中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)剖析專題

目錄

專題八函數(shù)之一次函數(shù)問題.................................................2

(1)函數(shù)圖像問題；........................................................2

(2)一次函數(shù)圖形與性質(zhì)問題；.............................................2

(3)一次函數(shù)的應(yīng)用.......................................................2

初中數(shù)學(xué)常用公式定理(務(wù)必全部理解并記住)................................13

幾何圖形公式(帶*號(hào)的是附加知識(shí))........................................16

中考規(guī)律探索1.....................................................................................................................................18

一.選擇題...............................................................18

二.填空題..............................................................20

規(guī)律探索2.............................................................................................................................................29

參考答案..................................................................37

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)剖析

專題八函數(shù)之一次函數(shù)問題

考點(diǎn)掃描☆聚焦中考

一次函數(shù)，是每年中考的必考內(nèi)容之一，考查的知識(shí)點(diǎn)包括函數(shù)圖像和一次函數(shù)的圖形、性質(zhì)及

其應(yīng)用等幾個(gè)方面，總體來看，難度系數(shù)低，以選擇填空為主。也有少量的解析題。解析題主要以綜

合應(yīng)用為主，往往和方程及反比例函數(shù)綜合體現(xiàn)。結(jié)合2018年全國各地口考的實(shí)例，我們從四方面

進(jìn)行一次函數(shù)問題的探討：

（1）函數(shù)圖像問題；

（2）一次函數(shù)圖形與性質(zhì)問題；

（3）一次函數(shù)的應(yīng)用.

考點(diǎn)剖析☆典型例題

回（2018?山東濱州?3分）如果規(guī)定［x］表示不大于x的最大整數(shù)，例如［2.3］=2,那么函數(shù)y=x?

［x］的圖象為（）

【分析】根據(jù)定義可將函數(shù)進(jìn)行化簡.

【解答】解：當(dāng)-IWxVO,［x］=-1,y=x+l

當(dāng)OWxVl時(shí)，［x］=0,y=x

當(dāng)1WXV2時(shí)，［x］=Ly=x-1

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是正確理解［x］的定義，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，本題屬于

中等題型.

甌（2018年江蘇省泰州市?3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9,6）,AB±y

軸.垂足為B,點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到

達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度之比為1：2,則下列說法正確的是（）

y

orP

A.線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)（2,3）B.線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)（3,2）

C.線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)（2,2）D.線段PQ不可能始終經(jīng)過某一定點(diǎn)

【分析】當(dāng)OP=t時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t,0）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（9-2t,6）.設(shè)直線PQ的解析式為

y=kx+b（kKO）,利用待定系數(shù)法求出PQ的解析式即可判斷；

【解答】解：當(dāng)0P二t時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t,0）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（9-2t,6）.

設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（kWO）,

將P（t,0）、Q（9-2t,6）代入y=kx+b,

3-t

2t

???直線PQ的解析式為

3-tt-3

??'x=3時(shí)，y=2,

，直線PQ始終經(jīng)過（3,2）,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問題，屬于中考?？碱}型.

甌（2018年四川省南充市）直線y=2x向下平移2個(gè)單位長度得到的直線是（）

A.y=2（x+2）B.y=2（x-2）C.y=2x-2D.y=2x+2

【考點(diǎn)】F9：一次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】據(jù)一次函數(shù)圖象與幾何變換得到直線y=2x向下平移2個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為y=2x-2.

【解答】解：直線y=2x向下平移2個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為y=2x-2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換：一次函數(shù)y=kx（kKO）的圖象為直線，當(dāng)直線平移

時(shí)k不變，當(dāng)向上平移m個(gè)單位，則平移后直線的解析式為尸kx+m.

匹|（2018?達(dá)州）如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計(jì)下端的鐵塊浸沒于水中，然后緩慢勻

速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵

塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

【分析】根據(jù)題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題.

【解答】解：由題意可知,

鐵決露出水面以前，F(xiàn)QF小G,浮力不變，故此過程中彈簧的度數(shù)不變，

當(dāng)鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，

當(dāng)鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力，

故選：D.

畫（2012?內(nèi)江）如圖，等邊4ABC的邊長為3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿A-B-C

的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）,y=PC2,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（）

222

【分析】需要分類討論:①當(dāng)0WxW3,即點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，根據(jù)余弦定理知cosA=^+AC~PC,

2PA,AC

所以將相關(guān)線段的長度代入該等式，即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后杈據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定該函數(shù)

的圖象.②當(dāng)3VxW6,即點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=(6-x)2=(x-6)2(3<

xW6),根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式可以確定該函數(shù)的圖象.

【解答】解：???正AABC的邊長為3cm,

AZA=ZB=ZC=60°,AC=3cm.

①當(dāng)0Wx<3時(shí)，即點(diǎn)P在線段AB上對(duì)，AP=xcm(0<xW3)；

根據(jù)余弦定理知cosA二理3空3記，

2PA?AC

即Lx2+9-y.

26x

解得,y=x2-3x+9(0WxW3)；

該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線；

解法二：過C作CD_LAB,則AD=L5cm,CD=^/^cm,

點(diǎn)P在AR上時(shí)，AP=xcm,PD=|1.5-w|em,

.,.y=PC2=(-ITS)2+(1.5-x)2=x2-3x+9(0WxW3)

該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線；

②當(dāng)3VxW6時(shí)，即點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC=(6-x)cm(3VxW6)；

則丫=(6-x)2=(x-6)2(3VXW6),

???該函數(shù)的圖象是在3VxW6上的拋物線；

故選：C.

亟|(2018年江蘇省南京市)小明從家出發(fā)，沿一條直道跑步，經(jīng)過一段時(shí)間原路返回，剛好在第

16min回到家中.設(shè)小明出發(fā)第tmin時(shí)的速度為vm/min,離家的距離為sm,v與t之間的函數(shù)關(guān)

系如圖所示(圖中的空心圈表示不包含這一點(diǎn)).

(1)小明出發(fā)第2min時(shí)離家的距離為m；

(2)當(dāng)2VtW5時(shí)，求s與t之間的函數(shù)表達(dá)式;

(3)畫出s與t之間的函數(shù)圖象.

八v(m/min)

02516Lmtn

【分析】(1)根據(jù)路程二速度義時(shí)間求出小明出發(fā)第2min時(shí)離家的距離即可；

(2)當(dāng)2VtW5時(shí)，離家的距離s二前面2min走的路程加上后面(t-2)min走過的路程列式即可；

(3)分類討論：0WtW2、2VtW5、5VtW6.25和6.25VtW16四種情況，畫出各自的圖形即可求

解.

【解答】解：(1)100X2=200(m).

故小明出發(fā)第2min時(shí)離家的距離為200m；

(2)當(dāng)2VtW5時(shí),s=100X2+160(t-2)=160t-120.

故s與t之間的函數(shù)表達(dá)式為160t-120；

r200t(0<t<2)

160t-120(2<t<5)

(3)s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為《

80t+280(5<t<6.25)

1280-80t(6.25<t<16)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系，讀懂題目信息,

從圖中準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)過關(guān)☆專項(xiàng)突破

類型一函數(shù)圖像

1.(2018?湖北黃岡?3分)函數(shù)尸在+,中自變量x的取值范圍是()

x-1

A.x2T且xHlB.x2TC.xWlD.TWxVl

2.(2018?四川自貢?4分)已知圓錐的側(cè)面積是8ncm)若圓錐底面半徑為R(cm),母線長為1

(cm),則R關(guān)于1的函數(shù)圖象大致是()

3.（2018?通遼）小剛從家去學(xué)校，先勻速步行到車站，等了幾分鐘后坐上了公交車，公交車勻速行

駛一段時(shí)后到達(dá)學(xué)校,小剛從家到學(xué)校行駛路程s（單位：m）與時(shí)間r（單位：min）之間函數(shù)關(guān)系

4.（2018年四川省內(nèi)江市）如圖，在物理課上，小明用彈簧秤將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，然后

勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則如圖能反映彈簧秤的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊

被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖是（）

5.（2018?隨州）“龜兔賽跑”這則寓言故事講述的是比賽中兔子開始領(lǐng)先，但它因?yàn)轵湴猎谕局兴?/p>

覺,而烏龜?直堅(jiān)持爬行最終贏得比賽，下列函數(shù)圖象可以體現(xiàn)這做事過程的是（）

6.（2018?金華）某通訊公司就上寬帶網(wǎng)推出A,B,C三種月收費(fèi)方式.這三種收費(fèi)方式每月所需的

費(fèi)用y（元）與上網(wǎng)時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.每月上網(wǎng)時(shí)間不足25h時(shí)，選擇A方式最省錢

B.每月上網(wǎng)費(fèi)用為60元時(shí)，B方式可上網(wǎng)的時(shí)間比A方式多

C.每月上網(wǎng)時(shí)間為35h時(shí)，選擇B方式最省錢

D.每月上網(wǎng)時(shí)間超過70h時(shí)，選擇C方式最省錢

7.（2018?濰坊）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，NB=60°,動(dòng)點(diǎn)P以1厘米秒的速度自A點(diǎn)出

發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)沿折線BCD運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)停止.若

點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BPQ的面積為S厘米:下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系

8.（2018?孝感）如圖，在aABC中，NB=90°,AB=3cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB向點(diǎn)B

以lcm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，若P,Q兩點(diǎn)分別從A,

B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止，則4PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）

類型二一次函數(shù)圖像與性質(zhì)

1.（2018?臺(tái)灣?分）已知坐標(biāo)平面上，一次函數(shù)y=3x+a的圖形通過點(diǎn)（0,-4）,其中a為一數(shù),

求a的值為何？（）

A.-12B.-4C.4I）.12

2.（2018?廣東深圳-3分）把函數(shù)y二x向上平移3個(gè)單位，下列在該平移后的直線上的點(diǎn)是（）

A,白冏B,也留C.也老D.匕商

3.（2018?廣西桂林?3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（,1）,（3,

1）,（3,0）,點(diǎn)A為線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,過點(diǎn)A作AB_LAC交y軸于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)A從

M運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，點(diǎn)B隨之運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,力），則。的取值范圍是（）

15919

A.——<b<1B.——<b<1C.——<b<-D.——<b<1

4-4~4--24--

4.（2018?湖南省常德?3分）若一次函數(shù)y=（k-2）x+1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

5.（2018?四川宜賓?3分）已知點(diǎn)A是直線y=x+l上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為一上，若點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y

2

軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

6.（2018?湖北江漢?3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△PQA”4P必也，AP3A2A3,…都是等腰

直角三角形，其直角頂點(diǎn)R（3,3）,P2,P3,…均在直線y=-lx+4上.設(shè)△PQAi,AP2A,A2,AP3A2A3,…

7.（2018?甘肅白銀，定西，武威?3分）如圖，一次函數(shù)丫=-乂-嗚丫=2乂+111的圖象相交于點(diǎn)式4-4）,

|2x+m<-x-2

則關(guān)于的不等式組（-x-2〈0的解集為

8(2018?江蘇揚(yáng)州?3分)如圖，在等腰RlZ\AB0,/A=90°,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),若直線1：

y=mx+m(m#0)把△ABO分成面積相等的兩部分，則m的值為_.

9.(2018?樂山?3分)已知直線L：y=(k-1)x+k+1和直線上：y=kx+k+2,其中k為不小于2的自

然數(shù).

(I)當(dāng)k=2時(shí)，直線與x軸圍成的三角形的面積S?=

(2)當(dāng)k=2.3.4,……，2018時(shí)，設(shè)直線LL與x軸圍成的三角形的面積分別為S2,S3,Si,

S2OI8,則S2+S3+S1++S2018=

類型三一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

1.(2018?江蘇鎮(zhèn)江?3分)甲、乙兩地相距80km,一輛汽車上午9：00從甲地出發(fā)駛往乙地，勻

速行駛了一半的路程后將速度提高了20km/h,并繼續(xù)勻速行駛至乙地，汽車行駛的路程y(km)與時(shí)

間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，該車到達(dá)乙地的時(shí)間是當(dāng)天上午()

A.10：35B.10：40C.10：45D.10：50

2.(2018?遼寧省阜新市)甲、乙兩人分別從A,B兩地相向而行，他們距B地的距離s(km)與時(shí)

間t(h)的關(guān)系如圖所示，那么乙的速度是km/h.

3.（2018?重慶市B卷）（4.00分）一天早晨，小玲從家出發(fā)勻速步行到學(xué)校，小玲出發(fā)一段時(shí)間

后.她的媽媽發(fā)現(xiàn)小玲忘帶了一件必需的學(xué)習(xí)用品，于是立即下樓騎自行車，沿小玲行進(jìn)的路線，勻

速去追小玲，媽媽追上小玲將學(xué)習(xí)用品交給小玲后，立即沿原路線勻速返回家里，但由于路上行人漸

多，媽媽返回時(shí)騎車的速度只是原來速度的一半，小玲繼續(xù)以原速度步行前往學(xué)校，媽媽與小玲之間

的距離y（米）與小玲從家出發(fā)后步行的時(shí)間x（分）之間的關(guān)系如圖所示（小玲和媽媽上、下樓以

及媽媽交學(xué)習(xí)用品給小玲耽擱的時(shí)間忽略不計(jì)）.當(dāng)媽媽剛回到家時(shí)，小玲離學(xué)校的距離為一米.

4.（2018?重慶（A）-4分）兩地相距的路程為240千米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發(fā)

到8地，分別以一定的速度勻速行駛，甲車先出發(fā)40分鐘后，乙車才出發(fā)。途中乙車發(fā)生故障，修

車耗時(shí)20分鐘，隨后，乙車車速比發(fā)生故障前減少了10千米/小時(shí)（仍保持勻速前行），甲、乙兩

車同時(shí)到達(dá)8地。甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車行駛時(shí)間x：小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所

示，求乙車修好時(shí)，甲車距8地還有千米。

5.（2018-山東濰坊?11分）為落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標(biāo)一工

程隊(duì)負(fù)責(zé)在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊(duì)有A,B兩種型號(hào)的挖掘機(jī)，已知3臺(tái)A

型和5臺(tái)B型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土165立方米；4臺(tái)A型和7臺(tái)B型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖

土225立方米.每臺(tái)A型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺(tái)B型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為

180元.

（1）分別求每臺(tái)A型，B型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？

（2）若不同數(shù)量的A型和B型挖掘機(jī)共12臺(tái)同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且

總贄用不超過12960元，問施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)

用是多少元？

6.（2018?湖北黃石?8分）某年5月，我國南方某省A、B兩市遭受嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，1.5萬人被迫轉(zhuǎn)

移,鄰近縣市C、D獲知A、B兩市分別急需救災(zāi)物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)物資支援災(zāi)

區(qū).已知C市有救災(zāi)物資240噸，D市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些救災(zāi)物資全部調(diào)往A、B兩市.已

知從C市運(yùn)往A、B兩市的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從D市運(yùn)往往A、B兩市的費(fèi)用別為每噸

15元和30元，設(shè)從D市運(yùn)往B市的救災(zāi)物資為x噸.

（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?/p>

A（噸）B（噸）合計(jì)（噸）

Cx-60300-x240

D260?xX260

總計(jì)（噸）200300500

（2）設(shè)C、D兩市的總運(yùn)費(fèi)為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）經(jīng)過搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少m元（m>0）,

其余路線運(yùn)費(fèi)不變.若C、D兩市的總運(yùn)費(fèi)的最小值不小于10320元，求m的取值范圍.

7.（2018?廣西梧州?10分）我市從2018年1月1日開始，禁止燃油助力車上路，于是電動(dòng)自行

車的市場需求量日漸增多.某商店計(jì)劃最多投入8萬元購進(jìn)A.B兩種型號(hào)的電動(dòng)自行車共30輛，其

中每輛B型電動(dòng)自行車比每輛A型電動(dòng)自行車多500元.用5萬元購進(jìn)的A型電動(dòng)自行車與用6萬元

購進(jìn)的B型電動(dòng)自行車數(shù)量一樣.

（1）求A.B兩種型號(hào)電動(dòng)自行車的進(jìn)貨單價(jià)；

（2）若A型電動(dòng)自行車每輛售價(jià)為2800元，B型電動(dòng)自行車每輛售價(jià)為3500元，設(shè)該商店計(jì)劃購

進(jìn)A型電動(dòng)自行車m輛，兩種型號(hào)的電動(dòng)自行車全部銷售后可獲利潤y元.寫出y與m之間的函數(shù)關(guān)

系式；

（3）該商店如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？此時(shí)最大利潤是多少元？

8.（2018?湖北恩施?10分）某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購A、B兩種型號(hào)的空調(diào)，已知采購3

臺(tái)A型空調(diào)和2臺(tái)B型空調(diào)，需費(fèi)用39000元；4臺(tái)A型空調(diào)比5臺(tái)B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元.

（I）求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需多少元；

（2）若學(xué)校計(jì)劃采購A、B兩種型號(hào)空調(diào)共30臺(tái)，且A型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種

型號(hào)空調(diào)的采購總費(fèi)用不超過217000元，該校共有哪幾種采購方案？

（3）在（2）的條件下，采用哪一種采購方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？

初中數(shù)學(xué)常用公式定理（務(wù)必全部理解并記?。?/p>

1、整數(shù)（包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù)）都是有理數(shù).

21

如：—3,藥，0.231,0.737373…，用&8.無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù).

如：Ji,一萬，0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0）.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

2、絕對(duì)值：々200\a\=a；aWOQ|。|=一〃.如：I一限I=6；I3.14—n|=JI-3.14.

3、一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)

的

有效數(shù)字.如：0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6,0.

4、把一個(gè)數(shù)寫成±4X10"的形式（其中l(wèi)Wa＜10,〃是整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.

如：-40700=-4.07X105,0.000（43=4.3xl0-5.

5、乘法公式（反過來就是因式分解的公式）：①（a+b）（a—b）=〃一爐.②（a±b）2=〃±2ab+〃.

③〃+〃=（a+b）2—2岫，（a—b）2=（a-^-b）2—4ab.

6、暮的運(yùn)算性質(zhì)：①0m②a—③”）〃=產(chǎn).@（ab）,,=anbn.⑤（：）"=〃.

@a~n=—,特別：（J）一"=（?）".??°=l（aWO）.如：a3Xd1=a5,＜76-rfi2=6?,（tj3）2=?6,

（3-）3=2709,（一3尸=-J,52=%=右（4）-2=（4）2=J,（-3.14）°=1,（應(yīng)'一回。=1.

7、二次根式：①（萩）2="（420）,②1。1,③4ab=X,④匕20）.

如：①（3萬尸=45.②.-6）2=6.③aVO時(shí)，行鼠=一。遍④的平方根=4的平方根=

±2.

8、一元二次方程：對(duì)于方程：加+b+。=0：

2

①求根公式是x=一"±"-4覺,其中△=〃—4"c叫做根的判別式.

2a

當(dāng)△＞（）時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＜（）時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.注意：當(dāng)△》（＞」?，方程有實(shí)數(shù)根.

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根XI和X2,并且二次三項(xiàng)式以2+法+?？煞纸鉃閍（x-M）（x-m）.

③以a和b為根的一元二次方程是f一（a+b）x+H=O.

9、一次函數(shù),v=h+"ANO）的圖象是一條直線彷是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在），軸上的

截距）當(dāng)左>0時(shí)，），隨x的增大而增大（直線從左向右上升）：

當(dāng)左V0時(shí)，），隨x的增大而減?。ㄖ本€從左向右下降）.

特別：當(dāng)方=0時(shí)，y=心:（&工0）又叫做正比例函數(shù)（y與X成正比例），圖象必過原點(diǎn).

10、反比例函數(shù).v=JaW0）的圖象叫做雙曲線.

當(dāng)心>0時(shí)，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）；

當(dāng)女V0時(shí)，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）.

因此，它的增減性與一次函數(shù)相反.

H、統(tǒng)計(jì)初步：（1）概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.從

總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時(shí)不止一個(gè)），叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).

（2）公式：設(shè)有〃個(gè)數(shù)為，X2,…，8”那么：平均數(shù)為：.二.十七+……；

n

12、頻率與概率：

（1）頻率:幽，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各個(gè)

總數(shù)

小長方形的面積為各組頻率。

（2）概率

①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則OWP（A）<1；P（必然事件）=1：P（不可能事件）

=0：

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率。

③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；

13、銳角三角函數(shù)：

①設(shè)NA是Rl^ABC的任一銳角，則NA的正弦：如必="％邊,NA的余弦：cosA=建警,

NA的正切：tanA=名需票卷.并且siMA+cos2A=1.

0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.NA越大，NA的正弦和正切值越大，余弦值反而越小.

②余角公式：sin（90°—A）=cosA,cos（90°—A）=siivl.

③特殊角的三角函數(shù)值：sin300=cos600=,sin450=cos45°=,sin60°=cos30°=-^,tan30°

=_^,tan450=1,tan60°=超.

鉛垂高度—力h

④斜坡的坡度：i水平寬度F設(shè)坡角為Q，則i=tana=?

14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí):

（1）對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（mb）,則P關(guān)于工軸對(duì)稱的點(diǎn)為Pi（。，一方），P關(guān)于y

軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2（一扇b）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3（—。，—b）.

（2）坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a,h）向左平移人個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a—h,b）,向右

平移〃個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a+a,。）；向上平移"個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（m，

向下平移。個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a,b—h）.如：點(diǎn)A（2,-1）向上平移2個(gè)單位，

再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7,1）.

15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：

1.定義：一般地，如果丁=。/+/+以。,兒。是常數(shù)，。。0）,那么y叫做x的二次函數(shù).

2.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①〃的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)。＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)。＜0時(shí)，開口向下；

時(shí)相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=/i.特別地，y軸記作直線x=0.

幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax1x=0(y軸)(0,0)

當(dāng)。＞0時(shí)

y=ax1+kx=0(y軸)(0,k)

開口向上

2x=h(力Q)

y=a(x-/?)當(dāng)〃＜0時(shí)

y=a(x-h)2+k開口向下x=h(h,k)

b

y=ax2+bx+cx=-----b4ac-b2

la(.?.)

2a4a

3.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

b4ac-b2

(1)公式法：y=ax1+hx+c=rix+一H-----------------

2a4a

.e＞-口/b4ac-b243心口上心b

??頂點(diǎn)是（----,--------）x?對(duì)稱軸是直線上=----.

2a^a2a

（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為），=〃（工-力）2+后的形式，

得到頂點(diǎn)為（爪女）,對(duì)稱軸是直線工=兒

（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂

點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)（％,y）、（X2，y）（及y值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：工二百三

4.拋物線y=ar?+Z?x+c中，a,0,c?的作用

（1）。決定開口方向及開口大小，這與》=奴2中的。完全一樣.

（2）力和〃共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=〃r+"+c的對(duì)稱軸是直線：x=-b/2a,

故：

①b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸：②h/a>0（即〃、6同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在），軸左側(cè)：

③b/a<0（即。、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線y=a/+法+。與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=0時(shí)，y=c,；.拋物線y+bx+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0,c）：

①c=0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②c>0,與y軸交于正半軸；③cvO,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則-<0.

a

5.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：丁=雙2+"+。.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)工、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-〃）2+Z.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)演、x2,通常選用交點(diǎn)式：y=a（x-xi\x-x2）.

6.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線y=4小+）x+c得交點(diǎn)為（0,c）.

（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)：

二次函數(shù)y=奴2+"+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)工［、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程

o?+加+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別

式判定

①有兩個(gè)交點(diǎn)0（A>0）0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）O（A=0）O拋物線與x軸相切：

③沒有交點(diǎn)=（△<0）0拋物線與冗軸相離.

（3）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)：

同（2）一樣可能有。個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

設(shè)縱坐

標(biāo)為Z,則橫坐標(biāo)是62+打十。=%的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（4）一次函數(shù)丁=履+〃（女。0）的圖像/與二次函數(shù)了二。氏2+法+電工0）的圖像G的交點(diǎn)，由

“y=%x+n

方程組2的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時(shí)o/與G有兩個(gè)交

_y=ax+bx+c

點(diǎn)；

②方程組只有一組解時(shí)=/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)=/與G沒有交點(diǎn).

（5）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=o?+法+c與4軸兩交點(diǎn)為

4（卬0）,8（卬0），則回=|大一引

幾何圖形公式（帶大號(hào)的是附加知識(shí)）

1、多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）180。（〃，3,〃是止整數(shù)），外角和等于360。

2、平行線分線段成比例定理:

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線八與b分別與直線從c相交與點(diǎn)4、B、C、D、E、F,

n」士A8DEABDEBCEF

BCEF,ACDF9ACDF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：△ABC中，DE//BC,DE與A8、AC相交與點(diǎn)D、E,則有：

AD_AEA_D_AEDE_DBEC/\人L一

C

*3、直角三角形中的射影定理：如圖：RizMBC中，NAC8=90°,COJ_A8于O,則有:

(1)CD'=A>BD(2)AC"=ADAB(3)BC'=BDAB

ADB

4、圓的有關(guān)性質(zhì)：

（l）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平

分弦；④平分弦所對(duì)的劣?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì).

（2）兩條平行弦所夾的弧相等.

（3）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

（4）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

（5）圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.

（6）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

（8）90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90°,直徑是最長的弦.

（9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平

分線的交點(diǎn).三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn).

常見結(jié)論：（1）RtZ\ABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑r=￡1^Z￡,

2

（2）ZiABC的周長為/,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則S

2

*6、弦切角定理及其推論：

（I）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：NB4C為弦

切侑。

（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

A

O

如果AC是00的弦，附是。0的切線，A為切點(diǎn)，則NPAC=!AC=，NA。。

22

推論：弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角（作用證明角相等）

如果AC是OO的弦，力是00的切線，A為切點(diǎn)，則NQ4C=NABC

*7、相交弦定理、割線定理、切割線定理：

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。如圖①，即：PAPB=PCPD

割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

如圖②，即：PAPB=PCPD

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

如圖覆③，即：PC2=PAPB胃彳仁、。*x-

①②③

8、面積公式：

①S正邊長廣

②S平行四邊形=底X同］.

③S菱形=底乂高=；義（對(duì)角線的積），S梯形=g（上底+下底）、高=中位線X高

④際=n4.

⑤/圜周長=2nR.

⑥弧長工=寓.

1oil

⑧品I柱側(cè)=底面周長X=2nrh,8面積=甌+5^—2"rh~\~2n_r-

⑨S網(wǎng)錐側(cè)=1X底面周長X母線=JIS全面積=&+&=nrb+兀/

中考規(guī)律探索1

一.選擇題

1.觀察下列等式：31=3,3?=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187...

解答下列問題：3+32+33+34…+3233的末位數(shù)字是（)

A.0B.1C.3D.7

2.把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1）,（3,5,7）.（9,11,13,15,17）,

（19,21,23,25,27,29,31）,…，現(xiàn)用等式AM=（i，j）表示正奇數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)（從

左往右數(shù)），如A?=（2,3）,則A2OI3二（）

4.下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖形的面積為2°層，第（2）個(gè)

圖形的面積為8CT?2,第（3）個(gè)圖形的面積為18cm2,……，第（10）個(gè)圖形的面積為（）

（1）（2）⑶（4）

A.196crtrB.200cnvC.216cnrD.256cnr

5.如圖，動(dòng)點(diǎn)P從（0,3）出發(fā)，沿所示的方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等

于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第2013次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A、(1,4)B、(5,0)C、(6,4)D、(8,3)

6.如圖，下列各圖形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律，圖形中M與m、n的關(guān)系是

7.我們知道，一元二次方程/=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1,若我們規(guī)定一

個(gè)新數(shù)使其滿足尸=-1（即方程d=_i有一個(gè)根為），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)

行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有『二，，『=-1,

32

i=ii==〃=（產(chǎn)）2=（-1）2=1.從而對(duì)任意正整數(shù)n,我們可得到

嚴(yán)+1=嚴(yán)1=(/)〃/=,，同理可得/"+2=_]#4"+3=T/4"=[,那么

j+產(chǎn)+/+/+…嚴(yán)+嚴(yán)13的值為

A.0B.1C.-1D.

8.下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有1顆棋子，第②個(gè)圖形一

共有6顆棋子，第③個(gè)圖形一共有16顆棋子，…，則第⑥個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）

圖①圖②圖③

（第8題圖）

A.51B.70C.76D.81

二.填空題

1.觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第〃個(gè)圖形中所有的個(gè)數(shù)為（用

含〃的代數(shù)式表示）.

圖2圖3

逐11?）

2.如圖，在宜角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3,0）、B（0,4）,對(duì)△OA8連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得

3.如圖，正方形ABCD的邊長為1,順次連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)正方形AiBiCiDi,

由順次連接正方形A1B1C1D1四邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形A2B2c2D2…，以此類推，則第六個(gè)正方

形A6B6c6D6周長是

B

D

4.直線上有2013個(gè)點(diǎn)，我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)間插入1個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過3次這樣的操作后,

直淺上共有個(gè)點(diǎn).

5.如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).例如：稱圖中的數(shù)1,5,12,22...

為五邊形數(shù)，則第6個(gè)五邊形數(shù)是

8.如圖12,一段拋物線：y=-x(x-3)(0<x<3),記為Cl,它與x軸交于點(diǎn)。，A\；

將Cl繞點(diǎn)、Al旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點(diǎn)42：

將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180。得C3,交x軸于點(diǎn)A3；

如此進(jìn)行下去，直至得C13.若P(37,加)

在第13段拋物線C13上，則/二

9.直線上有2013個(gè)點(diǎn)，我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)間插入1個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過3次這樣的操作后,

直線上共有個(gè)點(diǎn).

10.觀察下列各式的計(jì)算過程:

5X5=0X1X100+25,

15X15=1X2X100+25,

25X25=2X3X100+25,

35X35=3X4X100+25,

請(qǐng)猜測，第n個(gè)算式（n為正整數(shù)）應(yīng)表示為

11.將連續(xù)的正整數(shù)按以下規(guī)律排列，則位于第7行、第7列的數(shù)X是

第一列第二列第三列第四列第五列第六列第七列

第1行136101521