biāo)為，求證：直線的方程為；②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：直線的方程為；(2)若點(diǎn)在圓上，求面積的最大值．23．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A與圓：和圓：都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.（?。┳C明：；（ⅱ）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的取值范圍.24．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱(chēng)橢圓與“相似”，并將與的相似比稱(chēng)為橢圓與的相似比．已知橢圓：與橢圓：相似．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，過(guò)分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當(dāng)時(shí)，若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)0,1，且與直線相切于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線分別與曲線相切于點(diǎn)，與軸分別交于兩點(diǎn).記，，的面積分別為、、．（i）證明：四邊形為平行四邊形；（ii）證明：成等比數(shù)列.1．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.2．（遼寧·高考真題）如圖，拋物線（I）；（II）圓錐曲線中的阿基米德三角形（高階拓展、競(jìng)賽適用）（8類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線阿基米德三角形的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的阿基米德三角形問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做橢圓切線，交于Q點(diǎn)，稱(chēng)△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做雙曲線切線，交于Q點(diǎn)，稱(chēng)△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn),頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點(diǎn)I(不與A,B重合),過(guò)I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接考點(diǎn)一、阿基米德三角形的認(rèn)識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦與拋物線交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線、相交于點(diǎn).又常被稱(chēng)作阿基米德三角形.下面關(guān)于的描述：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③設(shè)、，則的面積的最小值為；④；⑤平行于軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出圖形，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷①的正誤；利用直線、斜率的關(guān)系可判斷②的正誤；計(jì)算出的面積的表達(dá)式，可判斷③的正誤；利用直線、的斜率關(guān)系可判斷④的正誤；求出直線的斜率，可判斷⑤的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.證明如下：由于點(diǎn)在拋物線上，則，聯(lián)立，可得，即，，所以，拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.如下圖所示：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，，對(duì)于命題①，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，①正確；對(duì)于命題②，直線的斜率為，直線的斜率為，，所以，，②正確；對(duì)于命題④，當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)不與軸垂直時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，，則.綜上，，④正確；對(duì)于命題③，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于命題⑤，當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，此時(shí)直線與軸重合，⑤錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查了拋物線的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及韋達(dá)定理法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，稱(chēng)為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：（1）點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）為直角三角形，且；（3）．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“阿基米德三角形”的性質(zhì)直接可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由題意知，為“阿基米德三角形”，可得點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)，直線的斜率為，又因?yàn)椋灾本€的斜率為，所以直線的方程為，即,故選：C．1．被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱(chēng)的阿基米德（前287—前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系心中，已知直線l：y＝4與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為．【答案】【分析】先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求出過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線方程，從而可求出直線l與兩條切線所圍成的三角形的面積，進(jìn)而可求出弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積【詳解】解：由，得或，不妨設(shè)A(4，4)，B(﹣4，4)，由得，所以過(guò)點(diǎn)A，B的切線的斜率分別為所以在該兩點(diǎn)處的拋物線的切線方程分別y＝2x﹣4，y＝﹣2x﹣4，從而拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積為，故弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查曲線的切線的求法，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高三下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，以A

A．若弦過(guò)焦點(diǎn)，則為直角三角形且B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是C．的邊所在的直線方程為D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）【答案】ACD【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)得，A正確；寫(xiě)出切線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，得B錯(cuò)誤；用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出，寫(xiě)出直線方程，并化簡(jiǎn)可得C正確；設(shè)為拋物線弦的中點(diǎn)，立即得D正確.【詳解】由題意設(shè)，由，得，則，所以，若弦過(guò)焦點(diǎn)，顯然直線斜率存在，設(shè)所在直線為，聯(lián)立，得，則，所以，所以，故A正確；以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為，以點(diǎn)B為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立消去y得，將代入，得，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)N為拋物線弦的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為，因此直線平行于y軸(或與y軸重合)，即平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸(或與對(duì)稱(chēng)軸重合)，故D正確；設(shè)直線的斜率為，故直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故C正確.故選：ACD.考點(diǎn)二、阿基米德三角形之定點(diǎn)、定軌跡問(wèn)題1．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過(guò)點(diǎn) D．恒過(guò)點(diǎn)【答案】D【分析】設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到切線方程，設(shè)，將其代入兩切線方程，得到直線的方程為，得到過(guò)定點(diǎn).【詳解】設(shè)，則，，由于，故過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，即，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)，故，整理得，同理，整理得，故直線的方程為，斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，恒過(guò)點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D2．（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求E的方程；(2)直線，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解；定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,y1（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切線與的方程，兩者聯(lián)立，可求出，即可證得直線過(guò)定點(diǎn)，并得出該定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由已知，，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的方程為，Ax1,聯(lián)立，得，則，則，所以，解得，故拋物線E的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，，即，所以，，令，當(dāng)時(shí)，可化為，則，則在處的切線的方程為：，即，同理可得切線的方程為：，聯(lián)立與的方程，解得，所以，則，滿足，則直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線和拋物線的位置關(guān)系中，證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般是設(shè)出直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，求得參數(shù)之間的關(guān)系式，再對(duì)直線分離參數(shù)，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而證明直線過(guò)定點(diǎn).3．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，且該垂線與拋物線交于點(diǎn)，，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)試問(wèn)為何種圓錐曲線？說(shuō)明你的理由.(2)圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，這兩條切線分別與相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)）.當(dāng)變化時(shí)，是否存在定點(diǎn)，使得直線恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)橢圓，理由見(jiàn)解析(2)存在定點(diǎn)滿足題意【分析】（1）設(shè)，進(jìn)而表示出，，結(jié)合即可求得結(jié)果.（2）由直線與圓相切可得，設(shè)切線，的斜率分別為，，由韋達(dá)定理得，設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，聯(lián)立切線與圓的方程可求出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】（1）為橢圓.理由：如圖所示，

設(shè)，則，，則，.因?yàn)?，所以，所以為橢圓.（2）存在定點(diǎn)滿足題意.理由：由題可知切線的斜率存在，如圖所示，

設(shè)切線方程為，圓，則，整理得.設(shè)切線，的斜率分別為，，則，是上述方程的兩根，由韋達(dá)定理得.設(shè)Mx1,由得.因?yàn)?，所以?同理可得，.因?yàn)?，所以，，所以，所以直線的方程為，即，整理得.令，得，故存在定點(diǎn)滿足題意.【點(diǎn)睛】求解直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的方法指導(dǎo)（1）把直線或曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)．（2）由直線方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式，則直線必過(guò)定點(diǎn)；若得到了直線方程的斜截式，則直線必過(guò)定點(diǎn)．4．（2023·廣東廣州·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.【答案】(1)拋物線的方程為，圓的方程為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得的值，即可得拋物線方程；根據(jù)圓的性質(zhì)確定圓心與半徑，即可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相切，切線與拋物線相交聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得所滿足的方程.【詳解】（1）解：由題設(shè)得，所以拋物線的方程為.因此，拋物線的焦點(diǎn)為，即圓的圓心為由圓與軸相切，所以圓半徑為，所以圓的方程為.（2）證明：由于，每條切線都與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.故設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，即.依題意得，整理得①；設(shè)直線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故，②，由得③，因?yàn)辄c(diǎn)，則④，⑤由②，④，⑤三式得：，即，則，即，所以點(diǎn)在圓.1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程：(2)過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得，即可求得橢圓方程；（2）先證明過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程的形式，再求得過(guò)點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，即可證明其恒過(guò)的頂點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，又，解得，故橢圓方程為：.（2）下證過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，其切線方程為：.當(dāng)且，，求導(dǎo)得：；同理可得，當(dāng)且時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，故切線方程為：，即，又，故切線方程為：，即證.設(shè)坐標(biāo)為，故可得過(guò)點(diǎn)切線方程為：，又其過(guò)點(diǎn)，則；同理可得，故直線方程為，其恒過(guò)定點(diǎn)1,0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第二問(wèn)的關(guān)鍵是證明過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，其切線方程為：，本題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)分別分別為的上?下頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)直線上任一點(diǎn)，作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）依題意可得，設(shè)橢圓的方程為，又可得為線段的垂直平分線，表示出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)，在點(diǎn)處的切線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，由，即可得到點(diǎn)處的切線方程，同理可得點(diǎn)處切線方程，從而得到直線的方程，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，，設(shè)橢圓的方程為，即，，，為正三角形，過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，直線的斜率為，斜率的倒數(shù)為，直線的方程，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到，所以，，，，，所以，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，在點(diǎn)處的切線的方程為，由，消去整理得，則，整理得，解得故在點(diǎn)處的切線方程為，整理可得.當(dāng)不存在時(shí)，切線方程為滿足上述結(jié)論，設(shè)坐標(biāo)為，同理可得，設(shè)，則，所以的直線方程為，所以，由題意，解得，故直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.3．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；(3)若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．【答案】(1)或；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）將代入橢圓方程計(jì)算得點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出極線方程即可；（2）寫(xiě)出點(diǎn)處的極線方程，先討論的情況，可得處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；再討論的情況，將橢圓方程與極線方程聯(lián)立，消元得關(guān)于的一元二次方程，計(jì)算得判別式，即可證明；（3）分別寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)，N的切線方程，從而可得割線的方程，再寫(xiě)出切點(diǎn)弦的方程，根據(jù)割線過(guò)點(diǎn)，代入割線方程計(jì)算，從而可得，，三點(diǎn)共線.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以或．由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，所以橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，即點(diǎn)處的極線方程為，即（2）因?yàn)樵跈E圓上，所以，由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)極線方程為，所以處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線．當(dāng)時(shí)，極線方程為．聯(lián)立，得．．綜上所述，橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；（3）設(shè)點(diǎn)，，，由（2）可知，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)N的切線方程為．因?yàn)?，都過(guò)點(diǎn)，所以有，則割線的方程為；同理可得過(guò)點(diǎn)的兩條切線的切點(diǎn)弦的方程為．又因?yàn)楦罹€過(guò)點(diǎn)，代入割線方程得．所以，，三點(diǎn)共線，都在直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．考點(diǎn)三、阿基米德三角形之定值問(wèn)題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，連接，設(shè)的斜率分別為，問(wèn)：是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值0.【分析】（1）先設(shè)點(diǎn)，然后求出切線解析式，根據(jù)即可求出結(jié)果.（2）設(shè)直線的方程,通過(guò)和拋物線聯(lián)立求出韋達(dá)定理，同理求出和拋物線聯(lián)立的韋達(dá)定理，然后代入即可.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，則在點(diǎn)處切線斜率為，所以以為切點(diǎn)的切線方程為.因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，同理，所以是方程的兩個(gè)根，則.又因?yàn)?，所以，?又因?yàn)?，所以，所以拋物線的方程為.（2）由題意，斜率都存在且不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線和拋物線的方程，得，所以.設(shè)，則，同理，所以所以，所以等于定值0.2．（2023高二下·海南·學(xué)業(yè)考試）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過(guò)橢圓外一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，斜率分別為，，若恒成立，證明：存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到這兩定點(diǎn)的距離之和為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，聯(lián)立的方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)相切得判別式為0，進(jìn)而得到，為關(guān)于的方程的兩根，利用韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，由橢圓的定義即可求解.【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，則由離心率，得，所以，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，得，．所以的方程為．（2）設(shè)，直線的方程為，即，記，則的方程為，代入橢圓的方程，消去，得．因?yàn)橹本€，與橢圓相切，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以，為關(guān)于的方程的兩根，從而，整理可得，所以點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得，為定值．3．（22-23高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)拋物線C的方程為，圓F的方程為(2)是，16【分析】（1）根據(jù)題意可得圓F的方程為，聯(lián)立方程求得A，B的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線PM，PN，即可得直線MN的方程，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理運(yùn)算整理.【詳解】（1）由題意可得：拋物線C：的焦點(diǎn)為，則圓F的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，解得或（舍去），將代入得A，B的坐標(biāo)分別為，.故，所以，所以拋物線C的方程為，圓F的方程為.（2）是，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)閽佄锞€的方程為，則，所以切線PM的方程為，即，①同理切線PN的方程為，②則由①②過(guò)，則，所以直線MN的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，又在圓F上，則，即，故為定值16.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟：(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．1．（2023·安徽黃山·二模）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)求解，可得，代入拋物線方程即可求解，（2）令，寫(xiě)出點(diǎn)處的切線方程，與拋物線聯(lián)立，利用得到，同理得到，再寫(xiě)出直線方程，將其與拋物線聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再結(jié)合拋物線定義即可證明.【詳解】（1）由題意可知，半徑為，由圓的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在在坐標(biāo)軸軸，故由對(duì)稱(chēng)性可知：軸于點(diǎn)，在直角三角形中，,因此故，將其代入拋物線方程中得，故拋物線方程為：（2）令，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,與聯(lián)立得①由相切得，代入①得故在點(diǎn)處的切線方程為，即為同理：點(diǎn)處的切線方程為，而兩切線交于點(diǎn)，所以有，則直線的方程為:，由得,所以于是，又點(diǎn)在圓上，所以,即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于設(shè)切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，然后將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用得到相關(guān)等式，再得到直線的方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到韋達(dá)定理式，最后利用拋物線定義寫(xiě)出線段長(zhǎng)乘積表達(dá)式，利用點(diǎn)在圓上進(jìn)行整體代入即可.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線分別與軸交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：為定值；(2)設(shè)直線的斜率為，證明：為定值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，則，寫(xiě)出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫(xiě)出拋物線在點(diǎn)、處的切線方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出直線的方程，再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，可求出MN，進(jìn)而可求出PQ，然后結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得的表達(dá)式，由此可求出的值.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，易知拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，接下來(lái)證明拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，即，所以，直線與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)，所以，的方程為，同理可知，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，同理可得，所以，.故為定值.（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，所以，，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，所以，，所以，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．3．（2023·河南·一模）已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出，即可得解；（2）方法一：設(shè)，求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出拋物線在點(diǎn)處和在點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)兩條切線均過(guò)點(diǎn)，從而可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，在證明平分，即可得出結(jié)論.方法二：設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，聯(lián)立方程，根據(jù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線?直線的方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意可得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：設(shè)，由，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線均過(guò)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足，所以，即，解得或，不妨設(shè)，則，易知，所以，所以，，所以，所以，所以平分，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以，為定值，得證.方法二：設(shè)切點(diǎn)為，由，得，所以過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，則，解得或，不妨設(shè)，則，所以直線的方程為，易知，所以直線的方程為，由，得，即，易得直線的方程為，直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，所以，則，為定值，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩切線過(guò)同一點(diǎn)求出切點(diǎn)，再證明平分，或者分別求出直線?直線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算.考點(diǎn)四、阿基米德三角形之面積問(wèn)題1．（2021高三·全國(guó)·競(jìng)賽）過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，點(diǎn)A?B為切點(diǎn)過(guò)A?B的直線l與x軸?y軸分別交于點(diǎn)P?Q兩點(diǎn)，則面積的最小值為.【答案】【詳解】解析：設(shè)，則l的方程為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.2．（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是軸下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，且分別交軸于兩點(diǎn).(1)求證：，，，四點(diǎn)共圓；(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，兩直線分別交于兩點(diǎn)，求的面積的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）在取定點(diǎn)Px0,（2）從斜率滿足的二次方程出發(fā)，可以對(duì)的斜率使用韋達(dá)定理，并可以使用表示的面積，二者結(jié)合后可將的面積表示成函數(shù)形式，再使用不等式證明，最后給出取到等號(hào)的例子即可.【詳解】（1）設(shè)Px0,y0，若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相切，則聯(lián)立后得到的關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.此即關(guān)于的二次方程的判別式等于零，即，得.另一方面，該直線與軸交于點(diǎn)，而該點(diǎn)與的連線的斜率為.所以，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線后，該切線與軸的交點(diǎn)到焦點(diǎn)和點(diǎn)的連線互相垂直.這就說(shuō)明，從而，所以，，，四點(diǎn)共圓.（2）由的定義知其方程為，設(shè)的斜率分別為，則根據(jù)第1小問(wèn)的解析，知都是關(guān)于的方程即的根.故，.由于均過(guò)點(diǎn)Px0,y0，故其方程分別為在中令，得，從而得到，同理.所以.由，可設(shè)，則，進(jìn)而得到.所以（這里使用了不等式）.另一方面，當(dāng)時(shí)，的斜率分別是，可求得，.從而此時(shí)，故.綜上，的面積的最小值是.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，再利用面積的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）證明出拋物線在點(diǎn)Ax1,y1處的切線方程為，可得出拋物線在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，其中，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)軸時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)軸時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)時(shí)，由題意可知，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，且，，則，可得，由題意可知，，則，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)時(shí)，到軸的距離最大，此時(shí)，的面積取最大值，即，則，故，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2聯(lián)立可得，即，解得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，所以，，則，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在軸左側(cè)，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，設(shè)，其中，則，，所以，，因?yàn)?，則，則，所以，，因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.1．（21-22高二上·福建龍巖·期中）畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用橢圓的離心率可得，分析可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，蒙日?qǐng)A的方程為，由已知條件可得，則為圓的一條直徑，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為8．(1)求拋物線M的方程；(2)若點(diǎn)Q在C上，QA，QB為M的兩條切線，A，B是切點(diǎn)（A在B的上方），求面積的最小值．【答案】(1)(2)16【分析】（1）根據(jù)條件確定F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為，從而求得，可得答案;（2）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，求出弦長(zhǎng)，再利用導(dǎo)數(shù)表示出QA，QB的方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出點(diǎn)Q到直線AB的距離，從而表示出，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可求得答案.【詳解】（1）由題意知，，圓C的半徑為，所以，即，解得，所以拋物線M的方程為．（2）設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，則，，．所以，因?yàn)?，所以或，則或，所以切線QA的斜率為，其方程為，即，同理切線QB的斜率為，其方程為．聯(lián)立方程組,解得,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C上，所以，且，，即，．滿足判別式的條件．點(diǎn)Q到直線AB的距離為，所以，又由，得，令，則，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，t取得最小值4，此時(shí)，所以面積的最小值為16．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求法以及和直線的位置關(guān)系中的三角形面積問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要有清晰的解答思路，即明確問(wèn)題的解決是要一步步向表示出三角形QAB的面積靠攏，難點(diǎn)在于繁雜的計(jì)算，要十分細(xì)心.3．（23-24高三下·重慶·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，是拋物線上位于軸兩側(cè)不對(duì)稱(chēng)的兩動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，且；（?。┣蟪鳇c(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線，在上任取一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，，求面積的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為；(2)（?。c(diǎn)坐標(biāo)為，（ⅱ）.【分析】（1）根據(jù)題意求出拋物線方程，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，求解即可；（2）（?。┯深}意可知，聯(lián)立方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）先求直線過(guò)定點(diǎn)，利用三角形面積公式及二次函數(shù)最值問(wèn)題即可求解.【詳解】（1）證明：由題意知F0,1，所以，所以拋物線，設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立，得，則，，由，得，因?yàn)?，，所以，解得或，因?yàn)槭菕佄锞€上位于軸兩側(cè)不對(duì)稱(chēng)的兩動(dòng)點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以直線方程，所以直線恒過(guò)一定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）（?。┯尚?wèn)（1）可知直線方程，，，設(shè)軸上的定點(diǎn)，由，得為的角平分線，即直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，即，所以，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)槲挥谳S兩側(cè)不對(duì)稱(chēng)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.（ⅱ）設(shè)，，，，，對(duì)求導(dǎo)得，，則拋物線在的切線方程為，同理拋物線在的切線方程為，又切線過(guò)，所以，，所以直線的方程為，即，整理得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離，聯(lián)立方程，得，，，，所以弦長(zhǎng)，所以的面積，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的面積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解答關(guān)鍵有兩個(gè)：一是把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零；二是利用弦長(zhǎng)公式得出三角形的底，利用點(diǎn)線距得出三角形的高，結(jié)合面積公式得出面積表達(dá)式.考點(diǎn)五、阿基米德三角形之切線垂直1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用拋物線的定義求出即可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立直線和拋物線的方程，得出韋達(dá)定理，設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，利用已知條件對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，寫(xiě)出切線方程，求出兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：，則焦點(diǎn)到直線的距離為：，所以拋物線的方程為：；（2）證明：把直線代入消得：，又，利用韋達(dá)定理得，由題意設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）可得：，則，所以，則切線的方程為：，切線的方程為：，則，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理得：，把代入整理得：，則，，則【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定義求拋物線的方程，直線與拋物線應(yīng)用.做這道題的時(shí)候要注意，利用韋達(dá)定理，得出兩根的關(guān)系，設(shè)出兩切線的交點(diǎn)，認(rèn)真計(jì)算.屬于中檔題.1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直.【答案】（1）和；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率，由此可求得切線的方程．（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率間的關(guān)系，根據(jù)直線垂直的條件可證得切線和互相垂直.【詳解】解：（1）由題意，開(kāi)口向上的拋物線的切線斜率存在，設(shè)切線斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，由，解得，所以切線的方程分別為和，即切線方程分別為和；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，由，得，記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以切線和互相垂直.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求拋物線的切線方程的方法：方法一：將拋物線轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，這在開(kāi)口朝上的拋物線中經(jīng)常用到。方法二：設(shè)切線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，采用判別式法求解．2．（2024·廣東汕頭·三模）已知雙曲線：的漸近線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)記雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，求的值.(3)探究圓：上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)作雙曲線的兩條切線，互相垂直.【答案】(1)；(2)；(3)存在.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得的方程.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求解即得.（3）設(shè)出雙曲線的兩條切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式求出兩條切線交點(diǎn)的軌跡方程，再判斷與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】（1）由對(duì)稱(chēng)性知，雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去x得，顯然，，則，即，所以.（3）圓上存在點(diǎn)，使得過(guò)作雙曲線的兩條切線互相垂直.若雙曲線的兩條切線有交點(diǎn)，則兩條切線的斜率存在且不為0，設(shè)雙曲線的兩條切線分別為，將代入消去得：，由得，解得，因此，設(shè)兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即有，且，即，于是是方程的兩根，而，則，即，從而兩條切線們交點(diǎn)的軌跡為圓，而的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，顯然，滿足，即圓與圓相交，所以圓上存在點(diǎn)，使得過(guò)作雙曲線的兩條切線互相垂直.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．考點(diǎn)六、阿基米德三角形之角度問(wèn)題1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一條準(zhǔn)線的方程為，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差為2．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)上任一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)造關(guān)于的方程組，解出即可；（2）畫(huà)出草圖，分類(lèi)討論，當(dāng)位于點(diǎn)處時(shí)，切線與軸垂直，不合題意，設(shè)切線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由得，在上，知道，得到，同理得切線的方程為，進(jìn)而得到直線的方程為，再與橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，后將四邊形面積表示出來(lái)，即，借助對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求最值，再借助和角正切公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，解得所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖，取上任意一點(diǎn)M4,t，設(shè)，當(dāng)位于點(diǎn)處時(shí)，切線與軸垂直，不合題意，故．設(shè)切線的方程為①，聯(lián)立整理得，由，得．因?yàn)樵谏?，所以，故，代入①式，整理得，同理得切線的方程為．因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過(guò)M4,t，所以，所以直線的方程為．聯(lián)立整理得，所以②．顯然與異號(hào)．由題意知，所以．設(shè)，則，將②式代入并整理，得．因?yàn)?，所以易知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最大值，為36．所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大面積為6．此時(shí)直線的方程為，故直線與軸垂直．設(shè)與的交點(diǎn)為，顯然是橢圓的右焦點(diǎn)，所以，所以，所以．2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)作軌跡的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.【答案】(1)(2)猜想，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由橢圓，可得，的坐標(biāo)，從而可得動(dòng)點(diǎn)到定直線與定點(diǎn)的距離相等，由此可得軌跡的方程；（2）猜想，先求切線AP、BP的方程，聯(lián)立可得P的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得、、的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，可得，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）解：，，橢圓半焦距長(zhǎng)為，，，，動(dòng)點(diǎn)到定直線與定點(diǎn)的距離相等，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定直線為準(zhǔn)線，定點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，軌跡的方程是；（2）解：猜想證明如下：由（1）可設(shè)，，，則，切線的方程為：同理，切線的方程為：聯(lián)立方程組可解得的坐標(biāo)為，在拋物線外，，，同理1．（2024·全國(guó)·二模）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn).(1)若，求的方程；(2)當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在唯一的直線，使得？并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求出拋物線方程.（2）設(shè)直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，再求出切線方程并聯(lián)立求出點(diǎn)，由已知結(jié)合斜率建立方程，利用導(dǎo)數(shù)探討方程有唯一實(shí)根即可.【詳解】（1）由，得直線的斜率為，方程為，即，由消去得：，設(shè)，則，由，得，解得，所以拋物線的方程是.（2）由（1）知，拋物線的方程是，直線不垂直于軸，設(shè)直線，顯然，由消去并整理得，，則，設(shè)拋物線在處的切線方程為，由消去得：，由，得，于是拋物線在處的切線方程為，同理拋物線在處的切線方程為，設(shè)點(diǎn)，由，，得，，即點(diǎn)，于是直線的斜率分別為，若存在直線，使得，則，設(shè)直線的傾斜角分別為，則，由，得或，因此，即，則，，整理得，化簡(jiǎn)得，令，求導(dǎo)得，顯然，即恒成立，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，因此存在唯一，使得所以存在唯一的直線，使得.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.考點(diǎn)七、阿基米德三角形之點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題1．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，圓是上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，求的最小值；(2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線分別交于兩點(diǎn)（異于）.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，圓心，半徑為，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以的最小值；（2）由題設(shè)，切線斜率一定存在，設(shè)切線的斜率為，所以切線的方程為：，由圓的切線性質(zhì)可知：，設(shè)，，是方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，因此，即，且，所以由圓的切線性質(zhì)知：，，所以的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，線段的中垂線與直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形的面積，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）連接，，確定，計(jì)算，確定軌跡為橢圓，排除特殊點(diǎn)得到答案.（2）確定切線方程，得到，得到直線的方程為，計(jì)算，計(jì)算面積得到，得到，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.【詳解】（1）如圖所示：連接，，，為線段的中點(diǎn)，是線段的垂直平分線，故，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.由橢圓的定義可知，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，即，解得，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，與重合，不符合題意，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又，整理得到切線方程為，同理可得時(shí)成立，曲線點(diǎn)Mx1,y1處的切線又因?yàn)榍芯€過(guò)，所以.同理可得，故直線的方程為.所以.

設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，因?yàn)橹本€的方程為，所以.又因?yàn)樵谥本€的兩側(cè)，故，由于點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即有：，兩式相減得：，故可得：，所以，令，則，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故可知的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故，其最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的軌跡方程，面積問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用換元法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值是解題的關(guān)鍵，此方法是?？嫉臄?shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.2．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線和直線的斜率分別為，，證明：的值為定值；(3)過(guò)雙曲線上不同的兩點(diǎn)，分別作雙曲線的切線，若兩條切線相交于點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)離心率及過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，求出、，即可得解；（2）設(shè)，（且），則，利用斜率公式及計(jì)算可得；（3）設(shè)，兩點(diǎn)處的切線方程為，，依題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由得到，同理可得，再由滿足兩直線方程，求出點(diǎn)軌跡方程，即可得解.【詳解】（1）依題意可得，解得，所以雙曲線方程為；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在雙曲線的右支，設(shè)，（且），則，，所以，為定值.（3）依題意可得，兩點(diǎn)處的切線的斜率都存在且不為，設(shè)，兩點(diǎn)處的切線方程為，，依題意，由，消元整理得，則且，整理得到，同理可得，又點(diǎn)在兩切線上，所以，所以，，所以、為關(guān)于的方程的兩根，即的兩根，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)利用整體思想、設(shè)而不求，計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.考點(diǎn)八、阿基米德三角形之參數(shù)問(wèn)題1．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線分別與軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線交于P、Q兩點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用拋物線的準(zhǔn)線求標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)直線方程與坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的切線方程可求得坐標(biāo)，再含參表示直線，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求MN,PQ，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€E的準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，則，所以，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線有，下面先求拋物線在點(diǎn)處的切線方程，當(dāng)時(shí)，設(shè)該切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立有，則，又，即，則，則，當(dāng)時(shí)，切線方程為x=0，滿足上式，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，所以拋物線E在處的切線方程為，在B處的切線方程為，所以，則，直線分別與拋物線方程聯(lián)立有，設(shè)，則，由弦長(zhǎng)公式知，同理有，又，所以，則,即，所以存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)A、B坐標(biāo)利用切線方程可含參表示C、D坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)斜式可表示直線，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算MN,PQ1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，連接，設(shè)的斜率分別為，求的值；(3)設(shè)，求的值.【答案】(1)(2)0(3)1【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出，，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)方程為，聯(lián)立和拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，同理可得，表示出代入化簡(jiǎn)即可得出答案；（3）聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長(zhǎng)公式求出和，即可證明點(diǎn)共圓，即可求出的值.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率為，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的方程為，∵切線過(guò)點(diǎn)，所以，∴，同理，，所以為方程的兩根，∴，，，∴，，∵∴，∴拋物線方程為.（2）設(shè)方程為，聯(lián)立和拋物線方程，得∴，，解得：，設(shè)，，，∴，同理，.∴.∴.（3），∴，由（2）可得，，同理，∴，∴點(diǎn)共圓，，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．1．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【詳解】設(shè)，易知的極線方程為，即可得弦必過(guò)，易得圓上，過(guò)的最短的弦長(zhǎng)為．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，弦過(guò)其焦點(diǎn)，分別過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，點(diǎn)到直線距離的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】設(shè)，設(shè)出過(guò)點(diǎn)過(guò)處的切線方程與拋物線聯(lián)立，由，得出其斜率，化簡(jiǎn)點(diǎn)過(guò)處的切線方程，同理得出點(diǎn)過(guò)處的切線方程,根據(jù)題意得出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得出答案.【詳解】設(shè)，設(shè)過(guò)處的切線方程是，聯(lián)立，得，由題意，即，則在處的切線方程為，同理，處的切線方程為，設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在兩條切線上，所以，，則直線的方程是.又過(guò)其焦點(diǎn)，易知交點(diǎn)的軌跡是，所以，：，所以交點(diǎn)到直線的距離是，所以當(dāng)時(shí)距離最小值為2.故選：D3．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱(chēng)圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立后得到，得到答案.【詳解】依題意，，設(shè)直線，聯(lián)立，則，解得或，不妨設(shè)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，，，解得，故直線的斜率，故直線，同理可得直線的斜率，故直線，聯(lián)立，解得，即，則.故選：C.4．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求C的方程；(2)過(guò)A，B作C的兩條切線交于點(diǎn)P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點(diǎn)，且直線DE與C相切，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)Ax1,y1，（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PA、PB方程，進(jìn)而求得，設(shè)，求得、，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示與，即證，由（1），化簡(jiǎn)計(jì)算即可證明.【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，得，則，，，則，故，所以C的方程為．（2）由（1）知，因?yàn)閽佄锞€C：，則，則，，則直線PA