2022版人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)分課時(shí)教學(xué)案（共30課時(shí)）

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀

1.了解空間向量的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)

1.了解空間向量的概念.程.（邏輯推理）

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.3.掌握空間向量線性運(yùn)算的法則和運(yùn)算律.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

4.掌握共線向量定理和共面向量定理，會(huì)證明空間三點(diǎn)共

線、四點(diǎn)共面.（數(shù)學(xué)抽象）

必備知識(shí)?探新知

知識(shí)點(diǎn)1空間向量的概念

1.定義：在空間，具有一大小—和—方向.的量叫做空間向量.

2.長(zhǎng)度或模：向量的一大小.

3.表示方法：

（I）幾何表示法：空間向曷用—有向線段—表示:

（2）字母表示法：用字母。，兒c,…表示；若向量。的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是&也可記作后,

其模記為⑷或|矗I.

4.幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量一長(zhǎng)度為3的向量叫做零向量.記為0

單位向量模為1的向量叫做單位向量

與向量。長(zhǎng)度_相等—而方向.相反—的向量，叫做a的

相反向量

相反向量，記為一。

共線向量（平行向量）如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或

重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：對(duì)

于任意向量m都有0〃。

相等向量方向三回一且模的向量叫做相等向量

思考1:單位向量都相等嗎？

提示：不一定.單位向量的模雖然都為1,但是方向各異.

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算

加法a-\~b=OA~\-AB=OB

空間向減法a-h=OA-OC=&

量的線

當(dāng)2>0時(shí)，Aa=AOA=PQ：

性運(yùn)算

數(shù)乘

當(dāng)/V0時(shí)，)M=kOA=MN',

當(dāng)4=0時(shí)，觴=0

交換律：a+b=b+a,

運(yùn)算律結(jié)合律：a+(b+c)=(o+b)+c,2(/⑷=(M)a；

分配律：([+")。=&+償1,2(a+b)=癡+必

思考2：怎樣作圖表示三個(gè)向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關(guān)？

提示：可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個(gè)向量的和.加法運(yùn)算是對(duì)有限個(gè)

向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.

思考3：由數(shù)乘〃=0,可否得出2=0?

提示：不能.癡=0<=U=0或0=0.

知識(shí)點(diǎn)3共線向量

1.空間兩個(gè)向量共線的充要條件

對(duì)于空間任意兩個(gè)向量。，力SWO）,的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使得。=訪.

2.直線的方向向量

在直線/上取非零向量如我們把一身向量a平行的非零向量—稱為直線/的方向向量.

思考4：對(duì)于空間向量a,b,c,若。〃。且）〃c,是否可以得到?！╟?

提示：不能.若b=0,則對(duì)任意向量Q,c都有?！╞且b〃c.

思考5：怎樣利用向量共線證明A,B,C三點(diǎn)共線？

提示：只需證明向量而不唯一）共線即可.

知識(shí)點(diǎn)4共面向量

1.共面向量

如圖，如果表示向量。的有向線段方i所在的直線。4與直線/平行或重合，那么稱向量。

平行于直線/.如果直線0A平行于平面a或在平面a內(nèi)，那么稱向量。平行于平面a.平行

于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量.

0A

2.向量共面的充要條件

如果兩個(gè)向量m力不共線，那么向量p與向量。，b共面的充要條件是存在唯一的有序

實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使&=xa+vb.

思考6：空間中的兩個(gè)向量是不是共面向量？

提示：是.空間中的任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量.

關(guān)鍵能力攻重難

V

題型探究

題型一空間向量及相關(guān)概念的理解

典例1給出下列命題：①在同一條直線上的單位向量都相等；②只有零向量

的模等于0;③在正方體中，病?與病i是相等向量；④在空間四邊形A8CO

中，嬴與無(wú))是相反向量；⑤在三棱柱ABC—AIiG中，與/Hi的模一定相等的向量一共有4

個(gè).其中正確命題的序號(hào)為②③一.

［解析］①錯(cuò)誤，在同一條直線上的單位向量，方向可能相同，也可能相反，故它們不一

定相等；

②正確，零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量；

③正確，病|與更?的模相等，方向相同；

④錯(cuò)誤，空間四邊形ABC。中，B與日)的模不一定相等，方向也不一定相反；

⑤錯(cuò)誤，在三棱柱ABC—4囪G中，與筋?的模一定相等的向量是扇，嬴瓦)，CCi,

GC,一共有5個(gè).

［規(guī)律方法］空間向量概念的辯析

(1)向量的兩個(gè)要素是大小與方向，兩者缺一不可；

(2)單位向量的方向雖然不一定相同，但長(zhǎng)度一定為1;

（3）兩個(gè)向量的模相等，即它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量（非零向量）的模相

等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件：

（4）由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對(duì)向量來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的，但向量的

模是可以比較大小的.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?給出下列命題：

①兩個(gè)空間向量相等，則它們起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

②若空間向量m）滿足|。|=也|,則a=b；

③在正方體ABC。一481Gd中，必有就=A72I；

④若空間向量切，〃滿足加=n，〃=p,則m=p；

⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是（C）

A.1B.2

C.3D.4

［解析］當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí),

它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)均不一定相同，故①錯(cuò)；根據(jù)向量相等的定義知不僅需要模相等，而且需

要方向相同，故②錯(cuò)；根據(jù)正方體ABC。-4SGA中，向量/與4工|的方向相同，模也相

等，必有n=A；3,故③正確；命題④顯然正確；空間中任意兩個(gè)單住向量的模均為1,但方

向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò).

題型二空間向量的線性運(yùn)算

典例2如圖所示，在平行六面體ABCD-ABiGOi中，設(shè)京1=如嬴=4病

=c,M,N,尸分別是A4］,BC,Ci。的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以不各向量：

?ACi；?AP；?A?N.

［分析］根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解.

［解析］①啟產(chǎn)而+麗?+瓦3=布+筋?+病=。+》+仁

②A^>=A^+A心+況p=以l+Ab+3h=a+c+/

③屈7=啟+而+的=一筋+贏+拘）=一。+6+%.

［規(guī)律方法］空間向量線性運(yùn)算的技巧和思路

(1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧

①巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈

活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接，從而便于運(yùn)算.

②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要

注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.

(2)化簡(jiǎn)空間向量的常用思路

①分組：合理分組，以便靈活運(yùn)用三角彩法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡(jiǎn).

②多邊形法則：在空間向量的加法運(yùn)算中，若是多個(gè)向量求和，還可利用多邊形法則，

若干個(gè)向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.

③走邊路：靈活運(yùn)用空間向量的加法、減法法則，盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(2020.山東渾坊學(xué)年高二期末)己知四棱錐P—ABCO的底面A8CO是平

行四邊形，設(shè)屬=mPB^b,PC=c,則訪=(B)

A.。+力+cB.Q一方+c

C.a-\-b-cD.-a+b+c

［解析］如圖所示,

四棱錐尸一ABC。的底面ABCD是平行四邊形，萩=用PB=b,PC=c,則而=詼+病

=PA+BC=PA-V(PC-PB)=PA-PB-\-PC=a~b+c.故選B.

題型三空間共線向量定理及其應(yīng)用

典例3如圖所示，在正方體A8CO—4B1GO］中，點(diǎn)E在4。上，且證=

2歷，點(diǎn)尸在對(duì)角線AC上，且布=滋.求證：E,F,8三點(diǎn)共線.

［分析］可通過(guò)證明辭與胡共線來(lái)證明E,F,B三點(diǎn)共線.

［證明］設(shè)贏=。，AD=b,AAi=c.

—?—?—>2—>

因?yàn)锳iE=2EDi,Ai產(chǎn)=4尸C,

所以/(至=養(yǎng)小1,A^F=^A^C,

所以與2=51)=?,/hF=|(AC—AAi)

=1(AB+Ab-/L4i)=1a+|^—

———242

所以七?二4］/7—AIE=5”一訶6—5c

畏告一c).

又前=屬1+/^+油=一多一c+a=a一全一c.

.,與=|函

又???際與詼有公共點(diǎn)￡:?E,憶5三點(diǎn)共線.

［規(guī)律方法］1.判斷向量共線的策略

(1)熟記共線向量充要條件：①a%,bWO,則存在唯一實(shí)數(shù)2使。=勸；②若存在唯一實(shí)

數(shù)2,使。=北，6W0,!?')a/7b.

(2)判斷向量共線的關(guān)鍵是找到實(shí)數(shù)九

2.證明空間三點(diǎn)共線的三種思路

對(duì)于空間三點(diǎn)P、4、8可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線.

⑴存在實(shí)數(shù)心使或=2而成立.

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有舁=蘇+凝(f￡R).

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)0,有/=犬為+)，<而(x+y=l).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?如圖所示，ABC。一ABE尸都是平行四邊形，且不共面，M、N分別是

AC.的中點(diǎn)，判斷無(wú)與加是否共線？

［解析］M.N分別是AC、B尸的中點(diǎn)，而四邊形48c。、ABE尸都是平行四邊形,

.,.加=總+而+麗=知+石+期.

又'：MN=MC+CE+EB-\-BN

=-^CA-\-CE-AF-^FBt

：^CA+Ar^FB=-^CA-\-CE-AF-^FB.

??6=游+2萬(wàn)+施=2必+能+而.

：.盤=2亦,.\CE//MN,即無(wú)與加共線.

題型四空間向量共面定理及其應(yīng)用

典例4已知A,B,C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿足曲=/^+；加

1f

+種

(I)判斷詁，而，灰:三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

［分析］要證明三個(gè)向量說(shuō)1,」而，血共面，只需證明存在實(shí)數(shù)x,?使詼=礪+,慶,

證明了三個(gè)向量共面，即可說(shuō)明點(diǎn)M就在平面內(nèi).

［解析］⑴因?yàn)榈Z=揚(yáng)+潁+舒乙

所以6而=3后+2協(xié)+衣，

所以3—一3而=(2原-2加)+(而一女)，

因此3忘=2^/+屈=-2流一證.

故向量而，MB,血共面.

(2)由(1)知向量而，誦,血共面，三個(gè)向量又有公共點(diǎn)M,故W,A,B,C共面，即

點(diǎn)M在平面A8C內(nèi).

［規(guī)律方法］1.證明點(diǎn)P在平面A8C內(nèi)，可以用力=.屆+)點(diǎn)2,也可以用

+yAC,若用5>=x5X+y5h+z沆，則必須滿足x+y+z=l.

2.判定三個(gè)向量共面一般用p=m+yb,證明三線共面常用力=大贏+)公，證明四點(diǎn)共

面常用作=工萬(wàn)1+)扇+z向其中x+)，+z=1).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?正方體ABCD-ABiGDi中,M、N、P、。分別為點(diǎn)。i、DiCi、AAi>

CG的中點(diǎn)，用向量方法證明M、N、P、。四點(diǎn)共面.

［解析］令加i=a,求|=瓦萬(wàn)b=c,

?：M、N、P、Q均為棱的中點(diǎn)，

.\MN=^b—^a,前＞=而|+箱＞=%+5,

血=屈］+比1+演=-%+5+%.

令順=刀麻+"兩，則

-5+6+%=/-碗+如+%。，

r\1

抑T)=一￡

2=2

，VzA=1

11

I為=5

：.MQ=2MN+MP,因此向量被、MN.而共面,

，四點(diǎn)M、N、尸、。共面.

V

易錯(cuò)警示

混淆平面向量與空間向量致錯(cuò)

典例5已知非零空間向量ei，62不共線，如果贏=ei+e2,Ac=2ei+8e2,AD

=3ei-3e2,那么下列結(jié)論正確的是（B）

A.A,B,C,。四點(diǎn)共線

B.A,B,C,。四點(diǎn)共面

C.A,B,C,。四點(diǎn)不共面

D.無(wú)法確定

［錯(cuò)解］:俞=ei+e2,位:+病=5的+562=5前,

...A,B,C,。四點(diǎn)共線.故選A.

［辨析］在平面向量中，若。=勸仍工0）,則。與方共線；在空間向量中，若。=勸+〃以。

與c不共線），則a,b,c共面.

［正解］由錯(cuò)解知初=版?+垣，則Q,AC,而共面.從而4,B,C,。四點(diǎn)共面.

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀

1.理解空間兩個(gè)向量夾角的定義.（直觀想象）

2.掌握空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，會(huì)求空間

掌握空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.向量的數(shù)量積.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

3.能夠運(yùn)用空間向量的數(shù)量枳解決夾角與距離問(wèn)題.（數(shù)學(xué)

運(yùn)算）

必備知識(shí)?探新知

知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角

1.定義：已知兩個(gè)非零向量。，4在空間任取一點(diǎn)0,作0B=b,則上A0昆

叫做向量。，力的夾角，記作（。，b）.

b

2.范圍：0W(a,b).

特別地，當(dāng)（a,b）=，時(shí),a±b.

思考I：當(dāng)（。，b）=0和〈a,b）=兀時(shí)，向量。與方有什么關(guān)系？

提示：當(dāng)（a,b）=0時(shí)，。與b同向；當(dāng)〈a,b}=兀時(shí)，。與白反向.

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積

己知兩個(gè)非零向量a，b,則|a||b|cos〈a,b）叫做a,力的數(shù)量積，記作

定義即ab=一⑷也|cos〈a,b1—

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0

性質(zhì)①。_LbO0b=0

@a-a=a1=\a\i

一①(癡)力=入3/)，2WR

運(yùn)算律②。(交換律)

③<r(b+c)=4?5+a?c(分配律)

思考2：向量的數(shù)量積運(yùn)算是否滿足結(jié)合律？

提示：不滿足結(jié)合律，36>c=a?(b?c)是錯(cuò)誤的.

思考3：對(duì)于向量m乩若ab=k,能否寫成。=/或方=，

提示：不能，向量沒(méi)有除法.

知識(shí)點(diǎn)3向量a的投影

1.如圖(1),在空間，向量Q向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平

移到同一個(gè)平面a內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量。共線的向量c,c=|a|cos(?,

by自，向量。稱為向量a在向量力上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線/投影(如圖

⑵).

2.如圖(3),向量Q向平面夕投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8作平面0的垂線,

垂足分別為A',"，得到川飛'，向量A'為'稱為向量。在平面“上的投影向量.這時(shí)，

向量aA'"h'的夾角就是向量。所在直線與平面￡所成的角.

關(guān)鍵能力攻重難

題型探究

題型一求空間向量的數(shù)量積

典例1己知三棱錐O—ABC的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，且棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)、M,

N,尸分別為A8,BC,CA的中點(diǎn).試求:

0

(\)OAOB；(2)NPAB；

(3)5BAC：(4)OCMP.

［分析］求出每個(gè)向量的模及它們的夾角，然后按照數(shù)量積的定義求解，必要時(shí)，對(duì)向量

進(jìn)行分解.

［解析］⑴殖痂=|alldhlcos(OA,0B)

=|而|而cosNAOB=2X2Xcos60。=2.

(2)NP-AB=\NP\\AB\cos(NP,AB}

=|布|而|cos180°=lX2X(-l)=-2.

(3)5B-AC=OB(OC-OA)=OB-OC-OB-OA

=2X2Xcos/8OC-2X2XcosN8QA=0.

―?—>—?I-?

(4)OCMP=OC?］BC

=^OCBC=^OC^OC—OB)

1-?A—?->1c

=2(OC2-OCOB)=2X(22-2)=1.

［規(guī)律方法］空間向量運(yùn)算的方法與步驟

方法：(1)利用定義，直接利用。力=|。仙|cos〈*b}并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.

(2)利用圖形，計(jì)篦兩個(gè)向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋?找?jiàn)A角，

再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.

(3)利用向量分解，在幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要充分利用幾何體的性質(zhì)，把

待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進(jìn)行運(yùn)算.

步驟：①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線性組合形式；

②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積：

③代入。力=|a||b|cos〈a,b〉求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)已知a=3p—2q,》=p+q,p和g是相互垂直的單位向量，則ab

=(A)

A.1B.2

C.3D.4

(2)如圖所示，正方體ABCO-AISGA的棱長(zhǎng)為1，

求下列數(shù)量積：①贏?威產(chǎn)一1：

②施壽=0.

［解析］(2)①根據(jù)題意知，|靠|=1,|就I尸啦，(AB,BA1)=135。，所以Ak扇I=1X也

Xcos1350=-1；

②在正方體ABCD-AiBiCiDi中，

ABJ_BC,AfilCCi,

所以矗?BC\=AB\BC+CC\)

=ABRC-\-ABCC\=Q.

題型二利用數(shù)量積求夾角

典例2如圖，在正方體ABCQ-ABiGOi中，求向量病i與戰(zhàn)?的夾角的大小.

［分析］求兩個(gè)向量的夾角，可以把其中一個(gè)向曷平移到與另一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，從而

轉(zhuǎn)化為求平面角的大??；也可以用兩個(gè)向量的數(shù)量積定義=|o||b|cos(a,b),求出cos(a,

b)=箭的值，然后確定《a,b)的大小.

f解析］(方法1)因?yàn)榻?=汨1,所以NOiAC即為向量病1與n的夾角.

TT

因?yàn)椤鱀AC為等邊三角形，所以NO|AC=§,

即〈肥，AC)=小

所以向量肥與病的夾角為小

(方法2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則證i?危=屈+五)?(贏+詼)

=(AD+AAi)(AB-l-Ab)

=屈)?嬴+而F+忌.誦+忌.病

=o+|Ab|2+o+o=|Ab|2=1.

X|5C)|=V2,\AC\=y[2t

BCyAC_1_1

所以cos<BC1,AC)IBCillAa巾x巾爹

因?yàn)椤肚?，AC>e(o,利，所以(證i,AC>=字

所以向量記］與元的夾角為爭(zhēng)

［規(guī)律方法］兩個(gè)非零向量夾角求法的兩個(gè)途徑

(1)轉(zhuǎn)化求角：把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角，利用解三角形的知識(shí)求解.

⑵利用數(shù)量積求夾角：運(yùn)用公式cos〈％b〉=而進(jìn)行求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)已知小b是異面直線，A,BGa,C,DGb,ACLb,BD上b,且

AB=2,CD=1,貝Um。所成的角是60。

(2)LA知空間四邊形OA3C各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E,尸分別為AB,OC的中點(diǎn)，則向量

2

0E與向量BF夾角的余弦值為?

-3_

［解析］⑴AB=AC+CD+DB,

所以詼?矗=詼?(啟+詼+麗)

=icb|2=i,

所以cos(CD,AB)=°。*3=/

\CD\\AB\

所以異面直線出b所成角是60。.

(2)設(shè)OA=a,OB=b,OC=c且⑷=|6|=|c|=1,

易知NAOB=ZBOC=NA。。/

則ab=bc=ca=^.

因?yàn)闊o(wú)=T(a+協(xié))=；(a+b),

BF=OF-OB=jOC-OB=^c-b,

|西=|兩=坐,

所以無(wú)?泳=T(a+5)?(5—力)

設(shè)無(wú)與際的夾角為仇

八OEBF22

COS__-h_§?

\OE\\BF]竽X孚

所以向量既與向量而夾角的余弦值為一|.

題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

角度I利用數(shù)量積證明空間中的垂直關(guān)系

典例3已知三棱錐。一A3C中，ZAOB=ZBOC=7AOC,且OA=OB=

OC.M、N分別是04、8c的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG_LBC.

I分析］要證。G_L8C,只要證db?正=0,關(guān)鍵是把布、病用一組基向量萬(wàn)LOB.0C

表示出來(lái).

f解析］如圖所示，連接0M設(shè)NA08=/B0C=NA0C=仇

又設(shè)后=a,OB=b,OC=c,則悶=|例=|c|,

.,?a-b=b-c=a-c

=|d|2cos0,

又05=今而+麗

11-if-1

=]50A+g(0B+0C)]=w3+b+c).

BC=c—b,

，歷反=；3+b+c)(c—b),

=^(ac—ab—b2+c2)=O.

，OG_L6c.

［規(guī)律方法］證明兩直線垂直，求兩直線夾角，其關(guān)鍵環(huán)節(jié)都是取兩直線的方向向量，將

其用一組容易求數(shù)量積的不共面向量線性表示，證明兩直線垂直，即證兩直線方向向量的數(shù)

量積為0：求兩直線夾角利用兩向量的夾角公式求解，需注意兩向量夾角范圍是［0,nl.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?已知空間四邊形OA8C中，M、N、P、Q分別為BC、AC.OA.的

中點(diǎn)，若48=。。，求證：PMA.QN.

［證明］

如圖，設(shè)a=%OB=b,OC=ct

又尸、M分別為OA,8C的中點(diǎn).

=1[(Z>-a)+c].

同理，麗=g(a+c)—上

=—^[(b—a)—c].

???麗麗=_加一d_|響,

又A5=OC,即|b-a|=|c|.

：,PMQN=0.

J.PMLQN,即PMLQN.

角度2利用數(shù)量積求距離

它的對(duì)角線AC將△AC。折起，使A8與CO成60。角，求此時(shí)8,。間的距離.

BC

［解析］因?yàn)镹ACO=90。，所以北?麗=0,同理可得公?蕩=0.因?yàn)?B與CO成60。

角，所以〈函，CD>=60?；颍ň?，CD）=120°.

又病=屈十危十而，

所以|礪F=|函F+I而2+|詼F+2函?危+2函?詼+2Abdb=3+2X1X1Xcos〈函，

CD）.

所以當(dāng)〈筋，CD>=60。時(shí)，訪|2=4,此時(shí)8,。間的距離為2；當(dāng)（麗，CD}=120°

時(shí)，|礪產(chǎn)=2,此時(shí)艮D(zhuǎn)間的距離為班.

［規(guī)律方法］用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟

（1）用向量表示此距離.（2）用其他向量表示此向量.（3）用公式。。=聞2,求同.（4）⑷即為

所求距離.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

如圖，已知一個(gè)60。的二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,AC,BO分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于

AB的線段.又知AB=4,AC=6,BO=8,求CO的長(zhǎng).

［解析］因?yàn)镚4_LAB,BDLABt

所以〈為，麗〉=120°.

因?yàn)榧?麗，且不?矗=0,麗?贏=o,

所以1詼|2=|資產(chǎn)+而F+|礪F+2近?麗

=|CA|2+|AB|2+|B￡)|2+2|CA||fib|cos(CA,BD>

=62+42+82+2X6X8xf-^=68,

所以|詼|=2、由，故CD的長(zhǎng)為2行.

V

易措警示

忽視向量方向，造成錯(cuò)誤角度

典例5（2021?山東濰坊檢測(cè)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，每條邊的長(zhǎng)

度和兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度都等于1，M,N分別為4B,A。的中點(diǎn)，則而比=一公

［錯(cuò)解］NBDC是訪與比的夾角，從而加.比=：cos60°=1.

I辨析］向量的夾角定義中，必須把兩向量平移至有公共起點(diǎn)，如圖所示，N4O8是宓與

油的夾角，而歷與為的夾角為NAOB的補(bǔ)角.

［正解］MNDC=^Sb-DC=^Sb\\DC\cQS〈訪，DC>=|cos1200=-1.

1.2,空間向量基本定理

素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀

1.掌握空間向量基本定理.（數(shù)學(xué)抽象）

1.了解空間向量基本定理及其意義.

2.了解空間向量正交分解的含義.（數(shù)學(xué)抽象）

2.掌握空間向量的正交分解.

3.會(huì)用空間向量基本定理解決有關(guān)問(wèn)題.（邏輯推理）

必備知識(shí)?探新知

知識(shí)點(diǎn)1空間向量基本定理

如果三個(gè)向量。，b,C—不共面—,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

（x,y,z）,使得0=m+yb+zc.

我們把｛。，b,cl叫做空間的一個(gè)_基底.，a,b,。都叫做基向量.

思考1：零向量能否作為基向量？

提示：不能.零向量與任意兩個(gè)向量a,b都共面.

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的正交分解

1.單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量一兩兩垂直且長(zhǎng)度都是那么這個(gè)基底叫

做單位正交基底，常用{i,j,A}表示.

2.向量的正交分解

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量。，均可以分解為三個(gè)向量與，)力zA使得〃

=與+力+z/L像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交

分解.

知識(shí)點(diǎn)3證明平行、共線、共面問(wèn)題

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量小帥K0),。〃力的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使4=勸一.

(2)如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量°,力共面的充要條件是存在唯一的有

序?qū)崝?shù)對(duì)(%,y),使D=xa+vb.

思考2：怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問(wèn)題？

提示：平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)4求夾角、證明垂直問(wèn)題

(1?h

(1)。為a,方的夾角，則cos夕=1^|誦_.

(2)若a,b是非零向量，則a?=0.

思考3：怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問(wèn)題？

提示：幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意角的范

圍.

知識(shí)點(diǎn)5求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題

\a\=yfah(\AB\='贏.贏).

思考4：怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題？

提示：幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用數(shù)量積可以求得.

關(guān)鍵能力攻重難

V

題型探究

題型一基底的判斷

典例1⑴設(shè)x=a+5,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底，

給出下列向量組：①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},?{x,y,a+b+c}.其中可以

作為空間一個(gè)基底的向量組有(C)

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)已知｛el,62,63｝是空間的一個(gè)基底，且51=ei+2e2-e3,彷=-3ei+02+203,0C=

ei+e2-63，試判斷｛—,OB,5H能否作為空間的一個(gè)基底.

(I)如圖所示，令。=人8,b=AA\tc=AD,

則y=AD\,z=AC,o+b+c=AG.

由于4,Bi,C,Di四點(diǎn)不共面，可知向量工，y,z也不共面，

同理b,c,z和x,j,a+b+c也不共面，由于A,B,B\,4四總共面知a,b,工共面,

故選C.

(2)設(shè)。入=xO5?+yOt\則g+2e2—e3=x(-3ei+e2+2e3)+y(ei+e2—03),

即ei+2ei—C3=(y-3x)ei+(x+y)e2+(2x—y)ea,

。-3x=l,

?lx+)，=2,此方程組無(wú)解.

2LY=-1,

即不存在實(shí)數(shù)x,y,使得晶=x3h+y灰t,

所以而1,OB,女不共面.

所以｛晶，次,也:｝能作為空間的一個(gè)基底.

［規(guī)律方法］判斷基底的基本思路及方法

(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能

構(gòu)成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的

向量線性表示，則不能構(gòu)成基底.

②假設(shè)a=M+4C,運(yùn)用空間向量基本定理，建立2,"的方程組，若有解，則共面，不

能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基?底.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?若｛m"c｝是空間的一個(gè)基底，試判斷(a+b,b+c,c+a｝能否作為

空間的一個(gè)基底.

［解析］假設(shè)。+b,0+c,C+Q共面，則存在實(shí)數(shù)九使得。+方=4(D+c)+"(c+a),

即。+方=〃。+勸+(2+4)c.

V｛??b,c｝是空間的一個(gè)基底，力，c不共面.

1=〃，

l=A,此方程組無(wú)解.

、0=2+",

即不存在實(shí)數(shù)2,",使得a+b=2S+c)+4(c+。),

,\a~\-b,>+c,c+a不共面.

故｛a+b,b+c,c+a｝能作為空間的一個(gè)基底.

題型二用基底表示空間向量

典例2

如圖所示，四棱錐。一04BC的底面為一矩形，。。_1_平面0A4C,設(shè)晶=“，OC=b,OP

=c,點(diǎn)E,尸分別是尸C,尸B的中點(diǎn)，試用a,b,c表示：BF,BE,危，EF.

利用圖形尋找待求向利用向量運(yùn)_直至向量用

［分析］

最與a,b,c的關(guān)系算進(jìn)行拆分a，b,。表示

［解析］

連接B0,則泳=頡』/筋+而）=g（c—》一。）=一%一與十%.

AE=AP+PE=AO+OP-\-^P()+OC)

EF=^CB=^OA=^a.

［規(guī)律方法］用基底表示空間向量的解題策略

1.空間中，任一向量都可以用一個(gè)基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的.

2.用基底表示空間向量時(shí)，一般要結(jié)合圖形，運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、

三角形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則，逐步向基向量過(guò)渡，直至全部用基向量表示.

3.在空間幾何體中選擇基底時(shí)，通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作

為基底，例如，在正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三

條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?如圖，平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，AB=a,AD=btAAi=c,E

為的中點(diǎn)，尸為8G與3c的交點(diǎn).

（1）用基底｛。，b,c｝表示向量法BE,AF；

（2）化簡(jiǎn)￡51+方h+db,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果.

［解析］⑴防尸比+而1=&+說(shuō)1一謊=。一。+c.

詬=函+啟+在

=-a+）+c.AF=AB+BF

=a+3（A+c）=a+，+；c.

⑵麗+加+詼=麗+（而+曲

=DD\^CB=DDy+D^A\=DAy.

如圖，連接。Ai,則應(yīng)1即為所求.

題型三空間向量基本定理的應(yīng)用

角度1利用空間向量基本定理證明位置關(guān)系

典例3如圖，在正方體ABC。-中，E,產(chǎn)分別是的中點(diǎn),

求證：EFVAB\.

［證明］設(shè)贏=。，AA\=b,AD=c,

則際=函+而力=力麗+瓦加

I-A—>I—?-A—>I-?-A-A-A—?

=5(/L4I+8D)=E(/UI+AO—AB)=5(—a+b+c),AB\=AB-\-BB}=AB-\-AAi=a+b.

所以就麗=1(-a+b+c).(a+b)=/|bF一同2)=o所以加工通l,即ML?

角度2求距離、夾角

典例4如圖，在平行六面體ABCO-A由iGG中，以頂點(diǎn)4為端點(diǎn)的三條棱

長(zhǎng)度都為1,且兩兩夾角為60。.

(1)求AG的長(zhǎng)；(2)求BDi與4C所成角的余弦值.

［解析］⑴設(shè)贏=a,AD=b,AA\=c,則|a|=|b|=|c|=l,〈°,b>=c〉—〈c,a)

=60°,

所以ab=bc=ca=2-

總］|2=3+6+。)2=/+〃+/+23/+6七+。4)=1+1+1+2乂6+/+?=6,

所以照i|=#,即AG的長(zhǎng)龍

(2)詬i=b+c-a,啟=。+瓦

所以|由i|=&，|成］=小，

BD\AC=(b-^-c—a)(a-}-b)=b1—a2-}-ac+bc=1.

所以cos向,AC>=&之=*.

IBD1IIAQ

所以4c與BDi所成角的余弦值為平.

［規(guī)律方法］應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面

直線所成的角等.

首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個(gè)基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量

表示.

(I)若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0.

(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線.

(3)若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?在棱長(zhǎng)為2的正方體A6cO—4BIG￡)I中，E,F分別是OOi，的

中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CG=(CD.

(1)證明：EFLBxCx

(2)求E尸與GG所成角的余弦值.

［解析］(1)證明：設(shè)屈=i,DC=j,向=匕則｛i,j,A｝構(gòu)成空間的一個(gè)正交基底.

>>>］1..111...

所以七尸=七。+￡)尸=—/+2(￡)4+48)=5力+^/—/,BiC=BiB+BC=-i—k,

所以譯?屈”&+斗一切(T-A)

=一%+刎2=0所以E尸1BC.

(2)解:6=3+多―/，命=?+歷=-―］，I的2=件+'一權(quán))2+鏟+加2+加2

.邛,

力《G

Acos<EF,C^G)

\EF\\C^G\

_(*?+*一加q_而

~小X平一呼15

:?EF與CiG所成角的余弦值為卷.

1.3左間向量及其運(yùn)算的生標(biāo)表示

1.3.1空間直角坐標(biāo)系

素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀

1.了解空間直角坐標(biāo)系.1.了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式.(直觀想象)

2.會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.2.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.(直觀

想象)

3.能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)和已知坐

標(biāo)作出點(diǎn).(直觀想象)

必備知識(shí)?探新知

知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念

(I)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底｛i,J，曷，以。為原點(diǎn)，分

別以i,左的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：X軸、y軸、Z軸.它

們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)一空間直角坐標(biāo)系。rvz.

(2)相關(guān)概念：。叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)—每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸—的平面

叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Qxv'叱面、Ovz平面、Ozr平面,它們把空間分成八個(gè)部

分.

2.右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向的正方向，食指指向y軸一的正方向,

如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

思考1：空間直角坐標(biāo)系有什么作用？

提示：可以通過(guò)空間直角坐標(biāo)系將空間點(diǎn)、直線、平面數(shù)量化，將空間位置關(guān)系解析化.

知識(shí)點(diǎn)2空間-點(diǎn)的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i,j,左為坐標(biāo)單位向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量

0A,且點(diǎn)A的位置由向量