2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題33等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(原卷版+解析)

專題33等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算 4【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明 5【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 7【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二、填空題5．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.6．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.7．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．8．（2022·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算一、單選題1．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)，則數(shù)列的前51項(xiàng)之和為（

）A． B． C．49 D．1492．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（

）A．157 B．156 C．74 D．73二、多選題3．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．三、填空題5．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫(huà)法如下：在水平直線上收長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。僖渣c(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為.

6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為.反思提升：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明一、解答題1．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．2．（2024·重慶·三模）已知在數(shù)列中，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值．3．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知（且，為常數(shù)）.(1)數(shù)列能否是等比數(shù)列？若是，求的值（用表示）；否則，說(shuō)明理由；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．6．（23-24高三上·北京東城·期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求的值；(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；(3)把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對(duì)任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.反思提升：1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，再化簡(jiǎn)得到定值.(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義.【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．4 B． C． D．2．（2023·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、多選題3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（

）A．等差數(shù)列，若，則B．等比數(shù)列，若，則C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列4．（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14三、填空題5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.6．（23-24高二上·上?！て谀┑炔顢?shù)列中，已知，且在前項(xiàng)和中，僅當(dāng)時(shí)，最大，則公差的取值范圍為．反思提升：1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．162．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比不為1，若，且成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知遞增數(shù)列滿足．若，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276二、多選題5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，，是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．當(dāng)p，q均為正整數(shù)且時(shí)，6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列7．（2023·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當(dāng)n=6或7時(shí)，取得最小值C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50D．當(dāng)n≤2023時(shí)，與數(shù)列（mN）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．三、填空題8．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則．10．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)塊，則上層有扇形石板塊．四、解答題11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.12．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明:.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．二、多選題2．（2024·山東臨沂·二模）已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則三、填空題3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最大值為．四、解答題4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.(1)已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式；(2)若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；(3)已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：.【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，當(dāng)任意正整數(shù)時(shí)均有，則稱為的“項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”．若可取任意的正整數(shù)，則稱為的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列”．(1)已知，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列”，并說(shuō)明理由？(2)若滿足，其中是首項(xiàng)的等差數(shù)列，當(dāng)為的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列”時(shí)，求的通項(xiàng)公式：(3)已知等差數(shù)列和正整數(shù)等比數(shù)列滿足：，其中k是正整數(shù)，求證：存在正整數(shù)k，使得為的“2024項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”．2．（2024·黑龍江·三模）如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫(xiě)出數(shù)列的每一項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對(duì)稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值?②若，且，求的最小值.3．（2024·江蘇宿遷·三模）在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．專題33等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算 8【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明 12【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 19【分層檢測(cè)】 22【基礎(chǔ)篇】 22【能力篇】 29【培優(yōu)篇】 36考試要求：1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二、填空題5．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.6．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.7．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．8．（2022·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．參考答案：1．B【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.2．D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D3．C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.4．C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C5．95【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.6．①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.7．48384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.8．2【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.故答案為：2.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算一、單選題1．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)，則數(shù)列的前51項(xiàng)之和為（

）A． B． C．49 D．1492．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（

）A．157 B．156 C．74 D．73二、多選題3．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．三、填空題5．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫(huà)法如下：在水平直線上收長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。?，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為.

6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為.參考答案：1．B【分析】由與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，即可得到，再由并項(xiàng)求和法計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即，可得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以，可得數(shù)列的前項(xiàng)之和為．故選：B．2．D【分析】由等比中項(xiàng)性質(zhì)求得，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)知.由成等差數(shù)列，得，所以，所以等比數(shù)列的公比，所以，所以.故選：D.3．ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式可求出，可判斷A；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可判斷B；由裂項(xiàng)相消法可判斷C；由分組求和法可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差為，所以，化簡(jiǎn)可得：，又因?yàn)椋瑒t，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，故D正確.故選：ABD.4．BCD【分析】計(jì)算數(shù)列首項(xiàng)及第二項(xiàng)可判定A，利用等差數(shù)列的定義及的關(guān)系可判定C，從而求出的通項(xiàng)公式結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性可判定B、D.【詳解】對(duì)A，由題意可知，所以，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，由，故C正確；對(duì)C，所以，則，故B正確；對(duì)D，易知，令，則，則單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：BCD5．【分析】根據(jù)題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式分析運(yùn)算.【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長(zhǎng)度為.故答案為：.6．/131072【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出的通項(xiàng)公式，再證得是與首相和公差均為的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.反思提升：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明一、解答題1．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．2．（2024·重慶·三模）已知在數(shù)列中，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值．3．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知（且，為常數(shù)）.(1)數(shù)列能否是等比數(shù)列？若是，求的值（用表示）；否則，說(shuō)明理由；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．6．（23-24高三上·北京東城·期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求的值；(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；(3)把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對(duì)任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合的單調(diào)性及求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）數(shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，有②，①②可得：，即，變形可得，故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則有，即，解得，所以，所以單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且．2．(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，由等差數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和即可；（2）根據(jù)題設(shè)三角恒等式，結(jié)合正弦定理得，由三角形內(nèi)角性質(zhì)求角，由余弦定理及基本不等式求的范圍，應(yīng)用三角形面積公式，求面積的最大值.【詳解】（1）由題意，，即為等差數(shù)列：首項(xiàng)，公差，，則，設(shè)，（2）由正弦定理，有，．即，又，，即由，由余弦定理得：，．，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即△ABC面積最大值為．3．(1)不可能是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析(2)，，且.【分析】（1）利用與的關(guān)系計(jì)算可得，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義即可下結(jié)論；（2）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）已知.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，，顯然，所以.于是可能是等差數(shù)列，若又是等比數(shù)列，則必為非零常數(shù)數(shù)列，則，因，故不可能是等比數(shù)列.（2）由（1）知，且，即，.，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，，.而當(dāng)時(shí)，，所以，，且.4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合與之間的關(guān)系可得，利用等差中項(xiàng)可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，即，則，兩式相減并整理得，則，兩式相減整理得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．當(dāng)時(shí)，，所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋獾?，所以．?）由（1）可得，則，則，可得，所以．5．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得、，解得，結(jié)合求得，即可證明；（2）由（1）可得，根據(jù)累乘法可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，①因?yàn)?，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以．，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．6．(1)2；2；4(2)證明見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義可得；（2）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義和等差數(shù)列的定義可得.（3）分、和三種情況討論即得.【詳解】（1）由已知可得數(shù)列共有5項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，（2）數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，令，可得，設(shè)，由于當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，所以這項(xiàng)均為數(shù)列A中的項(xiàng)，且，因此一定有即，這說(shuō)明：為公差為的等差數(shù)列，再數(shù)列A具有性質(zhì)，以及可得，數(shù)列A為等差數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)A：，，，，，由于數(shù)列具有性質(zhì)，且滿足，由和，得，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)：，，此時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，同理可證，所以結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：綜上所述，符合題意.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.反思提升：1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，再化簡(jiǎn)得到定值.(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義.【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．4 B． C． D．2．（2023·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、多選題3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（

）A．等差數(shù)列，若，則B．等比數(shù)列，若，則C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列4．（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14三、填空題5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.6．（23-24高二上·上海·期末）等差數(shù)列中，已知，且在前項(xiàng)和中，僅當(dāng)時(shí)，最大，則公差的取值范圍為．參考答案：1．C【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，則，又，則，解得，所以.故選：C2．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及數(shù)列的單調(diào)性得出結(jié)果.【詳解】依題意，又，即，則則，且，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，所以對(duì)任意正整數(shù)，都有，則．故選，C．3．AC【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用等差數(shù)列定義判斷C；舉例說(shuō)明判斷D.【詳解】對(duì)于A，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知，A正確；對(duì)于B，取，顯然數(shù)列成等比數(shù)列，且，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，等差數(shù)列的公差為，，，有，因此成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比，為正偶數(shù)時(shí)，，顯然不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AC4．BCD【分析】由可判斷A錯(cuò)誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項(xiàng)和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得D正確.【詳解】A：因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；B：由A的解析可得B正確；C：因?yàn)?，，所以與均為的最大值，故C正確；D：因?yàn)?，由，，故D正確；故選：BCD.5．【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.6．【分析】首先寫(xiě)成等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍，即可求解.【詳解】為等差數(shù)列，且，則前項(xiàng)和，是關(guān)于的二次函數(shù)，且，因?yàn)閮H當(dāng)時(shí)，最大，所以對(duì)稱軸在區(qū)間，即，解得：，則公差的取值范圍是.故答案為：反思提升：1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．162．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比不為1，若，且成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知遞增數(shù)列滿足．若，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276二、多選題5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，，是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．當(dāng)p，q均為正整數(shù)且時(shí)，6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列7．（2023·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當(dāng)n=6或7時(shí)，取得最小值C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50D．當(dāng)n≤2023時(shí)，與數(shù)列（mN）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．三、填空題8．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則．10．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)塊，則上層有扇形石板塊．四、解答題11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.12．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明:.參考答案：1．D【分析】由數(shù)列的遞推式，分別令，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故選：D．2．C【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列基本量的計(jì)算求通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)的公比為q，則依題意有，解方程得或（舍去），所以.故選：C3．D【分析】求出函數(shù)的極大值點(diǎn)得，然后由等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式可得.【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得極大值，則，由等差數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4．D【分析】根據(jù)，推出，推出數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，由，得，即，由，得，將代入，得，又，所以，，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.故選：D5．BCD【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可判定A,B,C選項(xiàng)，利用等差數(shù)列的求和可判定D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，，不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)的公差為d，則（定值），所以是公比為的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，故是公差為的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，，，所以，故D正確．故選：BCD．6．ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式為計(jì)算即可.【詳解】設(shè)的公差為，的公比為，則，所以是常數(shù)，故A正確；易知是常數(shù)，故B正確；由不是常數(shù)，故C錯(cuò)誤；是常數(shù)，故D正確.故選：ABD7．ACD【分析】由等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷ACD,由數(shù)列的單調(diào)性可判斷B.【詳解】對(duì)于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；對(duì)于B，由A的結(jié)論，，則，由d=?2當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或6時(shí)，取得最大值，且其最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,,故C正確，對(duì)于D，由，則，則數(shù)列中與數(shù)列中的項(xiàng)互為相反數(shù)的項(xiàng)依次為：，，，，，，可以組成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，若，解可得，即兩個(gè)數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)，D正確．故選：ACD．8．【分析】根據(jù)作差求出的通項(xiàng)公式，即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以，則，所以.故答案為：9．【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算的等量關(guān)系，代入所求即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，，，則，故答案為：.10．【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再求出即可.【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差，，設(shè)每層有環(huán)，則，，所以，即，即，解得或（舍去），所以，則，即上層有扇形石板塊.故答案為：．11．(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)（1）問(wèn)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用裂項(xiàng)相消求和法求得【詳解】（1）證明：令，又，則有，又，所以所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列（2）由（1）知，，又，所以，所以，所以12．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，再用已知條件列出兩個(gè)方程并解出其中的參數(shù)；（2）直接求出，再用裂項(xiàng)法即可.【詳解】（1）設(shè)，則由已知有，.將第一個(gè)等式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，故由知.再代入第二個(gè)等式可得，解得，從而.故的通項(xiàng)公式是.（2）由于，故.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．二、多選題2．（2024·山東臨沂·二模）已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則三、填空題3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最大值為．四、解答題4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.(1)已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式；(2)若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；(3)已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：.參考答案：1．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫(huà)出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，，此時(shí).

故選：C2．BC【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定B正確；由，求得，可判定C正確；根據(jù)題意，求得任意的，結(jié)合的正負(fù)不確定，可判定D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以，又因?yàn)?，則，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得公差，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得，所以對(duì)任意的，但的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤．故選：BC.3．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，列出方程求得，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，即，解得，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故答案為：.4．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求解；（2）先確定是階等差數(shù)列的充分必要條件，再對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論；或者先用導(dǎo)數(shù)方法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論.【詳解】（1）由知，故可設(shè).所以，故.從而，代入，可得，所以.故的通項(xiàng)公式為：.（2）先證明2個(gè)引理.引理1：對(duì)任意非負(fù)整數(shù)，存在，使得對(duì)任意正整數(shù)成立，這里約定.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.當(dāng)時(shí)，有，取即可，故結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，則.故可設(shè)，這就得到.所以取，，即可，這得到結(jié)論對(duì)成立.由數(shù)學(xué)歸納法即知引理1成立.引理2：是階等差數(shù)列的充分必要條件是能夠表示為關(guān)于的至多次的多項(xiàng)式形式，即.證明：我們對(duì)使用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；對(duì)，假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，考慮的情形：一方面，如果，則有.故由于結(jié)論對(duì)成立，知是階等差數(shù)列，所以是階等差數(shù)列；另一方面