《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案 第7章

PAGEPAGE22習(xí)題7.11.為估計(jì)某湖泊中魚的數(shù)量，從湖中隨機(jī)撈出1000條魚，標(biāo)上記號(hào)后再放入湖中.一天后，從湖中再次隨機(jī)撈出150條魚，發(fā)現(xiàn)其中有10條帶有記號(hào).問該湖泊中有多少條魚？【解】設(shè)湖泊中有n條魚.總體中帶記號(hào)的魚的比例為，樣本中的比例為.由于，故n=15000.2.設(shè)總體X的分布律為X123其中θ(0<θ<1)是未知參數(shù).X1，X2，X3是總體X的一個(gè)樣本，對(duì)應(yīng)的樣本值是1,2,1.試求參數(shù)θ的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.【解】（1）總體的一階矩為：樣本一階矩為：令μ1=A1，解得將樣本值代入，得θ的矩估計(jì)值：（2）似然函數(shù)為.取對(duì)數(shù)lnL(λ)=.令，得：將樣本值代入，得θ的最大似然估計(jì)值為：3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x；θ)=X1，X2，…，Xn為來自總體X的樣本，試求參數(shù)θ的矩估計(jì)量.【解】令解得θ的矩估計(jì)量為：4.設(shè)總體，從中抽取容量為n的樣本X1，X2，…，Xn，試求參數(shù)p的矩估計(jì)值.【解】E(X)=p,令解得p的矩估計(jì)量為.5.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x；θ)，X1，X2，…，Xn為其樣本，求θ的最大似然估計(jì).（1）f(x；θ)=（2）f(x；θ)=【解】（1）似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令，即解得得θ的最大似然估計(jì)量為：（2）似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令，即解得得θ的最大似然估計(jì)量為：6.設(shè)總體的概率密度為：，其中>是未知參數(shù)，是來自總體的樣本，其觀測(cè)值分別為.試求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.【解】（1）令解得θ的矩估計(jì)量為：（2）似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令，即解得得θ的最大似然估計(jì)量為：習(xí)題7.21.若樣本取自總體，，，則_______可以作為的無偏估計(jì)量.（A）當(dāng)已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量；（B）當(dāng)已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量；（C）當(dāng)未知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量；（D）當(dāng)未知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量.【解】C、D非統(tǒng)計(jì)量，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知正確答案是A.2.若樣本取自總體，則__________.（A）不是的無偏估計(jì)量；（B）是的無偏估計(jì)量；（C）是的無偏估計(jì)量；（D）是的無偏估計(jì)量.【解】由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及樣本均值的定義知正確答案是B.3.設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ，又X1，X2是來自X的樣本.已知E(X)=2-2θ，且是θ的無偏估計(jì).求k.【解】由題意，，解得4.設(shè)X1，X2是從正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記試證：都是μ的無偏估計(jì)量，并判斷哪一個(gè)估計(jì)量更有效.【證】因?yàn)樗远际铅痰臒o偏估計(jì)量.所以.即在中是最有效的.5.設(shè)總體X的概率密度為其中θ>0是未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本.求參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量，并判斷該估計(jì)量是否是θ的無偏估計(jì)量.【解】似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令，即解得得θ的最大似然估計(jì)量為：因?yàn)樗允铅鹊臒o偏估計(jì)量.習(xí)題7.31.某工廠生產(chǎn)的節(jié)能燈使用壽命X~N(μ，1002).現(xiàn)從生產(chǎn)的一批節(jié)能燈中隨機(jī)抽取5只，測(cè)得使用壽命如下（單位：小時(shí)）14551430150213701610試求這批節(jié)能燈平均使用壽命μ的置信水平為0.9的置信區(qū)間.【解】該題屬于σ2已知時(shí)對(duì)μ的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.9，α/2=0.05，n=5，查表得zα/2=z0.05=1.64，計(jì)算得代入（7.10）得均值μ的置信水平為0.9的置信區(qū)間是（1473.4-，1473.4+）即（1400.1,1546.7）.2.設(shè)是來自總體X的一個(gè)樣本，X~N(μ，52).求μ的置信水平為0.9的置信區(qū)間的長(zhǎng)度.【解】因?yàn)棣?已知，所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為.置信區(qū)間的長(zhǎng)度為由題意n=25,σ=5,α=0.1,查表得，代入上式得置信區(qū)間的長(zhǎng)度為3.29.習(xí)題7.41.設(shè)某工廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度X~N(μ,σ2)（單位：cm），現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16件產(chǎn)品，測(cè)得樣本均值為10，樣本方差為0.16.試求：μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.【解】（1）該題屬于σ2未知時(shí)對(duì)μ的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，查表得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.132.代入（7.14）得均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間是（9.7868,10.2132）.(2)該題屬于μ未知時(shí)對(duì)σ2的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，查表得=24.996，=6.262，代入（7.15）得均值σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間是（0.096,0.383）.2.設(shè)某種袋裝食鹽的質(zhì)量服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16袋，稱得質(zhì)量的平均值=503.75(g)，樣本方差s=6.2022(g).求總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間.【解】該題屬于σ2未知時(shí)對(duì)μ的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，=503.75，s=6.2022，查表得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.132.代入（7.14）得均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間是（500.4,507.1）.3.某工廠生成一批鋼珠，其直徑服從正態(tài)分布N(μ,σ2)（單位：mm）.現(xiàn)從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測(cè)得直徑為15.114.815.214.914.615.1（1）若σ2=0.06，求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）若σ2未知，求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間.【解】（1）該題屬于σ2已知時(shí)對(duì)μ的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α/2=0.025，n=6，，計(jì)算得=14.95，查表得zα/2=z0.025=1.96.代入公式得均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間是（14.75,15.15）.該題屬于σ2未知時(shí)對(duì)μ的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α/2=0.025，n=6，計(jì)算得=14.95，s=0.226，查表得tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.5706.代入公式得均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間是（14.71,15.187）.4.設(shè)一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(μ,σ2)（單位：mm），從中隨機(jī)抽取10件，測(cè)得長(zhǎng)度如下：49.750.950.651.852.448.851.151.051.551.2試求方差σ2的置信水平為0.90的置信區(qū)間.【解】該題屬于μ未知時(shí)對(duì)σ2的區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.90，α/2=0.05，n=10.計(jì)算得，查表得=16.919，=3.325，代入公式得方差σ2的置信水平為0.90的置信區(qū)間是(0.5615,2.8571).5.已知固體燃料火箭推進(jìn)器的燃燒率近似服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差近似為0.05cm/s.為研究?jī)煞N固體燃料火箭推進(jìn)器的燃燒率，隨機(jī)抽取容量為的兩組樣本，測(cè)得樣本均值分別為=18cm/s，=24cm/s.試求兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信水平為0.99的置信區(qū)間.【解】該題屬于方差已知時(shí)對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì).這里，=18，=24，1-α=0.99，α/2=0.005，.查表得zα/2=z0.005=2.58.代入（7.16）得均值差的置信水平為0.99的置信區(qū)間是（-6.044,-5.956）.6.某工廠采用兩種不同的工藝生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)品質(zhì)量都服從正態(tài)分布.為比較兩種工藝的優(yōu)劣，某日從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，測(cè)得質(zhì)量如下（單位：g）：工藝Ⅰ81847976828384807982工藝Ⅱ76747879807982768179試求的置信水平為0.99的置信區(qū)間.【解】該題屬于均值未知，對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì).設(shè)X和Y分別表示工藝Ⅰ和工藝Ⅱ生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，由題意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互獨(dú)立.已知，1-α=0.99，α/2=0.005.計(jì)算得.代入公式得方差比的置信水平為0.99的置信區(qū)間是（0.1416,6.054）.習(xí)題7.51.為估計(jì)某品牌輪胎的使用壽命，隨機(jī)抽取12只輪胎試用，測(cè)得它們的使用壽命如下（單位：萬(wàn)千米）:5.204.604.584.724.384.704.684.854.324.854.615.02假設(shè)輪胎的使用壽命服從正態(tài)分布，試求輪胎平均使用壽命的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.【解】該題屬于方差未知，對(duì)正態(tài)總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α=0.05，n=12.計(jì)算得.查表得tα(n-1)=t0.05(11)=1.7959.代入公式得均值μ的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為4.5806（萬(wàn)千米）.2.科學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)往往都是由年輕人做出的.下表列出了自16世紀(jì)初期到20世紀(jì)早期的十二項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)者和他們發(fā)現(xiàn)時(shí)的年齡.設(shè)樣本來自正態(tài)分布，試求發(fā)現(xiàn)者的平均年齡μ的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限.序號(hào)發(fā)現(xiàn)者發(fā)現(xiàn)時(shí)間年齡發(fā)現(xiàn)內(nèi)容1哥白尼(Copernicus)151340地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)2伽利略(Galileo)160036望遠(yuǎn)鏡、天文學(xué)的基本定律3牛頓(Newton)166523運(yùn)動(dòng)原理、重力、微積分4富蘭克林(Franklin)174640電的本質(zhì)5拉瓦錫(Lavoisier)177431燃燒是與氧氣聯(lián)系著的6萊爾(Lyell)183033地球是漸進(jìn)過程演化成的7達(dá)爾文(Darwin)185849自然選擇控制演化的證據(jù)8麥克斯韋(Maxwell)186433光的場(chǎng)方程9居里夫人(MarieCurie)190234放射性10普朗克(Planck)190043量子論11愛因斯坦(Einstein)190526狹義相對(duì)論，E=mc212薛定諤(Schr?dinger)192639量子論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)【解】該題屬于方差未知，對(duì)正態(tài)總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì).這里1-α=0.95，α=0.05，n=12.計(jì)算得.查表得代入公式得發(fā)現(xiàn)者的平均年齡μ的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為39.3245（歲），即39歲零4個(gè)月.習(xí)題7.6隨機(jī)地取出某工廠生產(chǎn)的零件，測(cè)得它們的直徑（單位：mm）分別為85.001,85.005,85.003,85.001,85.000,84.998,85.006,85.002利用MATLAB軟件計(jì)算總體均值和總體方差的矩估計(jì).【解】輸入：x=[85.00185.00585.00385.00185.00084.99885.00685.002];mu_ju=mean(x)%均值的矩估計(jì)siga2_ju=moment(x,2)%方差的矩估計(jì)輸出：mu_ju=85.0020,siga2_ju=6.0000e-06.設(shè)某種油漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間分別為6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設(shè)干燥時(shí)間總體服從于正態(tài)分布，利用MATLAB求均值和標(biāo)準(zhǔn)差矩估計(jì)及置信度為0.95的置信區(qū)間.【解】輸入程序：X=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0];[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)輸出結(jié)果：mu=6，均值的矩估計(jì)sigma=0.5745，標(biāo)注差的矩估計(jì)muci=[5.55846.4416]均值的置信區(qū)間sigmaci=[0.38801.1005]，標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間已知一批零件的使用壽命X服從于正態(tài)分布，從這批零件中隨機(jī)地抽取15個(gè)，測(cè)得它們的壽命（單位：h）為1050930960980950112099010009701300105098011509401100利用MATLAB軟件計(jì)算均值和方差的最大似然估計(jì)；假設(shè)零件的壽命大于960h的為一級(jí)品，利用MATLAB軟件求這批零件一級(jí)品率的最大似然估計(jì).【解】輸入程序X=[1050930960980950112099010009701300105098011509401100];phat=mle('norm',X)%計(jì)算均值和方差的最大似然估計(jì)P=1-normcdf(960,phat(1),phat(2))%計(jì)算一級(jí)品率的最大似然估計(jì)輸出結(jié)果phat=[1031.397.2],P=0.7686.第7章考研真題1.設(shè)某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=其中θ(θ>0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,…,xn是總體X的一組樣本觀測(cè)值，求θ的最大似然估計(jì)值.（2000研考）【解】似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)，即lnL(θ)是θ的增函數(shù).所以θ的最大似然估計(jì)量為：2.設(shè)總體X的概率分布如下表所示：X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ(0<θ<1/2)是未知參數(shù)，利用總體的樣本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.（2002研考）【解】（1）令μ1=A1，解得θ的矩估計(jì)值：（2）似然函數(shù)為.取對(duì)數(shù).令，得：將樣本值代入，解得因?yàn)樗驭鹊淖畲笏迫还烙?jì)值為3.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x；θ)=其中未知參數(shù)θ>1,設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求：（1）θ的矩估計(jì)量；（2）θ的最大似然估計(jì)量；(2004研考)【解】（1）總體X的概率密度為.令，即解得θ的矩估計(jì)量為（2）似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令解得θ的最大似然估計(jì)量為4.設(shè)總體X的概率密度為f(x;θ)=其中θ是未知參數(shù)（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N的樣本值x1,x2,…,xn中小于1的個(gè)數(shù).求θ的最大似然估計(jì).(2006研考)【解】似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令解得θ的最大似然估計(jì)量為5.設(shè)總體X的概率密度為其中θ>0是未知參數(shù),X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，是樣本均值.（1）求參數(shù)θ的矩估計(jì)量；（2）判斷4是否是的無偏估計(jì)量.【解】（1）令解得參數(shù)θ的矩估計(jì)量為（2）故4不是的無偏估計(jì)量.6.設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)λ(λ>0)未知，為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.（1）求λ的矩估計(jì)量；（2）求λ的最大似然估計(jì)量.(2009研考)【解】（1）令，即解得λ的矩估計(jì)量為（2）設(shè)是樣本觀測(cè)值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令解得λ的最大似然估計(jì)量為7.設(shè)總體X的概率分布為X123P1-θθ-θ2θ2其中θ(0<θ<1)是未知參數(shù)，以表示來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（樣本容量為n）中等于i的個(gè)數(shù)（i=1,2,3）.試求，使得為θ的無偏估計(jì)量，并求T的方差.（2010研考）【解】顯然，從而由，得解得因?yàn)樗?從而8.設(shè)是來自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中已知，未知.為樣本均值和樣本方差.求（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)；(2)計(jì)算E和D.(2011研考)【解】（1）似然函數(shù)為L(zhǎng)（σ2）=取對(duì)數(shù)lnL（σ2）=.令，解得參數(shù)的最大似然估計(jì)為（2）因?yàn)?，所以從?.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且,設(shè),求的概率密度；設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；證明為的無偏估計(jì)量.(2012研考)【解】（1）因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以Z=X-Y也服從正態(tài)分布.又EZ=EX-EY=0,DZ=DX-DY=3,所以于是Z的概率密度為（2）似然函數(shù)為L(zhǎng)(σ2)=取對(duì)數(shù)lnL(σ2)=.令，解得參數(shù)的最大似然估計(jì)為所以為的無偏估計(jì)量.10.設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.（1）求的矩估計(jì)量；（2）求的最大似然估計(jì)量.(2013研考)【解】（1）令，解得的矩估計(jì)量為（2）設(shè)是樣本觀測(cè)值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令解得的最大似然估計(jì)量為11.設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡(jiǎn)單樣本，若，則_________.(2014研考)【解】由，得12.設(shè)總體的分布函數(shù)為其中是未知參數(shù)且大于零.為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.（1）求，；（2）求的最大似然估計(jì)量；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任何，都有？(2014研考)【解】（1）X的密度函數(shù)為（2）設(shè)是樣本觀測(cè)值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)令解得的最大似然估計(jì)量為（3）因?yàn)槭仟?dú)立同分布的隨機(jī)變量系列，且.由辛欽大數(shù)定律，依概率收斂于.故存在a=θ,使得對(duì)任意的正數(shù)ε有13.設(shè)總體X的概率密度為：其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求的矩估計(jì)量.(2)求的最大似然估計(jì)量.(2015研考)【解】（1）令，解得的矩估計(jì)量為（2）似然函數(shù)為，即L(θ)是θ的增函數(shù).所以θ的最大似然估計(jì)量為：14.設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為______.(2016研考)【解】由，得.由，得從而于是的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為(8.2,10.8).15.某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做n次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)n次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布.該工程師記錄的是n次測(cè)量的絕