2024-2025學(xué)年重慶市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1、已知a=1,2,?y,b=x,1,2，且A． B．x=12,y=?4C．x=2,y=14 2、已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則（

）A． B． C．2 D．3、如圖，四棱錐中，底面為矩形且平面，連接與，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）A．PD與AB B．PB與DAC．PC與BD D．PA與CD4、已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．5、已知ΔABC的頂點(diǎn)，，其垂心為，則其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．6、如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積不是定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形7、在平面直角坐標(biāo)系中，以，，為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各項(xiàng)中不可能作為平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的是（

）A． B． C． D．8、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分．）9、如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．10、下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量a,ba≠B．若空間四個(gè)點(diǎn)，PC=14PAC．已知向量a=1,1,x,b=D．任意向量a,b11、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長(zhǎng)度的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則的值為.13/已知直線的斜率k∈?3,1，則直線的傾斜角的取值范圍是.14、在正三棱錐P-ABC中，OO∈PD若O?ABCP?ABC=14四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15、(本題滿分13分)如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)試用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.16、(本題滿分15分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，，．(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．17、(本題滿分15分)四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求證：；(2)求直線EC與平面EFD所成角的正弦值．z18、(本題滿分17分)如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為.zyx

yx(1)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得直線平面，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若二面角的大小為，求P到直線的距離.19、(本題滿分17分)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；（2）設(shè)（1）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，平面EFB和平面ACB的夾角為．求證：sinθ=sinαsinβ．高二上期第一次教學(xué)檢測(cè)解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1、已知a=1,2,?y,b=x,1,2，且A． B．x=12,y=?4C．x=2,y=14 【正確答案】B【詳解】解：，且∥，則，因?yàn)椤危?，?x=λ(1?x)2=λ解得.故選：B.2、已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則（

）A． B． C．2 D．【正確答案】C【詳解】依題意可知，解得，故選：C．3、如圖，四棱錐中，底面為矩形且平面，連接與，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）A．PD與AB B．PB與DAC．PC與BD D．PA與CD【正確答案】C【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槠矫?，平?所以,因?yàn)榈酌鏋榫匦危?,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正確；對(duì)于B,因?yàn)槠矫妫矫?所以,因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所?,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以與不垂直，所以與不一定垂直，所以與不一定垂直，所以與的數(shù)量積不一定為0，故C正確．對(duì)于D,因?yàn)槠矫?，平?所以,因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所?,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正確.故選：C.4、已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．【正確答案】A【詳解】如圖所示由題意可知，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，所以的最大值為4.故選:A.5、已知ΔABC的頂點(diǎn)，，其垂心為，則其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】為ΔABC的垂心

，又，直線斜率存在且，設(shè)，則，解得：

本題正確選項(xiàng)：6、如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積不是定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【正確答案】B【詳解】對(duì)于A，以D為原點(diǎn)，DA為軸，DC為軸，DD1為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),設(shè),,,，直線D1P與AC所成的角為，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，正方體ABCD-ABCD中，，平面，平面，∴平面平面,故B正確;對(duì)于C，,P到平面的距離BC=1，∴三棱錐的體積:為定值，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)，若的延長(zhǎng)線交于，如圖，此時(shí)截面為四邊形，若的延長(zhǎng)線交于，設(shè)交點(diǎn)為，此時(shí)截面為，設(shè)，則，，故，故不為直角三角形，故D錯(cuò)誤.7、在平面直角坐標(biāo)系中，以，，為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各項(xiàng)中不可能作為平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為．對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，，，．∵，，∴四邊形不是平行四邊形．A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)椋辞?，故是平行四邊形，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)?，即且，故是平行四邊形，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)?，即且，故是平行四邊形，D正確；故選：A．8、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段即可得結(jié)果.【詳解】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分．）9、如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．【正確答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出，從而求出；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：對(duì)于C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確.故選：BD.10、下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量a,ba≠B．若空間四個(gè)點(diǎn)，PC=14PAC．已知向量a=1,1,x,b=D．任意向量a,b【正確答案】AB【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷ACD，由空間向量的基本定理與共線定理可判斷B【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，則，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋瑒t，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C：，若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時(shí)，，即，由與不共線得，于是得當(dāng)且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：是的共線向量，而是的共線向量，故D錯(cuò)誤，故選：AB11、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長(zhǎng)度的最小值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)直線和平面所成的夾角，點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成的角以及異面直線距離的計(jì)算方法進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由題意得：正方體的棱長(zhǎng)為2對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：過(guò)作，過(guò)作，連接PQ為異面直線之間的距離，這時(shí)距離最??；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則為直角三角形故當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則的值為.【正確答案】0或5【分析】分類討論直線斜率不存在與存在兩種情況，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以的斜率存在，而經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其斜率可能不存在，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，即，此時(shí)的斜率為0，則，滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，，即，此時(shí)直線的斜率均存在，由得，即，解得；綜上，a的值為0或5.故0或5.13/已知直線的斜率k∈?3,1，則直線的傾斜角的取值范圍是答案：0，π14、在正三棱錐P-ABC中，OO∈PD若O?ABCP?ABC=14答案：8四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15、(本題滿分13分)如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)試用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出即可；（2）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)代入計(jì)算即可.【詳解】（1），，故∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，故.（2）由題意得，故，故.16、(本題滿分15分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，，．(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，DE，分析圖中的幾何關(guān)系，即可證明；（2）根據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，則∠PFE即為二面角P—AD—B的平面角.【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)E，連接PE，DE，則，由已知可得，∴，平面ABCD，平面ABCD，∵∴PE⊥平面ABCD，∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；（2）過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，連接PF，則AD⊥平面PEF，∴，∴∠PFE即為二面角P—AD—B的平面角，在中，EF是AD邊上的高，運(yùn)用等面積法得：，，∴，∴二面角P－AD－B的余弦值為；綜上，二面角P－AD－B的余弦值為.17、(本題滿分15分)四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求證：；(2)求直線EC與平面EFD所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，，由余弦定理，所以，則，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；z18、(本題滿分17分)如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為.zyx

yx(1)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得直線平面，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若二面角的大小為，求P到直線的距離.【正確答案】(1)存在，在平面可以找到一點(diǎn)，使得直線平面(2)【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，即，故，從而找到點(diǎn)M的位置；（2）先求出是二面角的平面角，大小為，得到，設(shè)，則，建立空間直角坐標(biāo)系，求出方向上的單位向量，求出P到直線的距離.【詳解】（1）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，∴，，即，四邊形為平行四邊形，即.，∴，故，平面平面，平面，平面，平面，故在平面內(nèi)可以找到一點(diǎn)，使得直線平面；（2）如圖所示，，即，且異面直線與所成的角為，即，又平面，平面.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED所在直線為軸，EB所在直線為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=a,則P(?1,0,a),D(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0)∴BC可求得平面PBC的法向量為n=(0,a,1),設(shè)PD與平面PBC所成角θ，則cosθ=∴sinθ=1010又∵a>1,∴a=2.∴P(?1,0,2)∴EP=(?1,0.2)∴點(diǎn)P到直線CE的距離為EP219、(本題滿分17分)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；（2）設(shè)（1）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，平面EFB和平面ACB的夾角為．求證：sinθ=sinαsinβ．解：（1）直線l∥平