江蘇省泰州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高二期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）命題人：倪偉劉祥云鄒勇泉李建新審題人：魯彬吳春勝一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.圓的圓心為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得圓心.【詳解】由的標(biāo)準(zhǔn)式為，故圓心為.故選：A2.雙曲線的焦距為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，即可得焦距.【詳解】由雙曲線，則，可得，所以焦距為.故選：D3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再代入自變量求導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，則.故選：C4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線l，直l與橢圓C交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】由橢圓方程及橢圓的定義求焦點(diǎn)相關(guān)三角形的周長(zhǎng)即可.【詳解】由題意，所以的周長(zhǎng)為16.故選：C5.已知函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，問(wèn)題化為至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)求的極值并列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，且時(shí)趨向，時(shí)趨向，要使函數(shù)既有極大值又有極小值，即至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以.故選：A6.若，則稱表達(dá)式為n階有限連分?jǐn)?shù)，通常記為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有限連分?jǐn)?shù)定義求對(duì)應(yīng)值即可.【詳解】由題設(shè).故選：B7.點(diǎn)A（與原點(diǎn)O不重合）在拋物線上，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B且平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)C，則的最小值為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】令且，進(jìn)而求得，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式并整理得，應(yīng)用換元法、二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.詳解】令且，則，聯(lián)立拋物線準(zhǔn)線，可得，令，故，故，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.故選：B8.圖1是一款多功能無(wú)人機(jī)，該機(jī)的機(jī)架采用對(duì)稱排列結(jié)構(gòu)，機(jī)架的俯視圖可看成曲線（其中為正數(shù)）的一部分（圖2）．若是曲線上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)P的兩條互相垂直的直線與曲線的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為，其中一條直線的斜率為1．若，則的值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由整理可得，所以曲線可由雙曲線和雙曲線組成，分別將過(guò)點(diǎn)斜率為和的直線與雙曲線方程聯(lián)立，解出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求解即可.【詳解】由整理可得，所以，所以曲線可由雙曲線和雙曲線組成，且這兩個(gè)雙曲線的漸近線斜率均為，因?yàn)槭乔€上的一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在第一或第三象限，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，且在第一象限，此時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的兩條互相垂直的直線與曲線的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為，其中一條直線的斜率為1，所以另一條直線的斜率為，點(diǎn)在雙曲線上，不妨令，，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線方程為，與聯(lián)立得，解得，將代入整理得，所以，即，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線方程為，與聯(lián)立得，解得，將代入整理得，所以，即，所以，解得，所以，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將曲線轉(zhuǎn)換成熟悉的雙曲線方程，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，解出坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.我們稱離心率相同的二次曲線相似．則二次曲線相似的為（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)給定的曲線方程求離心率，并判斷是否相等即可答案.【詳解】對(duì)于有，則，對(duì)于有，則，對(duì)于有，則，對(duì)于有，則，對(duì)于有，則，對(duì)于有，則，綜上，A、B中曲線相似，C、D不相似.故選：AB10.已知數(shù)列滿足，且是公比為的等比數(shù)列，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意寫出前7項(xiàng)，觀察歸納得到，，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明判斷A、B；應(yīng)用裂項(xiàng)相消法、放縮法證明不等式判斷C、D.【詳解】由，且是公比為的等比數(shù)列，所以為，為，為，，由上觀察歸納有，，顯然時(shí)，滿足，若時(shí)，成立，又是公比為的等比數(shù)列，則，，所以，有，滿足歸納結(jié)論，綜上，，，A錯(cuò)，B對(duì)；由，則，C對(duì)；由，D對(duì).故選：BCD11.已知函數(shù)，若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則成等比數(shù)列 B.若，則成等比數(shù)列C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)可知，代入解得，驗(yàn)證和時(shí)是否滿足題意驗(yàn)證AB，利用作商法畫出的大致圖象，可看作對(duì)應(yīng)函數(shù)與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，利用圖象判斷CD即可.【詳解】設(shè)當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，則，即，由得，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)樵诤愠闪?，在恒成立，所以，在恒成立，又，所以?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以的大致函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，由可得，CD正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)CD的關(guān)鍵是將可看作對(duì)應(yīng)函數(shù)與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，利用函數(shù)圖象判斷，數(shù)形結(jié)合.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】【解析】【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦的方程，再利用直線的傾斜角求出斜率即可求解.【詳解】因?yàn)閳A，即與圓相交于兩點(diǎn)，所以兩圓方程相減可得公共弦的方程，即，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，解得，故答案：13.過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，寫出其中的一條切線方程_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入解出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得切線方程.詳解】由可得，設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，則該切線方程為，將點(diǎn)代入切線得，解得或，所以切點(diǎn)為或，所以切線方程為或.故答案為：（答案不唯一）14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，成等比數(shù)列，其中m為正整數(shù)，則______．【答案】96【解析】【分析】令的公差為，由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及已知可得，再應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)得求得，，最后應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】令的公差為，由題設(shè)，且為等差數(shù)列且公差為，則，由成等比數(shù)列，則，所以且m為正整數(shù)，，可得，，則，所以.故答案為：96四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知直線：（a為實(shí)數(shù)），與相交于點(diǎn)M．（1）若過(guò)點(diǎn)M，求a的值；（2）設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)N，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線求得交點(diǎn)，代入求參數(shù)值即可；（2）根據(jù)直線確定直線過(guò)定點(diǎn)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋灾本€過(guò)定點(diǎn)，所以.16.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，利用分組求和法得到結(jié)果.【詳解】解：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，故，得.當(dāng)時(shí)，，故，∴當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，∴，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．17.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，且以點(diǎn)為圓心的圓與y軸相切．（1）過(guò)點(diǎn)作圓的切線l，求l的方程；（2）圓上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到距離之比為．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）或；（2）不存在點(diǎn)P，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)圓的方程為、，討論直線斜率的存在性，結(jié)合點(diǎn)線距離公式求直線方程；（2）根據(jù)已知及兩點(diǎn)距離公式得點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓N，進(jìn)而得到圓內(nèi)含于圓N，即可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且以點(diǎn)為圓心的圓與y軸相切，所以圓的方程為．因?yàn)?，?dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，設(shè)l的方程為，則到l的距離為，所以，故，所以l的方程為，綜上，l的方程為或．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由點(diǎn)P到距離之比為，得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓N，由，則圓內(nèi)含于圓N，所以不存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到距離之比為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、、，結(jié)合恒成立求參數(shù)范圍；（3）根據(jù)（2）結(jié)論有得，令，則，即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間．【小問(wèn)2詳解】，（i）當(dāng)時(shí)，有，與矛盾；（ii）當(dāng)時(shí)，有，所以，所以在單調(diào)遞增，故，滿足題意；（iii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞減，則，即，所以在單調(diào)遞增，故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，則，所以在上單調(diào)遞，所以，即，所以在單調(diào)遞減，故，與矛盾；綜上所述：a的取值范圍為．【小問(wèn)3詳解】由（2）知當(dāng)時(shí)，，其中a的取值范圍為，令得，，即令，則，所以．19.已知橢圓，平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率分別為．（1）求直線在y軸上的截距之和；（2）若四邊形為菱形，證明：直線之間的距離為定值；（3）若成等比數(shù)列，射線分別交橢圓于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)兩條平行線的方程分別為，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式得，進(jìn)而可得，即得結(jié)果；（2）根據(jù)已知有，由（1）知點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合韋達(dá)公式得，進(jìn)而有，再應(yīng)用平行線的距離公式證明結(jié)論；（3）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，設(shè)直線的方程為并聯(lián)立得到、，再根據(jù)四邊形的面積、求面積的范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)兩條平行線的方程分別為，，由，得，所以，即，又．所以，同理，．由平行四邊形得，所以，因?yàn)?，所以，即，所以兩條平行線在y軸上