《概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其MATLAB實(shí)現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案 第5章

PAGEPAGE8習(xí)題5.11.設(shè)在每次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為0.75，利用切比雪夫不等式估計在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，發(fā)生的次數(shù)在700-800之間的概率.【解】設(shè)發(fā)生的次數(shù)為，則，所求概率為：.2.假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.習(xí)題5.21.某車間有同型號機(jī)床200臺，每部機(jī)床開動的概率為0.7，假定各機(jī)床開動與否互不影響，開動時每部機(jī)床消耗電能15個單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時開動的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時開動的機(jī)床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機(jī)床數(shù)目，則X~B（200，0.7）,查表知,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.2.一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk（k=1，2，…，20），設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20由中心極限定理知，隨機(jī)變量于是即有P{V>105}≈0.3483.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則X~B（100，0.2）從而4.某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1）若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1)X~B(100,0.8)，(2)X~B(100,0.7)，5.用拉普拉斯中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故6.設(shè)有30個電子器件.它們的使用壽命T1，…，T30服從參數(shù)λ=0.1[單位：]的指數(shù)分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.【解】故7.上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）.【解】設(shè)至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.8.對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機(jī)變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布.（1）求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率？（2）求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)記第i個學(xué)生來參加會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心極限定理得于是(2)以Y記有一名家長來參加會議的學(xué)生數(shù).則Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得9.設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數(shù)，則X~B（10000，0.515）要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率，即求P{X≤5000}.由中心極限定理有10.設(shè)有1000個人獨(dú)立行動，每個人能夠按時進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計，在一次行動中：（1）至少有多少個人能夠進(jìn)入？（2）至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】用Xi表第i個人能夠按時進(jìn)入掩蔽體（i=1,2,…,1000）.令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)設(shè)至少有m人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件由中心極限定理知：從而故所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)設(shè)至多有M人能進(jìn)入掩蔽體，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.11.在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費(fèi)，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：（1）保險公司沒有利潤的概率為多大；（2）保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險者的死亡人數(shù)，則X~B（10000，0.006）.(1)公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率為(2)因?yàn)椤肮纠麧櫋?0000”當(dāng)且僅當(dāng)“0≤X≤60”于是所求概率為習(xí)題5.3一復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨(dú)立起作用的部件構(gòu)成.在整個系統(tǒng)運(yùn)行期間每個部件損壞的概率為0.1，為了使整個系統(tǒng)起作用，至少必須有85個部件正常工作，（1）利用MATLAB軟件精確計算整個系統(tǒng)起作用的概率；（2）利用中心極限定理估計整個系統(tǒng)起作用的概率.【解】程序代碼：p=0.9;P1=1-binocdf(84,100,p)P2=1-normcdf(85,90,3)輸出結(jié)果：P1=0.9601,P2=0.9522.某保險公司多年統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的10000個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數(shù).（1）利用MATLAB軟件，精確求被盜索賠戶不少于1900戶且不多于2100戶的概率.；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于1900戶且不多于2100戶的概率近似值.【解】輸入程序：p=0.2;P1=binocdf(2100,100,p)-binocdf(1899,10000,p)P2=normcdf(2100,2000,40)-normcdf(1900,2000,40)輸出結(jié)果：P1=0.9942,P2=0.9876.第5章考研真題1.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)切比雪夫不等式給出P{|X-Y|≥6}的估計.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以2.設(shè)獨(dú)立同分布，，用切比雪夫不等式估計（2022研考）【解】由得，，故從而，由切比雪夫不等式，.3.某保險公司多年統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數(shù).（1）寫出X的概率分布；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.（1988研考）【解】（1）X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶出現(xiàn)的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是(2)被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件{14≤X≤30}的概率.由中心極限定理，得4.一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.(2001研考)【解】設(shè)Xi（i=1,2