專題9. 8 乘法公式（專項(xiàng)練習(xí)）

專題9.8乘法公式（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.已知代數(shù)式/-4x+7,則（）

A.有最小值7B.有最大值3

C.有最小值3D.無(wú)最大值和最小值

2.已知a+h=3，ab=2.則/+〃的值是（）

A.9B.7C.5D.13

3.設(shè)(a+3b)2=(a—3力A,則4=()

A.3B.6abC.0D.12ab

4.若a+b=l,a=b+9,則代數(shù)式/一〃的值等于()

A.3B.9C.12D.81

5.若4/一（加-l）x+9是完全平方式，則加的值為（）

A.13B.±12C.11或一13D.一11或13.

6.(-a-b)2等于()

A.a2-2ab+b2B.-a2+2ab-b2C.a2+2ab+b2D.-a2-2ab-b2

7.如圖，從邊長(zhǎng)為a+2的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形，剩余部分可剪拼

成一個(gè)不重疊、無(wú)縫隙的長(zhǎng)方形，若拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為2,則它另一邊的長(zhǎng)是（）

A.2a—2B.2aC.2a+1D.2a+2

8.等式（一a—l＞（）="_］中，括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入（）

A.。+1B.\—ciC.-1—dD.a-\

9.若/一2（加一1封+9是完全平方式，則機(jī)的值為（)

A.4B.2或TC.±6D.—2或4

10.下列運(yùn)算中，不能用平方差公式運(yùn)算的是（)

A.（一〃-c）（-Z?+c）B._（x+y）（一%_y）

c.（x+y）（x-y）D.（x+y）（2x-2y）

11.若4=（2+1乂22+1乂24+1）（2&+1）+1,則A的末位數(shù)字是（）

A.4B.2C.5D.6

1.1

12.已知：機(jī)+—=3,則：帆+「■的值為（）

mm'

A.15B.18C.21D.9

13.我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來(lái)解釋一些代

2

數(shù)恒等式.例如左圖可以用來(lái)解釋（a+b）2—（a-b）=4ab.那么通過(guò)右圖面積的計(jì)算，

驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是（）

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a—b)(a+2b)-crab-b1

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.(a+b)2=/+2ab+b?

二、填空題

14.已知代數(shù)式/+2%+5可以利用完全平方公式變形為（x+l『+4,進(jìn)而可知f+2%+5

的最小值是4.依此方法，代數(shù)式產(chǎn)一），+5的最小值是.

16.如圖，正方形ABCD,根據(jù)圖形寫(xiě)出一個(gè)正確的等式：

17.下圖是從一個(gè)正方形中剪下一個(gè)小正方形后，拼成一個(gè)矩形的過(guò)程.根據(jù)下圖，寫(xiě)出一

個(gè)正確的等式：.

18.若k2+丁2_]乂尤2+,2+])=8,則％2+》2=

19.計(jì)算：(x+2#(x2+4y2)(x_2y)=.

20.已知。＜2,如果一個(gè)正方形的面積是(。2一4。+4)。加2,則這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是

___________________cm.

21.若a-b=7,ab=-12,則(。+勿2=

22.已知病+〃2=15,(m-n)2=1,則。"+〃)2=

23.若/—"優(yōu)+9是一個(gè)完全平方式，則，"的值是.

24.如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a,b,如果。+h=出;=9,則陰影部分的面積為一.

25.若V+6x+加為完全平方式，則機(jī)=.

26.計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=.

三、解答題

27.圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后

按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形.

(1)你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于；

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.

;

②?

(3)觀察圖2你能寫(xiě)出(機(jī)+〃>,(m-n)2,相〃三個(gè)代數(shù)式之間的等量_________

(4)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算若知人=8,ab=7,求。一方和/―/的值.

(5)用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式21+4x+3y2-18y+32的最小值.

28.我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來(lái)解釋，例如：圖(1)可以

用來(lái)解釋Y+2出?+〃=(a+b)2,實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對(duì)某些二次

三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

如圖(2),將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為用的大正方

形，兩塊是邊長(zhǎng)都為〃的小正方形，五塊是長(zhǎng)為加，寬為〃的全等小長(zhǎng)方形，且〃?>〃.(以

上長(zhǎng)度單位：cm)

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5加〃+2”2可以分解因式為

圖⑴

（2）若每塊小長(zhǎng)方形的面積為10c〃/,四個(gè)正方形的面積和為58c加2,試求圖中所有裁剪

線（虛線部分）長(zhǎng)之和.

圖(2)

29.計(jì)算：(1)(x+l)2-(x—l)(x+2)(2)(3x—y+4)(3x+y—4)

30.計(jì)算:

(1)2a(4a2-2a+l)

(2)(2x-l)(2x+2)-(-2x)2

(3)(-x-2yXx-2y)-(2y-xY

(4)99-xlOO-(用簡(jiǎn)便方法計(jì)算)

22

參考答案

I.c

【分析】

利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可.

【詳解】

解：x2-4x+7

=x2-4x+4+3

=(x-2)2+3,

,/(x-2)2>0,

(x-2)2+323,

???代數(shù)式x2-4x+7有最小值3,

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【詳解】

解：+=片+2。人+/?2,

.-.31=a2+b2+2x2,

：.a2+h2=9-4=5

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題型，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

利用完全平方公式進(jìn)行變形求解即可.

【詳解】

根據(jù)(x+y)~_(x-y)2=4移，

得4=（。+3刀2一（。-3切2=4438=12曲，

故選：D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的變形運(yùn)用，熟記完全平方公式及其變形形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】

逆用平方差公式計(jì)算.

【詳解】

由題：a+b-\-a-b=9

則=^a+b^a-b^=\x9=9

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式的逆運(yùn)用，能夠熟練運(yùn)用基本公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

根據(jù)完全平方公式的概念進(jìn)行配湊即可.

【詳解】

由題意，4/一（加一1?+9是完全平方式，則4/—（加―1）X+9=（2X±3）2,

m-1=±2X2X3=±12,加=—11或13；

故選：D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】

直接利用完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：（一a-/?）?=（a+b）2=/+2。。+/,

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式.熟記公式是解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】

根據(jù)圖形的拼接，用大正方形的面積減去小正方形的面積可得新長(zhǎng)方形的面積可得出答案.

【詳解】

解：設(shè)長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)為X,

則有(a+2)2-a2=2x,

a2+4a+4-a2=2x,

x=2a+2,

故選D.

【點(diǎn)撥】

本題考查平方差公式的幾何背景，正確表示兩個(gè)圖形的面積是得出關(guān)系式的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：結(jié)合題意，可知相同項(xiàng)是-a,相反項(xiàng)是1和-1,

，空格中應(yīng)填：1-a.

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】

先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，然后再根據(jù)完全平方公式的乘積的二倍項(xiàng)即可確定m的

值.

【詳解】

解：x2-2(m-l)x+9=x2-2(m-l)x+32,

-2(m-l)x=±2x3,

解得m=-2或m=4,

故選：D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)得到-2(機(jī)-l)x=±2x3是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

10.B

【分析】

根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

A.(-b-c)(-b+c)=(-b)2-c2,故能用平方差公式計(jì)算.此選項(xiàng)不符合題意.

B.-(x+y)(-%-y)=x2+2xy+y2,故不能用平方差公式計(jì)算.此選項(xiàng)符合題意.

C.(x+y)(x-y)=x2-y2,故能用平方差公式計(jì)算.此選項(xiàng)不符合題意.

D.(x+y)(2x-2y)=2(x+y)(x-y)=2(x2-y2)=2x2-2y2,故能用平方差公式計(jì)

算.此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，用字母表

示為：(a+b)(a-b)=a2-b2.

11.D

【分析】

在原式前面加(2-1),利用平方差公式計(jì)算得到結(jié)果，根據(jù)2的乘方的計(jì)算結(jié)果的規(guī)律得

到答案.

【詳解】

A=(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=（24-1）（24+1）（28+1）+1

=（28-1）（28+1）+1

=2'6>

；2的末位數(shù)字是2,

2z的末位數(shù)字是4,

23的末位數(shù)字是8,

2’的末位數(shù)字是6,

25的末位數(shù)字是2,

每4次為一個(gè)循環(huán)，

?.?16+4=4,

???2咐的末位數(shù)字與2,的末位數(shù)字相同，即末位數(shù)字是6,

故選：D.

【點(diǎn)撥】

此題考查利用平方差公式進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)2的乘方末位數(shù)

字的規(guī)律得到答案是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】

把m+工=3兩邊平方得出加+上的值，再把機(jī)3+4變形代入即可得出答案

mnrm'

【詳解】

解：=3,

tn

1Y

m-\——=9,

m)

/.m2+，-=7

m"

???U)”T++卜%-1)=18

故選：B

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵

13.C

【分析】

利用不同的方法表示出空白部分的面積：一種是利用公式(a-加2直接計(jì)算，另一種是割補(bǔ)

法得"―2"+〃，根據(jù)面積相等即可建立等式，得出結(jié)論.

【詳解】

■空白部分的面積：(a-b)2,

還可以表示為：a2-2ab+lr-

/.此等式是（a-0I=a2-lab+b2.

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的幾何意義，注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方法表示出空白

部分的面積是解題的關(guān)鍵.

,3

14.4-

4

【分析】

把代數(shù)式V—y+5配方成a(x+b)2+c的形式，即可求解.

【詳解】

解：*.?y2_y+5=(y_J_]+43,

I2；4

3

「?y?—y+5的最小值是4—.

3

故答案為：4—.

4

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，在式子的變形中要注意變化前后式子的

值不變.

【分析】

原式整理后，直接利用平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】

故答案為：U-p2.

16

【點(diǎn)撥】

本題考查平方差公式.熟記平方差公式（（。+份（。-6）=。2一〃）是解決此題的關(guān)鍵.

16.答案不唯一：（a+/?）2==a2+2a/?+》2

【分析】

根據(jù)圖形，從兩個(gè)角度計(jì)算面積即可求出答案.

【詳解】

解：（a+b）2=a2+2ab+b2

故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2

【點(diǎn)撥】

本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題.

17.（a+4）~—（6/+1）=3（a+4+a+l）

【分析】

裁剪前，第二圖的面積等于大正方形面積減去小正方形面積，裁剪拼湊后面積等于長(zhǎng)x寬,

它們面積相等，據(jù)此可列出等式.

【詳解】

解：如下圖的面積在裁剪前=（。+4）2-（〃+1）2,

裁剪拼湊后=（。+4+。+1）［。+4—（。+1）］—3（。+4+。+1）,

裁剪前后面積相等，故：3+4）2-3+1）2=3（a+4+a+l）

故答案為：（a+4）2-（。+1）2=3（a+4+a+l）.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式的幾何背景.掌握等面積法是解題關(guān)鍵.

18.3

【分析】

運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

V(x2+y2-+/+1)=8,

[x2+y2]2-l2=8,

.,.[x2+y2]2=9,

又?；x2+y2加

/.x2+y2=3.

故答案為:3.

【點(diǎn)撥】

考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟記平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

19.x4-16/

【分析】

可利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

解：原式=(x+2y)(x_2y)(x2+4y2)

=(x2-4j2)(x2+4y2)

=x4-\6y4

故答案為：X4-16/

【點(diǎn)撥】

本題主要考查平方差公式，靈活的應(yīng)用平方差公式是解題得關(guān)鍵.

20.8-4a

【分析】

先利用完全平方公式對(duì)("-4a+4)進(jìn)行分解因式，再根據(jù)正方形面積公式即可求出正方

形的邊長(zhǎng)，然后利用邊長(zhǎng)即可求出周長(zhǎng).

【詳解】

解：：a2-4a+4=(a-2)2,

又,：a<2,

正方形的邊長(zhǎng)為(2-a)cm,

...正方形的周長(zhǎng)為：4(2-a)=(8-4a)cm,

故答案為：8-4a.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面積和周長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題，掌握公

式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

21.1.

【分析】

利用整式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

(?+Z?)2—(?—/?)"=4ab,

.?.(a+Zj)2=(a-Z?)2+4aZ?=72+4x(-12)=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】

本題考查了整式的乘法公式，理解完全平方和與完全平方差之間的聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵.

22.29.

【分析】

利用完全平方公式計(jì)算即可求H；.

【詳解】

V(m1,nr+2mn+n2=1'

Vm2+n2=15>15-l=2/m,

mn=7,

(m+n)'=〃/+n2+2/wn=15+2x7=29.

【點(diǎn)撥】

此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

23.±6

【分析】

根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征求解即可.

【詳解】

解：,.,/―3+9=/—"田+32是完全平方式，

m=±6,

故答案為±6.

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是正確理解完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

24.27

【分析】

陰影部分面積等于兩個(gè)正方形面積之和減去兩個(gè)直角三角形面積，求出即可.

【詳解】

Va+h=ab=9

/.S=/+/—g/—gb（Q+Z?）

+b2-ab^

；［（4+0）--3ab

gx（81—27）

=27.

故答案為：27.

【點(diǎn)撥】

本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

25.9

【分析】

完全平方式可以寫(xiě)為首末兩個(gè)數(shù)的平方卜+而丁，則中間項(xiàng)為x和標(biāo)積的2倍，即可解

得m的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意，V+Gx+m是完全平方式，且6>0,

可寫(xiě)成+,

則中間項(xiàng)為x和右枳的2倍，

故6x=2x\[m>

m=9,

故答案填：9.

【點(diǎn)撥】

本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完

全平方式.注意中間項(xiàng)的符號(hào)，避免漏解.

26.216

【分析】

在原來(lái)的算式前面乘上(2-1),根據(jù)平方差公式，進(jìn)行計(jì)算，即可求解.

【詳解】

原式=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)+1

=(28—1)(28+1)+1

=(2|6-1)+1

=216.

故答案是：29

【點(diǎn)撥】

本題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵.

27.(1)m-n；(2)①(m-n)2；②(m+n)2-4mn；(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn；(4)

a-b=±6,a2—b2=±48；（5）3

【分析】

（l）根據(jù)陰影部分正方形的邊長(zhǎng)等于小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去寬解答；

（2）從整體與局部?jī)蓚€(gè)思路考慮解答；

（3）根據(jù)大正方形的面積減去陰影部分小正方形的面枳等于四個(gè)長(zhǎng)方形的面積解答：

（4）根據(jù)（0-32=（“+92-4時(shí),可得a-b的值，再根據(jù)。2_力2=（4+8）（。一匕）求出〃

的值；

（5）利用完全平方公式將原式變形為2（x+iy+3（y-3丫+3,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求

出最小值為3.

【詳解】

解：（1）由圖可知，陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)為：m-n；

（2）根據(jù)正方形的面積公式，陰影部分的面積為（m-n）2,

還可以表示為（m+n）2-4mn；

（3）根據(jù)陰影部分的面積相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn：

（4）方=8,a〃=7,

/.（a-bY=+-4ab=8?_4xy=36,

a—h=±6,

若a-b=6,則〃2一/=（4+6）（々-6）=8><6=48,

若。一〃=-6,則a2—/?2=（6r+Z?）（6f—Z?）=8x（—6）=-48；

（5）+4%+3y2-18y+32

=2x2+4x4-24-3/-18y+27+3

=2（x+l）2+3（y-3）2+3

V2（X+1）2>0,3（^-3）2>0,

???2（x+l）2+3（y—3『+3>3,即最小值為3.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的幾何背景，準(zhǔn)確識(shí)圖，根據(jù)陰影部分的面積的兩種不同表示方法

得到的代數(shù)式的值相等列式是解題的關(guān)鍵.

28.（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.

【分析】

（1）根據(jù)圖形的面積直接可以得到；

（2）根據(jù)2川+2/=58，/m=10.可得加+*=29,可求得加+〃=7,根據(jù)圖形

可知，圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和是6,〃+6〃，據(jù)此求解即可.

【詳解】

（1）根據(jù)圖形，依題意可得:2m2+5mn+In2-（m+2n）（2m+n）

（2）依題意得2療+2〃2=58，7加=10

m2+n2=29

Q（m+n）'=m2+2mn+n2

\（m+"I=29+20=49

m+n>Q

.,.m+n-l,

根據(jù)圖形可知，圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和是：