2023版大一輪數(shù)學(xué)人教A版 第6節(jié) 雙曲線

第6節(jié)雙曲線

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,乃的距離差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于尸聲2|)的點(diǎn)的軌

跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.其

數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合尸11一|M尸2||=2a},|尸1尸2|=2C,其中a,c為常數(shù)且

a>0,c〉0.

(1)若嶼，則集合P為雙曲線；

(2)若。=°,則集合P為兩條射線;

(3)若紅，則集合P為空集.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

以—

屋1

標(biāo)準(zhǔn)方程

(。>0,/?>0)(?！?,/?>0)

圖形一

VIB.X

續(xù)表

范圍或y￡Rx￡R,yW一〃或

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)4（一。，0）,A2（a,0）Ai（0,—a）,A2（0,a）

ba

漸近線y=±-x

性7a

質(zhì)

離心率e=：ee（l,4-0°）

線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|AiA2|=2a；線段3出2

實(shí)虛軸叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度舊及|=26。叫做雙曲線的

實(shí)半軸長(zhǎng)，人叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

a,b,C的關(guān)系c2=a2+b2

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

2

1.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為2絲b■.

_c

離心率

2.ea■

3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于啦.

4.若漸近線方程為)=±3，則雙曲線方程可設(shè)為「一W=%GWO).

5.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為。

6.若尸是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PFl|min=

c+“，|/>/72|min=C—fl.

7.焦點(diǎn)三角形的面積：P為雙曲線上的點(diǎn)，P,f2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且NBPB

廬

=仇則△BPf'2的面積為一

C7

tanT

診斷自測(cè)

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“x”)

(1)平面內(nèi)到點(diǎn)為(0,4),尸2(0,-4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲

線?()

⑵平面內(nèi)到點(diǎn)Fi(O,4),尸2(0,-4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()

⑶方哈

n=1(加〃〉0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.)

29

(4)雙曲線”一土=2("?>0，〃>。，2#0)的漸近線方程是5±5=0.()

9222

(5)若雙曲線系一$=l(a〉0,?！?)與方一，=1(?！?，匕〉0)的離心率分別是e\,ei,

則=+A()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V

解析⑴因?yàn)閨|MA|一附網(wǎng)|=8=尸產(chǎn)2],表示的軌跡為兩條射線.

(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.

(3)當(dāng)機(jī)>0,〃>0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而/”V0,〃<0時(shí)則表示焦點(diǎn)

在y軸上的雙曲線.

〉教材衍化

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,-1),且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為

答案f-8=1

解析設(shè)雙曲線方程為/一產(chǎn)=〃2#0),把點(diǎn)A(3,-1)代入，得2=8,故所求

雙曲線方程為《一5=1.

OO

3.已知雙曲線f—^=l上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4,那么點(diǎn)P到

另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于

答案6

解析設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為Fi,Fi,|PFi|=4,則||PFI|-|PF2||=2,故|尸網(wǎng)=6或2,

又雙曲線上的點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離的最小值為c-a=，萬(wàn)一1,故|PB|=6.

?■考題體驗(yàn)

4.(2020?全國(guó)I卷)設(shè)四，B是雙曲線。：/一(=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

點(diǎn)P在。上且|OP|=2,則△PBF2的面積為()

7C.|D.2

A，2B.3

答案B

解析法一

由題知a=l,h=y/3,c=2,Fi（-2,0）,F2（2,0）,

如圖，因?yàn)閨OFi|=|OB|=eP|=2,所以點(diǎn)尸在以F1F2為直徑的圓上，故

則|PFl|2+|Pf2|2=（2c）2=16.

由雙曲線的定義知||PR|一伊敢||=2。=2,所以|尸尸||2+|尸尸2|2一2|「后||尸尸2|=4,所

以|PR||PR|=6,

所以△PFF2的面積為夕PFI||PF2|=3.故選B.

法二由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)仍在x軸上，且尸歸2|=2/兩

.W_Q_193

=4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Qo,yo）,貝13解得伙）|=].

〔..+.=2,

113

所以△PF1E2的面積為引為尸2卜僅0|=5*4*3=3.故選B.

5.（多選題）（2021.濟(jì)南模擬）已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,啦），（6,VTI）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.E的標(biāo)準(zhǔn)方程為專一尸=1

B.E的離心率等于小

1232

C.E與雙曲線與V一Y抵=1的漸近線相同

2O

D.直線x—啦y—1=0與￡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

答案ACD

9m+2n—1,

解析設(shè)雙曲線方程為g2+〃y=i（如zVO）,由已知得解得

36m+lln=l,

1

m=q,y2

3故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為尸=1,故A選項(xiàng)正確；

n=—l,

由離心率6="*=乎，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)榍€E的漸近線方程為＞=/=串，又由雙曲線T一看=1的漸近線方

程為了=±春=4?x,故c選項(xiàng)正確；

,一啦y-]=0,

聯(lián)立整理得產(chǎn)-2色y+2=0,由/=（一2啦）2—4X2=0,所以

白一產(chǎn)1,

直線x—6y—1=0與E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.

6.（2020?北京卷）已知雙曲線C：=一（=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為;

C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是.

答案（3,0）小

解析由卷一七=1,得＜?=/+。2=9,解得c=3,又焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲

線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.

雙曲線的一條漸近線方程為,即x—y[2y=0,

3

所以焦點(diǎn)（3,0）到漸近線的距離為d=

業(yè)2+（一6）2小.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦-題型剖析

考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程自主演練

1.已知雙曲線C：$一%=1（。＞0,人＞0）的漸近線方程為y=±+，且其右焦點(diǎn)為

（5,0）,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

答案B

解析由題意得￡=*。2=/+廬=25,所以a=4,b=3,所以所求雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為專一會(huì)=1.

10y

2.與橢圓Y+V=l共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)尸（2，1）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是（

A.^-y2=1B.y-/=1

C.y-^-=1D.x2—^-=1

答案B

解析法一橢圓Y+V=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土小，。）?

設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，一*=1（。＞0,方＞0）,

因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)P（2,1）,

41

所以不一筐=1，又/+序=3,

解得。2=2,序=1,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怖一戶］.

法二設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為廣一+盧1=1（1?4）,

4-z1一4

將點(diǎn)尸（2,1）的坐標(biāo)代入可得4±+±1=1,

H-Z1X

解得2=2（4=—2舍去），

Y2

所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為5一y2=l.

3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,2巾），。（一66，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

答案^—―=1

口水25751

解析設(shè)雙曲線方程為m~+〃_/=1（〃?〃＜0）,

因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,2巾），2（-6A/2,7）,

1

9加+28〃=1,m=~T5f

所以解得＜

72/n+49〃=l,1

〃二正

故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為尋一卷=1.

4.焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10,且與雙曲線?一/=1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程是.

案——■,^~=1

口木5201

解析設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9一/=—心0),即U1，則有42+A

=25,解得45,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為"一天=1.

感悟升華1.用待定系數(shù)法求雙曲線的方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上,

設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定層，從的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的

22

位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為布一，="2W0)或〃狀2—〃y2=i(機(jī)〃>0),

再根據(jù)條件求解.

92

￡=1有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為￡一￡=42#()).

2.與雙曲b1

考點(diǎn)二雙曲線的定義及應(yīng)用師生共研

【例1】(1)(多選題)(2021.重慶診斷)在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓Ci：(x+2)2

+9=齊和C2：(%—2)2+y2=d?其中常數(shù)r\,廢為正數(shù)且滿足n+r2V4,一個(gè)

動(dòng)圓尸與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡可以是()

A.兩個(gè)橢圓

B.兩個(gè)雙曲線

C.一個(gè)雙曲線和一條直線

D.一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線

(2)已知為，五2為雙曲線C：_?-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在c上，NFIPF2=

60°,則△EiPB的面積為.

(3)已知F是雙曲線，一為=1的左焦點(diǎn)，A(l,4),P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，

則|PF|+|陽(yáng)的最小值為.

答案(1)BC(2)2事(3)9

解析(1)由題意得，圓Ci的圓心為C(—2,0),半徑為n,圓C2的圓心為C2(2,

0),半徑為卷，所以|GC2|=4,設(shè)動(dòng)圓P的半徑為匚

因?yàn)閞i+r2<4,所以兩圓相離，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)外切

一個(gè)內(nèi)切.

①若均內(nèi)切，則|PC|=r—ri,|PC2|=r——2,此時(shí)||PC|一|「。明=仍一廢|,

當(dāng)打工底時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以C,C2為焦點(diǎn)的雙曲線，

當(dāng)n=元時(shí)，點(diǎn)P在線段C1C2的垂直平分線上.

②若均外切，則|PG|=r+n,|PC2|=r+r2,

此時(shí)IIPCil一方。2||=忻一聞,則點(diǎn)尸的軌跡與①相同.

③若一個(gè)外切，一個(gè)內(nèi)切，不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則

\PC\\-r-r\,\PC2\=r+n,IPC2I-\PC\|=n+r2.

同理，當(dāng)與圓C2內(nèi)切，與圓。外切時(shí)，

\PCi\~\PC2\=n+r2.

此時(shí)點(diǎn)p的軌跡是以a,C2為焦點(diǎn)的雙曲線，與①中雙曲線不一樣.

(2)不妨設(shè)點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，

則|PFi|一|尸丘2|=2a=2/，

在△RPB中，由余弦定理，得

22

\PFI\+\PF2^-\FXF2\1

COSZF1PF2-2\PF\\-\PFI\

，|PFIHPF2|=8,

o

.?.SAFiPf2=1|PFi|-|PF2|-sin60=2V3.

(3)因?yàn)槭请p曲線:一方=1的左焦點(diǎn)，所以F(—4,0),設(shè)其右焦點(diǎn)為4(4,

0),則由雙曲線的定義可得|PQ+|網(wǎng)=2a+|P”|+I網(wǎng)22a+|A”|=4+

yl(4-1)2+(0-4)2=4+5=9.

感悟升華1.利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)

要求可求出曲線方程；

2.在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PFI|—|PE2||

=2a,運(yùn)用平方的方法，建立與的聯(lián)系.

92

【訓(xùn)練11(1)(2020.全國(guó)III卷)設(shè)雙曲線C：，一5=1(。＞0,比＞0)的左、右焦點(diǎn)

分別為Fi,F2,離心率為小.P是C上一點(diǎn)，且RPJ_F2P.若△PBF2的面積為4,

則。=()

A.1B.2C.4D.8

(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(—5,0),8(5,0),△ABC內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上，

則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()

一疝=l(x>2)B：_，=l&>2)

jD^--=i

=2i442

答案(1)A(2)A

解析⑴法一設(shè)|PR|=a,|P@|=〃，尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，則SAPFF2=g

機(jī)〃=4,m—n=2a,m2+n1=4c1,又e=/=小，所以a=l.

廬

法二由題意得，SaPFi尸2=而詬7=4,得〃=%

9

又呆=5,c2=h2+a2,所以a=l.

(2)

如圖，△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G,E,F.

|AG|=|AE|=7,\BF]=\BG\=3,\CE\=\CF],

所以|CA|-|C3|=HE|—|B/1=|AG|-|8G|=7-3=4.

根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A,5為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，方

程為彌=1(%>2).

考點(diǎn)三雙曲線的性質(zhì)多維探究

角度1求雙曲線的漸近線

【例2】(2019?江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線￡=1(">0)經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是.

答案y=±y12x

解析因?yàn)殡p曲線/—$=13>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),所以9—8=13>0),解得。=啦,

即雙曲線方程為：=i,其漸近線方程為^=±7^-

感悟升華雙曲線,一#=l(a>0,Z?>0)的漸近線是由為一$=0,即得兩漸近線

方程衿=0.

角度2求雙曲線的離心率

29

[例3](1)(2021?長(zhǎng)沙調(diào)研)已知雙曲線，一$=1(a>0,/?>0)的頂點(diǎn)到漸近線的

距離為米則該雙曲線的離心率為()

R,r3口維

A.2小D?zi-x.3

_22

(2)(2020?全國(guó)I卷)已知F為雙曲線C：：一方=1(?！?,匕〉0)的右焦點(diǎn)，A為C

的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸.若的斜率為3,則C的離心

率為

答案(1)D(2)2

解析⑴由題意，知點(diǎn)他，0)到直線桁一到=0的距離為會(huì)所以彳=\ab\

4所以e

(2)點(diǎn)8為雙曲線的通徑位于第一象限的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為(c,與

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(a,0),

玫

?.SB的斜率為3,：.—=3

c-a

“心―足c+a

即a(i===6+1=3,…工

感悟升華求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

c2cr+b2h2.

(1)求a,b,c的值，由

a2—a2=1+”直接求e.

(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于〃=02一“2消去乩然后轉(zhuǎn)

化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.

【訓(xùn)練2】（1）（多選題）（2021.青島模擬）已知雙曲線。的方程為*一?=1,則下

107

列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8

B.雙曲線C的漸近線方程為^=土本

C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3

D.雙曲線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為；

92

（2）已知雙曲線C：，一方=1（。＞0,方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,Fi,一條漸近

線為/,過(guò)點(diǎn)尸2且與/平行的直線交雙曲線C于點(diǎn)M,若|MQ|=2|MF2|,則雙曲

線C的離心率為（）

A.巾B.小C.小D.A/6

答案（l）ABC（2）C

解析（1）由題意知，a=4,b=3,所以c=da2+82=g42+32=5,對(duì)于A,雙

曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=8,故A正確；

對(duì)于B,雙曲線C的漸近線方程為了=±夕=擊，故B正確;

13X51

對(duì)于C,雙曲線。的焦點(diǎn)為（±5,0）,其到漸近線的距離為=3,故C正

^/42+32

確;

對(duì)于D,當(dāng)雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)位于y軸的同側(cè)時(shí)，該頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離即雙曲

線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值，為1,故D錯(cuò)誤.

b

⑵法一不妨設(shè)漸近線/的方程為y=%,則點(diǎn)M在第四象限，由雙曲線的定義

知|MR|—|MB|=2a,又|MQ|=2|M3|,所以|MB|=4a,|MB|=2a.設(shè)過(guò)點(diǎn)尸2且

與I平行的直線的傾斜角為a,則tana=（,所以cosa=a*所以

cosNFiF2M琮在2M中，由余弦定理cosNFiBM=向正2|2+|MB|2一匹M2

2\FIFI\-\MF2\

（2c）2+（2。）2—（4。）2“E/口ccit,cr-

皆「=--------2-"＞c-2a---------，整理俗C2=5/,即，=小出所以e=/=小.

法二不妨設(shè)漸近線/的方程為y=，，則由M&〃/知，直線MB的斜率為今

b+c2

方程為>=如一C），代入雙曲線方程得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)砌=下［.由雙曲線的定

義知|MB|—|MB|=2a,又|MB|=2|MF2|,所以|MB|=4a,|MF2|=2a.

設(shè)過(guò)點(diǎn)尬且與I平行的直線的傾斜角為a,則tana=，，所以cosa=^==p=p

cr+c2

C

JC=p整理得理=5/，即0=小4,所以e=卜小

所以cosa=—2

考點(diǎn)四雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用師生共研

2

【例4】（1）已知MS）,yo）是雙曲線C：，一尸=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)\,F2是。的兩

個(gè)焦點(diǎn),若后1.麻12<0,則州的取值范圍是（

AT由B(需

CT"明

（2）設(shè)尸為雙曲線C：￡一方=13>0,匕〉0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以"為直

徑的圓與圓f+y2=/交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=QF|,則。的離心率為（）

ASB.小C.2D.小

22

（3）（2021.淮南一模）已知雙曲線疝x一方=1S〉O）的左、右焦點(diǎn)分別為Ei,Fi,過(guò)點(diǎn)

Fi的直線交雙曲線右支于A,B兩點(diǎn),若△ABFi是等腰三角形，且/A=120。,

則△ABFi的周長(zhǎng)為（）

A呼+8

B.4(^2-1)

C邛+8

D.2（小一2）

答案(1)A(2)A(3)A

7

解析⑴因?yàn)镕i（一木,0）,尸2（小，0）,y-yg=l,所以而?標(biāo)2=（一小一xo,

—yo）?（小—x（）,—yo）="3<0,即3角一1<0,解得一坐<y

⑵

設(shè)雙曲線C：^2=1(?>0,匕〉0)的右焦點(diǎn)E的坐標(biāo)為(c,0).則c=\Ja2+b2,

如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|PQ=|OP|可知,PQ是以0尸為直徑的圓的直徑，

且PQLOF.設(shè)垂足為連接OP,則|OP|=a,|OM=|MP|奇在RCOPM中，

得（）故§=&,

|OMF+|MP[2=|0P|29+6=/,即e=啦.

（3）

士

/TA2

22

由雙曲線1?一方=1（。＞0）,可得4=2,

如圖所示，設(shè)|A尸2尸」,

\BF2\=n.

可得|AFi|=4+m,

|BFi|=4+n.

\AFi\=\AB\,

.'.4-\-m=m+n,解得n=4.

作ADLBFi,垂足為。，則。為線段8R的中點(diǎn),ZF\AD=60°,

率（4+機(jī)）,.?.*（4+a）X2—4+〃,

即-\/§（4+w）=4+幾

又〃=4,代入解得〃?=華一4.

-喈.故選A.

.?/XABF\的周長(zhǎng)一4+"z+/n+〃+4+〃一8+2（羽+〃）—81

感悟升華1.雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用涉及知識(shí)較寬，如雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方

程、對(duì)稱性、漸近線、離心率等多方面的知識(shí)，在解決此類問(wèn)題時(shí)要注意與平面

幾何知識(shí)的聯(lián)系.

2.與雙曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的解題思路

（1）若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解.

（2）若條件中沒(méi)有不等關(guān)系，栗善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系

來(lái)解決.

【訓(xùn)練3】（1）（2020.全國(guó)II卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C：捻一狹=

1（?>0,小>0）的兩條漸近線分別交于。，E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8,則。的

焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

（2）已知點(diǎn)（1,2）是雙曲線，一￡=l（a〉0,8>0）上一點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范

圍是（）

A.（1,?。〣.（l,坐）C.（小，+°°）D.（坐,

答案（1）B（2）C

解析（1）不妨設(shè)。位于第一象限，雙曲線的漸近線方程為'=士3，分別與x=a

聯(lián)立，可得。（a,b）,E（a,-b）,

則|?！陓=24

**?S^ODE=3義。X\DE\=亍1X2b=ab=8,

c2=a2+b2^2ab=16.

當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=2加時(shí)，等號(hào)成立.

；.c2的最小值為16,；.c的最小值為4,

的焦距的最小值為2X4=8.

214h1

（2）已知點(diǎn)（1,2）是雙曲1/一方v=l（a>0,比>0）上一點(diǎn),得示一彥=1,即宗=店十

4,

所以e所以e>小.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.已知雙曲線了-y2=i（a〉o）的離心率是小，則“=（）

A.#B.4C.2D.g

答案D

解析由雙曲線方程\一丁=1,得〃=1,.?.02=&2+1.

C2?2+111

.?.5=e0=丞=二廠=1+廬

結(jié)合a>0,解得。=g.

2.（2020?江蘇卷改編）在平面直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，若雙曲線”一上=13>0）的一

條漸近線方程為丫=?，則該雙曲線的離心率是（）

A.y/2B.1D.3

答案B

解析由題意，丹等,所以。=2,所以，=后存=3,所以該雙曲線的離

心率e=~a=x2.

22

3.（多選題）（2021.武漢質(zhì)檢）已知方程r廣三v十七=1表示曲線C,則下列判斷正

4-tt—1

確的是（）

A.當(dāng)1VIV4時(shí)，曲線C表示橢圓

B.當(dāng)r>4或/<1時(shí)，曲線。表示雙曲線

C.若曲線。表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1</<|

D.若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則f>4

答案BCD

SY2V2

解析由4一/」一1,得片去此時(shí)方程上+/4=1表示圓，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

24—ft~1

由雙曲線的定義可知（4一。"一1）VO時(shí)，即tVl或，>4時(shí)，方程士］+占'=1

表示雙曲線，故B選項(xiàng)正確.

由橢圓的定義可知，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，滿足4—1>0,解得IVtvf，

故C選項(xiàng)正確.

［4-r<0,

當(dāng)曲線。表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線時(shí)，滿足，、八解得/>4,故D選項(xiàng)

U-i>o,

正確.

4.己知尸I,尸2為雙曲線。：/一尸=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上，1PBi=2|PB|,

則COSZFIPF2=（）

A-4B-5C4D5

答案C

解析由x2—/=2,知a=Z?=啦,c=2.由雙曲線定義知，|PFi|—|PF2|=2a=26，

又|P尸i|=2|尸園,

.,.|PFi1=4^2,|PF2|=2啦，

在△「「］人中，尸聲2|=2C=4,由余弦定理，得

|PF.|2+|PF2|2-|FIF2|23

COSZFIPF2-2|PFI|.|PF2|~4-

5.（2020.天津卷）設(shè)雙曲線C的方程為最一三=1（40,心0）,過(guò)拋物線產(chǎn)?

的焦點(diǎn)和點(diǎn)（0,與的直線為/.若。的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂

直，則雙曲線C的方程為（）

A.Aq=lB./_￡=1

v2

C.1一9=1D.x2—y2=1

答案D

解析由題意知拋物線的焦點(diǎn)為F（l,0）,直線/的斜率

卜尸法——b=/解得a?

b

又一份=-1，；北=。=1,

雙曲線C的方程為f—尸=1.故選D.

6.（多選題）（2021?長(zhǎng)沙調(diào)研）已知為，乃分別是雙曲線C：9一/=1的上、下焦

點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則（）

A.雙曲線。的漸近線方程為y="

B.以廠產(chǎn)2為直徑的圓的方程為小+尸=1

C.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1

D.△PFiB的面積為吸

答案ACD

解析等軸雙曲線C：9一/=1的漸近線方程為故A正確；

由雙曲線的方程可知71尸2|=26，

所以以為尸2為直徑的圓的方程為心+丁=2,故B錯(cuò)誤；

點(diǎn)P（xo,yo）在圓x2+y2=2上，

不妨設(shè)點(diǎn)P（xo,泗）在直線y=x上,

x8+W=2,

所以由解得|刈|=1,

yo=xo,

則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為±1,故C正確;

由上述分析可得△PFF2的面積為3義2啦Xl=色,故D正確.故選ACD.

二'填空題

7.已知a>"）,橢圓G的方程為3+方=1,雙曲線C2的方程為%—%=1,Ci

與C2的離心率之積為坐則C2的漸近線方程為.

答案由/方=0

解析橢圓Cl的離心率為“亭口，雙曲線C2的離心率為也產(chǎn)，所以

4a72業(yè)#=乎,即/=4〃，所以a=@b,所以雙曲線C2的漸近線方程

是尸土古x,即x±y/2y=0.

92

8.（2021?北京西城區(qū)模擬）能說(shuō)明“若機(jī)（〃+2）W0,則方程今+走=1表示的曲

線為橢圓或雙曲線”是錯(cuò)誤的一組〃z,〃的值是.

答案當(dāng)〃z=〃+2>0且加工0,2時(shí)，方程表示的曲線為圓，取”=1,則機(jī)

=3（答案不唯一，滿足要求即可）

9.已知乃，人分別是雙曲線C：9一/=1的上、下焦點(diǎn)，P是其一條漸近線上

的一點(diǎn)，且以尸上2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則△PF1F2的面積為.

答案也

解析設(shè)P（X。，yo）,不妨設(shè)點(diǎn)尸在雙曲線C的過(guò)一、三象限的漸近線x-y=o

上，因此可得刈一yo=O.B（O,也），F(xiàn)2（0,—啦），所以尸1人|=2/，以為人為

直徑的圓的方程為x2+/=2,又以尸1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,所以知+的=2.

xo—yo=O,

得|xo|=l,于是SPFIF2=1|FF|-|XO|=1X2V2X1=72.

由A12

M+W=2

三'解答題

10.（2020?東北三省三校聯(lián)考）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Q,仍在坐標(biāo)軸

上，離心率為色，且過(guò)點(diǎn)P（4,-V10）.

⑴求雙曲線的方程；

（2）若點(diǎn)M（3,加）在雙曲線上，求證：必方1.麻'2=0.

⑴解,:e=也

???可設(shè)雙曲線的方程為y2=4"W0）.

?.?雙曲線過(guò)點(diǎn)（4,-V10）,.*.16-10=2,即4=6.

.?.雙曲線的方程為/一戶6,即A/=L

⑵證明法一由⑴可知，a=b=\[6,

:.c=2小,:出（—24,0）,@（2小，0）,

TH

AW，=3+2V3,kMF2=3^3,

22

mYTT

kM”kMF2

9-123-

???點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上，??.9一加2=6,加2=3,

故kMF\-kMF2=-1,，MF\1MF2./.MF\-MF2=0.

法二由⑴可知，a=b=#,：.c=24,

:.Fi(~250),B(2小，0),

MF\=(—2小—3,—m),MF2=(2\[3—3,—m),

而橋2=(3+2小)X(3—2小)+/=—3+小，

?.,點(diǎn)M(3,⑼在雙曲線上，，9—機(jī)2=6,即根2—3=0,

，而橋2=0.

11.(2021?福州模擬)已知雙曲線。的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其漸近線方程為

過(guò)點(diǎn)《當(dāng),1)

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)是否存在被點(diǎn)3(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線/的方程；如

果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)雙曲線C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其漸近線方程為y=S，

2

設(shè)雙曲線方程為f—5=%q#o),

過(guò)點(diǎn)樗，1),代入可得丸=1,

所求雙曲線方程為％2—f=1.

(2)假設(shè)直線/存在.設(shè)3(1,1)是弦MN的中點(diǎn)，且M(xi,yi),Ng戶)，貝U?

+x2—2,yi+y2—2.

因?yàn)镸,N在雙曲線上，

2x?—y?=2,

所以《

2x^—y^=2,

所以2(%i+%2)(xi—X2)—(yi—y2)(yi+”)=0,所以4(xi—X2)=2(yi—*),

所以％=/三三=2,所以直線/的方程為＞一1=2。-1)，即"一丁一1=0,

[2X2—y2=2,

聯(lián)立方程組彳得29—4尤+3=0,因?yàn)?=16—4X3X2=—8<0,