2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題34等比數(shù)列及其前n項和(原卷版+解析)

專題34等比數(shù)列及其前n項和（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】等比數(shù)列基本量的運算 4【考點2】等比數(shù)列的判定與證明 5【考點3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識梳理知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．3．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3二、填空題4．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.5．（2024·上海·高考真題）無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．6．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．7．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．8．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.考點突破考點突破【考點1】等比數(shù)列基本量的運算一、單選題1．（2024·河南·三模）設(shè)為數(shù)列的前項和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在各項為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列4．（23-24高二下·陜西安康·期末）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可能為常數(shù)列B．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列C．若，則D．若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為三、填空題5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）記為等比數(shù)列的前項的和，若，，則.6．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．反思提升：1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).【考點2】等比數(shù)列的判定與證明一、解答題1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若是數(shù)列的前項和，求的最小值.2．（23-24高二下·廣東江門·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.4．（23-24高二下·北京·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）對于給定的正整數(shù)，若對任意的正整數(shù)，數(shù)列均滿足，且，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．(1)證明：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．(2)已知數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”．①證明：數(shù)列是等比數(shù)列．②設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，問：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由．6．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實際問題：(1)對于函數(shù)，分別在點處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，則，求的通項公式.(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設(shè)與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設(shè)與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點處的切線為，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實根，其中.對函數(shù)持續(xù)實施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時，恒成立，無需證明）反思提升：1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.【考點3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（

）A．2 B． C．3 D．2．（23-24高二下·四川達州·階段練習(xí)）等比數(shù)列中，則（

）A． B．5 C．10 D．20二、多選題3．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標有的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進3步的概率最大4．（2024·湖北·二模）無窮等比數(shù)列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題5．（21-22高三上·山東聊城·期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則.6．（23-24高二下·廣東廣州·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程為里.反思提升：(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（

）A． B．2 C．3 D．43．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項之積為，且，則取得最大值時，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比數(shù)列的首項為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·山東青島·期末）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為 B．的前項和為C．的前項積為 D．7．（23-24高三上·全國·開學(xué)考試）記公比為的單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（23-24高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前項和，若，則.9．（23-24高二上·山東青島·期末）數(shù)列是等比數(shù)列，且前項和為，則實數(shù)．10．（2024·貴州·模擬預(yù)測）拓撲結(jié)構(gòu)圖在計算機通信、計算機網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計和網(wǎng)絡(luò)維護等方面有著重要的作用.某樹形拓撲結(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點，每一個節(jié)點都有兩個子節(jié)點，則到第10層一共有個節(jié)點.（填寫具體數(shù)字）四、解答題11．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前n項和．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求、的通項公式；(3)設(shè)，求的最大值．12．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足（），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，求．【能力篇】一、單選題1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知非零實數(shù)a，b，c不全相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列B．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列D．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列二、多選題2．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”．如數(shù)列1，3，第1次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3；第2次“和擴充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次擴充，記第次“和擴充”后所得數(shù)列的項數(shù)記為，所有項的和記為，數(shù)列的前項為，則（

）A． B．滿足的的最小值為11C． D．三、填空題3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為.四、解答題4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，且．(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個不同的滿足，則下列選項之中，不可能成立的為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）在邊長為3的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得，再作正方形的內(nèi)接正方形，使得依次進行下去，就形成了如圖所示的圖案.設(shè)第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，，）則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項和取值范圍三、填空題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，（），對任意，都存在，使得.若（），則，.專題34等比數(shù)列及其前n項和（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 9【考點1】等比數(shù)列基本量的運算 9【考點2】等比數(shù)列的判定與證明 12【考點3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 21【分層檢測】 25【基礎(chǔ)篇】 25【能力篇】 32【培優(yōu)篇】 36考試要求：1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識梳理知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．3．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3二、填空題4．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.5．（2024·上海·高考真題）無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．6．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．7．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．8．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．3．D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.4．①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設(shè)，，若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.5．【分析】當(dāng)時，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對任意的恒成立，故可求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，因為，故，故，當(dāng)時，，故，此時為閉區(qū)間，當(dāng)時，不妨設(shè)，若，則，若，則，若，則，綜上，，又為閉區(qū)間等價于為閉區(qū)間，而，故對任意恒成立，故即，故，故對任意的恒成立，因，故當(dāng)時，，故即.故答案為：.【點睛】思路點睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時可利用參變分離來處理.6．48384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，且，所以；又因為，則；空2：設(shè)后7項公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.7．【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時，因為，所以，即，即，即，解得.故答案為：8．【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.考點突破考點突破【考點1】等比數(shù)列基本量的運算一、單選題1．（2024·河南·三模）設(shè)為數(shù)列的前項和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在各項為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列4．（23-24高二下·陜西安康·期末）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可能為常數(shù)列B．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列C．若，則D．若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為三、填空題5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）記為等比數(shù)列的前項的和，若，，則.6．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．參考答案：1．B【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.【詳解】當(dāng)時，，所以，整理得，所以.故選：B．2．B【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到，再由對數(shù)的運算性質(zhì)及下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為與的等比中項為，所以，所以.故選：B3．BCD【分析】考慮常數(shù)列可以判定A錯誤，代入等差比數(shù)列公式可判斷BCD說法正確【詳解】等差數(shù)列若為常數(shù)列，則，無意義，所以等差數(shù)列不一定是等差比數(shù)列，A選項錯誤；若公比為的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則不是常數(shù)列，，，即該數(shù)列的公比與公差比相同，B選項正確.若數(shù)列是等差比數(shù)列，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則，所以數(shù)列等差比數(shù)列，故D選項正確故選：BCD.4．ABD【分析】根據(jù)常數(shù)列的定義，結(jié)合條件，判斷A；根據(jù)等比數(shù)列的定義，判斷為常數(shù)，判斷B；根據(jù)數(shù)列的公比，并求數(shù)列的首項，利用等比數(shù)列的前項和公式判斷C；結(jié)合數(shù)列的通項公式，并判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】A.當(dāng)時，，得或（舍），此時為常數(shù)列，故A正確；B.，，，若時，此時，不是等比數(shù)列，若時，，此時數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；C.若，，所以，故C錯誤；D.若，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD5．【分析】由等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)進行計算即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，由，可得，解得，又，即，所以，同理，，，，因為，所以.故答案為：6．2357.5/【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.反思提升：1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).【考點2】等比數(shù)列的判定與證明一、解答題1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若是數(shù)列的前項和，求的最小值.2．（23-24高二下·廣東江門·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.4．（23-24高二下·北京·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）對于給定的正整數(shù)，若對任意的正整數(shù)，數(shù)列均滿足，且，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．(1)證明：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．(2)已知數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”．①證明：數(shù)列是等比數(shù)列．②設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，問：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由．6．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實際問題：(1)對于函數(shù)，分別在點處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，則，求的通項公式.(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設(shè)與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設(shè)與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點處的切線為，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實根，其中.對函數(shù)持續(xù)實施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時，恒成立，無需證明）參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式代入化簡可求出，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）由裂項相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由，.因為，即，所以為嚴格增數(shù)列，所以時，有最小值.2．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由分離出，證明恒成立即得證．【詳解】（1）由得又，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）的結(jié)論有①②①②得：因為，所以恒成立.3．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由條件推導(dǎo)，即證明是公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可得的通項公式，從而求出，由分組求和即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為數(shù)列中，，，所以，且，所以是等比數(shù)列，公比為2，首項為2（2）由(1)可得，即，所以數(shù)列的前項和4．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）先求出的公差，然后利用首項即得通項公式；（2）直接利用條件即可證明；（3）寫出的求和式，再分組求和.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，故.再由即知，故所求通項公式為.（2）由于，，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.（3）在（2）最后我們得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，即.所以.分別使用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得，.所以.5．(1)證明見解析(2)①證明見解析；②存在，，【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合“數(shù)列”的定義即可證明；（2）①根據(jù)題意，結(jié)合“數(shù)列”的定義，再由等比數(shù)列的定義即可證明；②假設(shè)存在，即可得到，然后分為奇數(shù)與為偶數(shù)分別討論，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，所以，所以，因此各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．（2）①數(shù)列既是“（2）數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”，因此當(dāng)時，（?。?，當(dāng)時，（ⅱ），由（ⅰ）知，當(dāng)時，（ⅲ），（ⅳ），將（ⅲ）（ⅳ）代入（ⅱ），得，其中，所以是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，在（?。┲校?，則，所以，在（?。┲?，取，則，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列．②由①及，知所以．易知，所以．所以，．假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即，即．當(dāng)為奇數(shù)時，，設(shè)，，則，所以，可得，所以，所以，所以存在，使得．當(dāng)為偶數(shù)時，，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，所以．若為奇數(shù)，則，（提示：時，不成立）為偶數(shù)，為個奇數(shù)之和，也為奇數(shù)，所以．（提示：一個偶數(shù)與一個大于1的奇數(shù)的乘積一定不等于）所以當(dāng)為偶數(shù)時，不存在正整數(shù)，使得．綜上所述，存在，，，使得．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義以及數(shù)列新定義問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解“數(shù)列”的定義，然后結(jié)合數(shù)列的知識解答.6．(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出函數(shù)，在時的切線方程，由此可求，再利用錯位相減法求；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明，由此可得，證明為等比數(shù)列，結(jié)合所給結(jié)論，利用放縮法和等比數(shù)列求和公式證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意則.設(shè)切點為則過切點的切線為令，整理得，所以.由題意則.設(shè)切點為則過切點的切線為.令整理得所以.對于當(dāng)是正奇數(shù)時；當(dāng)是正偶數(shù)時即.所以兩式相減，得所以.（2）因為二次函數(shù)有兩個不等實根,所以不妨設(shè)，則，因為所以所以在橫坐標為的點處的切線方程為令則即，因為所以.因為所以所以.令則，又所以，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列..由因為所以即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)列求和，證明不等式，第一問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進一步求出，利用錯位相減法求和，第二問解決的關(guān)鍵在于結(jié)合所給結(jié)論，通過適當(dāng)放縮，證明結(jié)論.反思提升：1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.【考點3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（

）A．2 B． C．3 D．2．（23-24高二下·四川達州·階段練習(xí)）等比數(shù)列中，則（

）A． B．5 C．10 D．20二、多選題3．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標有的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進3步的概率最大4．（2024·湖北·二模）無窮等比數(shù)列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題5．（21-22高三上·山東聊城·期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則.6．（23-24高二下·廣東廣州·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程為里.參考答案：1．A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再解方程組求出，即可得解.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，則，解得或，又因為是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，所以公比.故選：A.2．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項的性質(zhì)求得公比，即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，故.故選：C.3．BC【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項A，然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項B，根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，求通項公式判斷選項C，分類討論求解概率通項的最大值判斷D.【詳解】根據(jù)題意，小郡前進1步的概率和前進2步的概率都是，所以，，故選項A錯誤；當(dāng)時，其前進幾步是由兩部分組成：先前進步，再前進1步，其概率為，或者先前進步，再前進2步，其概率為，所以，故選項B正確；因為，所以，而，所以，即，故選項C正確；因為當(dāng)時，，所以，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，此時數(shù)列單調(diào)遞增，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時，為奇數(shù)，則，此時數(shù)列單調(diào)遞減，所以；綜上，當(dāng)時，概率最大，即小華一共前進2步的概率最大，故選項D錯誤.故選：BC4．BC【分析】結(jié)合選項，利用等比數(shù)列單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】，時，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒有最小值；，時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列，此時為大值，為最小值；，時，奇數(shù)項都相等且小于零，偶數(shù)項都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時，因為，所以無最大值，奇數(shù)項為負無最小值，偶數(shù)項為正無最大值.故選：BC5．120【分析】在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，結(jié)合所求，化簡計算，即可得答案.【詳解】因為在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，所以.故答案為：1206．192【分析】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式列方程求出.【詳解】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列.由題意得，解得，所以該人第一天走的路程為192里.故答案為：192反思提升：(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（

）A． B．2 C．3 D．43．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項之積為，且，則取得最大值時，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比數(shù)列的首項為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·山東青島·期末）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為 B．的前項和為C．的前項積為 D．7．（23-24高三上·全國·開學(xué)考試）記公比為的單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（23-24高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前項和，若，則.9．（23-24高二上·山東青島·期末）數(shù)列是等比數(shù)列，且前項和為，則實數(shù)．10．（2024·貴州·模擬預(yù)測）拓撲結(jié)構(gòu)圖在計算機通信、計算機網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計和網(wǎng)絡(luò)維護等方面有著重要的作用.某樹形拓撲結(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點，每一個節(jié)點都有兩個子節(jié)點，則到第10層一共有個節(jié)點.（填寫具體數(shù)字）四、解答題11．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前n項和．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求、的通項公式；(3)設(shè)，求的最大值．12．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足（），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，求．參考答案：1．A【分析】由題意知對折后的等腰直角三角形的腰長成首項為，公比為的等比數(shù)列，進而求出對折6次后的腰長，即可求解.【詳解】由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數(shù)列，且首項為，公比為，故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，所以斜邊長為.故選：A．2．D【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)計算得，從而可得，再利用對數(shù)運算性質(zhì)計算即可.【詳解】由等比中項性質(zhì)可知，又.故選：D3．C【分析】利用等比中項和等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，解得，所以，故選：C4．A【分析】由已知可得，進而可得，可得等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，可求取得最大值時的值．【詳解】由，得，，則，由于，得，所以等比數(shù)列是遞減數(shù)列，故，則取得最大值時．故選：A．5．BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的首項為，公比為，對于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯誤；對于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；對于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯誤；對于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.故選：BD.6．AB【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；對B，由A可得，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可；對C，根據(jù)求解即可；對D，代入求解即可.【詳解】對A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列的公比為，故A正確對B，因為，所以的前項和為，故B正確；對C，的前項積為，故C錯誤對D，因為，所以的前項和為，故D錯誤．故選：AB7．ABC【分析】先求得，進而求得，由此求得，進而判斷出正確選項．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，解得或，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，故A正確；所以，解得，所以，故B正確；，，故C正確，D錯誤.故選：ABC.8．5【分析】結(jié)合推論若等比數(shù)列的前項和為，則，，，成等比數(shù)列即可直接求出結(jié)果.【詳解】因為是等比數(shù)列的前項和，所以，，，成等比數(shù)列，因為，所以，所以，即，所以，所以，所以.故答案為：5.9．【分析】由作差求出的通項，再由是等比數(shù)列，求出.【詳解】因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，則，又數(shù)列是等比數(shù)列，所以，解得.故答案為：10．1023【分析】由等比數(shù)列的求和公式即可求得答案.【詳解】由圖可知，每一層節(jié)點的個數(shù)組成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以到第10層節(jié)點的總個數(shù)是.故答案為：1023.11．(1)證明見解析(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)條件，取倒數(shù)可得，進而可證結(jié)論；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求，利用的關(guān)系可得；（3）根據(jù)的通項公式，判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）因為，，所以，則，所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得：，所以，當(dāng)時，

，當(dāng)時，滿足，所以.（3）由（2）可得，可得，所以，由，可得當(dāng)，2時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，可得為最大值，.12．(1)，(2)4582【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義即可得到公差，代入計算即可得到數(shù)列的通項公式，再由等比數(shù)列的通項公式代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由分組求和代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），①，（），②，得：，∵為等差數(shù)列，∴，，，即，∴，因為數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，，即，解得：，所以；（2）由（1）可知，，，且數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列，其中，，此時，所以數(shù)列中數(shù)列有項，數(shù)列有項，，．【能力篇】一、單選題1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知非零實數(shù)a，b，c不全相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列B．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列D．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列二、多選題2．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在一個有窮