《自動控制原理》課件2第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2025/2/251第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制原理解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量間的數(shù)學表達式，并實驗驗證。實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。時域數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量的基本數(shù)學模型是微分方程，在微分方程中輸入輸出變量是關(guān)于時間的函數(shù)，則稱為時域數(shù)學模型。復數(shù)域數(shù)學模型：將微分方程在一定條件進行拉普拉斯變換得到輸出輸入變量是關(guān)于復數(shù)的函數(shù)，則稱為復數(shù)域數(shù)學模型。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1系統(tǒng)的微分方程

微分方程是描述線性系統(tǒng)運動的一種基本數(shù)學模型。用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是：1．根據(jù)實際工作情況、確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量。2．從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理(或化學)定律，列寫出在變化(運動)過程中的動態(tài)方程，—般為微分方程組。

3．消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。

4．標準化。即將與輸入有關(guān)的各項放在等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，降冪排列。最后將系數(shù)歸化為具有一定物理念義的形式。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3自動控制原理2.1.1列寫物理系統(tǒng)的微分方程

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型5自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型6自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型7自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型8自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型9自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

例2.4試列寫如圖2.4所示電樞控制的直流電動機的微分方程。取電樞電壓Ud（t）為輸入量，電動機轉(zhuǎn)角速度

為輸出量。圖中Ra，La分別是電樞電路的電阻和電感；ML是電動機軸上的負載轉(zhuǎn)矩。

解：電樞控制直流電動機的工作實質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機械能，當電樞兩端加上電壓Ud后，產(chǎn)生電流ia，隨即獲得電磁轉(zhuǎn)矩Mm，驅(qū)動電樞克服阻力矩帶動負載轉(zhuǎn)動，同時在電樞兩端產(chǎn)生反電勢Ea，削弱外電壓的作用，保持電機作恒速轉(zhuǎn)動。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型10自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程（1）電樞回路電壓平衡方程

（2.4）

（2.5）式中Ea反電勢方向與Ua（t）相反，Ce是反電勢系數(shù)。（2）電磁轉(zhuǎn)矩方程

（2.6）

式中Cm是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)。（3）電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程

（2.7）式中Jm是電動機和負載折合到電動機轉(zhuǎn)動慣量，fm是集中粘性摩擦系數(shù)。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型11自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程（4）消去中間變量由（2.4）-（2.7）可得以

為輸出量，Ud(t)為輸入量的直流電動機微分方程為

（2.8）

式（2.8）是一個線性定常二階微分方程，它描述了直流電動機在Ud（t）作用下角速度

的變化規(guī)律。后兩項是負載轉(zhuǎn)矩帶來的擾動。（5）討論：在大電機中，粘性摩擦力矩相對較小而可忽略不計(fm=0)，則上式為

（2.9）令

，稱為機電時間常數(shù)；

，稱為電樞電磁時間常數(shù)。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型12物理系統(tǒng)的微分方程

在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，即La=0，因而式（2.9）簡化為

（2.10）

此時直流電動機為一階微分方程。

如果電樞電阻Ra和電動機的轉(zhuǎn)動慣量Jm都很小可忽略不計則（2.17）式進一步簡化為

（2.11）

這時電動機的轉(zhuǎn)動角速度

與電樞電壓Ud(t)成正比。于是，電動機可作為測速發(fā)電機使用。2.機械系統(tǒng)

做直線運動的物體要遵循的基本力學定律是牛頓第二定律。

，即（2.12）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型13自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

例2.5彈簧-質(zhì)量塊-阻尼器的機械位移系統(tǒng)如圖2.5所示。試列寫質(zhì)量m在外力F(t)作用下（其中重力略去不計），位移y（t）的微分方程。

解：設質(zhì)量m相對于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度分別為

，

，

。由牛頓第三定律有2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型14自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程式中，

是彈簧的彈力，其方向與運動方向相反，其大小與位移成比例，k是彈簧系數(shù)。

是阻尼器的阻尼，其方向與運動方向相反，大小與運動速度成比例。整理后得該系統(tǒng)的微分方程為

（2.13）

式（2.13）是一個線性定常二階微分方程，它描述了該系統(tǒng)在外力F（t）作用下，質(zhì)量塊移動的位移y（t）的變化規(guī)律。3.液位系統(tǒng)

考慮圖2.6所示的液位系統(tǒng)。在這個系統(tǒng)中，兩個容器相互影響。導管的液阻定義為產(chǎn)生單位流量變化所必須的液位差（即兩個容器的液面位置之差）的變化量，即2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型15自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程圖2.6中

為穩(wěn)態(tài)流量；

、

分別為容器1、容器2的穩(wěn)態(tài)液位。q為輸入流量對其穩(wěn)態(tài)值的微小偏差（米2/秒）。h為水龍頭對其穩(wěn)態(tài)值的微小偏差（米）。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型16自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程

例2.6試列寫流量q輸入作用下，輸出流量q2的微分方程。（Ri、Ci分別是液容、液阻，它們是常數(shù)，i=1,2）

解：

（1）輸入量q（t），輸出量q2（t）

（2）列動態(tài)方程2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型17自動控制原理物理系統(tǒng)的微分方程（3）消中間變量并標準化

（2.15）式（2.15）是一個線性定常二階微分方程。

觀察上述各種系統(tǒng)的微分方程可以發(fā)現(xiàn)，不同類型的系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學模型。以上分析的例2.1的RLC串聯(lián)電路，例2.2的LRC串并聯(lián)電路，例2.4的直流電動機，例2.5的機械系統(tǒng)和例2.6的液位系統(tǒng)的數(shù)學模型均是二階線性微分方程，稱這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的相似關(guān)系，便于用一個簡單系統(tǒng)模型去研究與其相似的復雜系統(tǒng)，同時為控制系統(tǒng)的計算機仿真提供了基礎(chǔ)。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型18自動控制原理2.1.2控制系統(tǒng)微分方程的建立

建立控制系統(tǒng)的微分方程時，一般先由系統(tǒng)原理圖畫出各個子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，然后寫出各個子系統(tǒng)的滿足輸入輸出關(guān)系的微分方程組，再消去中間變量求得整體控制系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。

控制系統(tǒng)的運動是復雜的，因此，微分方程的表現(xiàn)形式也是多樣的。如線性的與非線性的，定常系數(shù)的與時變系數(shù)的，集中參數(shù)的與分布參數(shù)的等等。本章以描述單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型為主。若線性定常控制系統(tǒng)的輸入量是r(t)，系統(tǒng)的輸出量是c(t)，則線性定常系統(tǒng)的微分方程一般形式可以表述如下：

（2.16）或?qū)懗?/p>

（2.17）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型19自動控制原理控制系統(tǒng)微分方程的建立

式中，

，i=0,1,2,…n為輸出信號的各階導數(shù)，

為輸出信號各階導數(shù)的常系數(shù)；

，j=0,1,2,…m為輸入信號各階導數(shù)，bj為輸入信號各階導數(shù)的常系數(shù)。在實際物理系統(tǒng)中，系數(shù)

和bj均為實數(shù)。

一般

，這是因為一般物理系統(tǒng)均有質(zhì)量、慣性或滯后的儲能元件。

一般來說，滿足疊加原理的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。設系統(tǒng)的輸入為r1(t)時，系統(tǒng)的輸出為c1(t)，系統(tǒng)的輸入為r2(t)時，系統(tǒng)的輸出為c2(t)。如果滿足

（2.18）

則系統(tǒng)的輸出保持線性可加性，即為

（2.19）稱這類系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。反之，不滿足以上疊加定理的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型20自動控制原理2.1.3非線性微分方程的線性化

嚴格來說實際控制系統(tǒng)的元件都具有非線性特性。對系統(tǒng)元件的特性，特別是靜特性幾乎程度不同地都具有非線性關(guān)系。只是在多數(shù)情況下，其非線性特性較弱，近似將其看作線性特性，并由此列寫出線性動態(tài)數(shù)學模型---線性微分方程。但是有一些元部件，其非線性程度比較嚴重，如果簡單地當作線性處理，其物理特性結(jié)果與實際相差很大，甚至會得到錯誤的結(jié)論。

當系統(tǒng)或元件具有非線性特性時，則其動態(tài)數(shù)學模型常為非線性微分方程。而非線性微分方程的求解是比較困難的，且由于非線性特性類型不同，沒有通用的解析求解方法。利用計算機可以對具體的非線性問題計算出結(jié)果，人們?nèi)匀浑y以求得一些符合各類非線性系統(tǒng)的普遍歷律。因此。在理論研究時總是力圖將非線性問題在合理的可能的條件下簡化處理成線性問題，即所謂線性化?！靶∑罘ā笔浅Ｓ玫木€性化方法之一。

小偏差法，即將非線性特性在某工作點附近的鄰域內(nèi)作泰勒級數(shù)展開，忽略二階及二階以上的各項，僅取一次項近似式，便可得到以偏量表示的線性化增量方程。

設連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y=f(x)，如圖2.7所示。在給定工作點

附近，將y=f(x)用泰勒級數(shù)展開為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型21自動控制原理非線性微分方程的線性化

（2.20）當增量

很小時，略去其高次冪項，則有

（2.21）令

，，（2.22）則

（2.23）式（2.23）就是y=f(x)的線性化方程。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型22自動控制原理非線性微分方程的線性化

這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型時，通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài)，僅僅研究小偏差的運動情況，這正是增量線性化方程所描述的系統(tǒng)特性。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型23自動控制原理2.2傳遞函數(shù)

前面一節(jié)已經(jīng)講述了線性定常控制系統(tǒng)的微分方程描述。它是一種時域描述，也就是說是以時間t為自變量的。對于系統(tǒng)進行分析時，根據(jù)所得的微分方程，求解控制系統(tǒng)的微分方程的時域解，可以得到確定的初始條件及外作用下系統(tǒng)輸出的響應表達式，并可以作出時間響應曲線，因而可直觀地反映出系統(tǒng)的動態(tài)過程。如果系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化，則微分方程及其解均會隨之而變化。為了了解參數(shù)的變化對動態(tài)響應的影響，就需要進行多次重復的計算。微分方程的階次越高，這種計算也越繁雜。因此僅用微分方程這一數(shù)學模型來進行系統(tǒng)的分析設計，就顯得不便。有必要去尋求在應用更為方便的數(shù)學模型——傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)是基于拉氏變換而得到的。拉氏變換將時域函數(shù)變換為復頻域函數(shù)，簡化了系統(tǒng)的函數(shù)。將時域的微分、積分運算等，簡化為代數(shù)運算。基于上述兩種簡化，進而將系統(tǒng)在時域的微分方程描述簡化為復數(shù)域的傳遞函數(shù)描述。這樣，許多時域的問題分析，就可以方便地轉(zhuǎn)換為在復頻域中進行了。有關(guān)拉普拉氏變換的一些知識詳見附錄。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型24自動控制原理2.2.1傳遞函數(shù)的概念和求取

在例2.1中已建立了RLC網(wǎng)絡的數(shù)學模型——微分方程?，F(xiàn)用拉氏變換法對其微分方程進行變換。圖2.1的RLC網(wǎng)絡的微分方程為將上式兩邊進行拉氏變換得若上式中

在t=0時刻的值

和它的一階導數(shù)

都為零。則上式變換為

（2.24）稱式（2.24）為輸出電壓

對輸入電壓

的傳遞函數(shù)，可以記為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型25自動控制原理

傳遞函數(shù)的概念和求取

由此可見，輸出與輸入的像函數(shù)之比只與電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)R、L、C有關(guān)，它可以用來表征電路本身的特性，如圖2.8所示描述了RLC電路的輸入拉氏變換、輸出拉氏變換與傳遞函數(shù)三者之間的關(guān)系。此概念可推廣到一般情況。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型26自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取1.傳遞函數(shù)的定義

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。

線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為

在初始條件為零的情況下，對上式進行拉氏變換，取輸出的拉氏變換C(s)與輸入的拉氏變換R(s)之比，得到系統(tǒng)或元件傳遞函數(shù)的一般形式為

（2.25）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型27自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取于是有

（2.26）

式（2.26）表明了系統(tǒng)輸入拉氏變換、輸出拉氏變換與傳遞函數(shù)三者之間的關(guān)系，還可以用圖2.9的方框圖（也稱為結(jié)構(gòu)圖）形象地表示。以后在復數(shù)域數(shù)學模型中為了敘述方便可以將輸入拉氏變換或輸出拉氏變換形式簡述為輸入或輸出。則輸出C(s)是一個函數(shù)，是以s為變量的代數(shù)方程,它等于復數(shù)域的輸入信號與傳遞函數(shù)之積。利用傳遞函數(shù)的定義，根據(jù)例2.2—例2.4所建立的微分方程，容易求得圖2.2至圖2.6的傳遞函數(shù)。請讀者自行完成，并和例2.7所求得結(jié)果比較。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型28自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取2.傳遞函數(shù)的性質(zhì)

由傳遞函數(shù)的定義和式（2.25）可知，傳遞函數(shù)有如下性質(zhì)：1）傳遞函數(shù)是經(jīng)拉氏變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。2）傳送函數(shù)中各項系數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且和微分方程中各項系數(shù)相對應，這表明傳遞函數(shù)可以作為系統(tǒng)動態(tài)的另一形式的數(shù)學模型。由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對應的傳遞函數(shù)，即把微分算子d/dt用復變量s表示，把c(t)和r(t)換為相應的象函數(shù)C(s)和R(s)，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應的傳遞函數(shù)。反之亦然。3）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點平衡點是處于相對靜止狀態(tài)的。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律(這主要指的是起始過渡分量)。4）傳遞函數(shù)分子多項式的階次總是低于至多等于分母多項式的階次。即m<n，這是由于系統(tǒng)中總是含有較多的慣性元件以及受到能源的限制所造成的。5）一個傳遞函數(shù)只能表示—個輸入對一個輸出之間的關(guān)系，至于信號傳遞通道中的中間變量，同一個傳遞函數(shù)無法全面反映。如果是多輸入多輸出系統(tǒng)，也不可能用一個傳遞函數(shù)來表征該系統(tǒng)各變量間的關(guān)系，而要用傳遞函數(shù)矩陣表示，詳細了解可以參考現(xiàn)代控制理論中的概念講述。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型29自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取3.傳遞函數(shù)的標準形式

本書在后續(xù)章節(jié)內(nèi)容將用到傳遞函數(shù)的兩種不同標準形式，一種是傳遞函數(shù)的時間常數(shù)型表達式，另一種是傳遞函數(shù)的零極點型表達式。1）傳遞函數(shù)的零極點型表達式

（2.27）式(2.27)為傳遞函數(shù)的零極點型表達式，也稱為首“1”型。其中

為常數(shù)，稱為根軌跡增益；傳遞函數(shù)分子多項式方程的m個根是

，稱為傳遞函數(shù)的零點；分母多項式方程的n個根是

，稱為傳遞函數(shù)的極點。顯然，零、極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。一般

可為實數(shù)，也可為復數(shù)、且若為復數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。將零、極點標在復平面上，則得傳遞函數(shù)的零極點分布圖，如圖2.10所示為一實例。圖中零點用“。”表示。極點用“х”表示。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型30自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取

圖2.10零極點分布

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型31自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取

2）傳遞函數(shù)的時間常數(shù)型表達式

式(2.28)為傳遞函數(shù)的時間常數(shù)型表達式，也稱為尾“1”型。其中K為常數(shù)，稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益或穩(wěn)態(tài)增益；傳遞函數(shù)分子分母的實系數(shù)

稱為時間常數(shù)。

（2.28）

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型32自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取3.傳遞函數(shù)的求取方法

傳遞函數(shù)的求取方法有多種，最直接的方法是列寫系統(tǒng)的微分方程，利用傳遞函數(shù)的定義求取，但對復雜的系統(tǒng)過程繁瑣。對于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜的系統(tǒng)，在本章的第三節(jié)、第四節(jié)有結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的求取方法。關(guān)于電路系統(tǒng)傳遞函數(shù)的另一種求取方法是復阻抗法。在電路的基本理論中，線性元件的阻抗關(guān)系是依據(jù)線性元件的電壓—電流關(guān)系而成立的，在時域上所遵循的是歐姆定律，在復數(shù)域中也有相同的形式?；揪€性元件有三種，即電阻R、電容C和電感L，如圖2.11所示，其電壓—電流關(guān)系式為

（2.29）令初始條件為零，兩邊取拉氏變換,得到三種基本線件元件的復數(shù)阻抗為

（2.30）

（2.31）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型33自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取

（2.32）由式(2.46)、(2.47)、(2.48)可以看到，均滿足s域的歐姆定律，在廣義歐姆定律的基礎(chǔ)上，稱其為復數(shù)阻抗。電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)可以方便地利用線性元件的復數(shù)阻抗法來求得。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型34自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取無源網(wǎng)絡電路如圖2.12所示，圖中

為復數(shù)阻抗，流過復阻抗的電流

相等，則電路的傳遞函數(shù)為

（2.33）有源網(wǎng)絡電路如圖2.13所示，圖中

分別為輸入復數(shù)阻抗、反饋復數(shù)阻抗，A點虛地即

，則流過復阻抗

和

的電流

相等，理想運算放大器輸出電壓

的極性與輸入電壓

極性相反，因而電路的傳遞函數(shù)為

（2.34）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型35自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取

例2.7試用復數(shù)阻抗法求取圖2.1-圖2.3所示網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。

解

（1）因為圖2.1中的

，，所以圖2.1所示的傳遞函數(shù)為2）因為圖2.2中的

，，所以圖2.2所示的傳遞函數(shù)為

3）因為圖2.3中的

，，所以圖2.3所示的傳遞函數(shù)為

上式的負號——表示運算放大器的電壓輸出與輸入的極性相反。圖2.3網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)是比例積分調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，簡稱為PI調(diào)節(jié)器。

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型36自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取例2.8試用復數(shù)阻抗法求取圖2.14所示PD網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。解：將圖2.14有源PD調(diào)節(jié)器改為如圖2.15所示,由圖2.15有又因為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型37自動控制原理傳遞函數(shù)的概念和求取則

（2.35）所以圖2.14網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)是比例微分調(diào)節(jié)器，簡稱為PD調(diào)節(jié)器。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型38自動控制原理2.2.2單位脈沖響應

如果系統(tǒng)的輸入是一單位階躍函數(shù)，即

，則系統(tǒng)的輸出稱為單位階躍響應。如果系統(tǒng)的輸入是一單位理想脈沖函數(shù)，即

，則系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應。由于

，由圖2.9傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖知C(s)=G(s),則系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)為

（2.36）

即系統(tǒng)的單位脈沖響應就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉普拉氏反變換。如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應為g(t)，就可以根據(jù)卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸出r（t）作用下的輸出響應，即

（2.37）

或2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型39自動控制原理單位脈沖響應例2.9已知零初始條件下，系統(tǒng)的單位脈沖響應為試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和零初始條件下的單位階躍響應。解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為因為所以單位階躍響應為：2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型40自動控制原理2.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

控制系統(tǒng)通常是由若干基本部件組合構(gòu)成的，這些基本部件又稱為典型環(huán)節(jié)。掌握了典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的求取，就可以方便地組合成復雜的控制系統(tǒng)。1.比例環(huán)節(jié)

具有比例運算關(guān)系的元件稱為比例環(huán)節(jié)。其輸入量

與輸出量

運算關(guān)系為

（2.39）

其中K為比例常數(shù)。其傳遞函數(shù)為

（2.40）其單位階躍響應為

（2.41）

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型41自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應顯然如圖2.16所示的模擬電路圖是比例環(huán)節(jié)。變阻器式角位移檢測器如圖2.17所示，變阻器最大角位移為

，變阻器所加電壓為

，所以其靈敏度為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型42自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應兩變阻器角差為則其傳遞函數(shù)其他經(jīng)常使用的比例環(huán)節(jié)裝置還有放大器、減速器、杠桿和測速發(fā)電機（轉(zhuǎn)動角速度為輸入量，電壓為輸出量）等。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型43自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

2.慣性環(huán)節(jié)

一階慣性環(huán)節(jié)的微分方程是一階的，且輸出響應需要一定的時間才能達到穩(wěn)態(tài)值，因此稱為一階慣性環(huán)節(jié)。其輸出輸入關(guān)系滿足一階微分方程：

（2.42）其傳遞函數(shù)為

（2.43）其中T為慣性時間常數(shù)，其單位階躍響應為

（2.44）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型44自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線是一條單調(diào)上升曲線，第三章的時域響應將詳細討論之。如圖2.18所示的RC濾波電路和運放組合的電路、溫度控制系統(tǒng)等，都是常見的一階慣性環(huán)節(jié)。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型45自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

例2.10若忽略例2.4中粘性摩擦力矩時，試求電樞控制直流電動機的傳遞函數(shù)

和

。（

是

的大寫角速度）

解

例2.4中已求得電樞控制直流電動機的微分方程為令由傳遞函數(shù)的性質(zhì)5知一個傳遞函數(shù)只能表示—個輸入對一個輸出之間的關(guān)系。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以分別求

到

和

到

的傳遞函數(shù)。為求

，令，則有

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型46自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應在零初始條件下，對上式兩邊取拉普拉氏變換可得

到

傳遞函數(shù)為

（2.45）同理可得

到

傳遞函數(shù)為

（2.46）由此可知，在忽略粘性摩擦力矩時，電樞控制直流電動機是一個慣性環(huán)節(jié)。

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，由式（2.45）和（2.46）可以求得電動機的轉(zhuǎn)速在電樞電壓

和負載轉(zhuǎn)矩

同時作用下的響應為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型47自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應3.積分環(huán)節(jié)能夠?qū)崿F(xiàn)積分運算關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)。其運算關(guān)系為

（2.47）

（2.48）其傳遞函數(shù)為

（2.49）其中T=1/K為積分時間常數(shù)，其單位階躍響應為

（2.50）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型48自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線是一條過原點的直線，在T時刻達到單位階躍輸入值1。它的特點是輸出量為輸入量對時間的累加，呈線性增長，對于輸入的突變，輸出要等于T后才能等于輸出，故有滯后和緩沖的作用。在一段時間的積累后，即使輸入變零，輸出也將保持原值不變，而具有記憶作用，只有反向輸入，輸出才反向下降至零或負。如圖2.19所示為典型的積分調(diào)節(jié)器，圖2.20是它的單位階躍響應。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型49自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應電動機的轉(zhuǎn)動角位移

等于角速度

對時間的積分，即

或

其傳遞函數(shù)為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型50自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應4.微分環(huán)節(jié)

能夠?qū)崿F(xiàn)微分運算關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)。其運算關(guān)系滿足的微分方程為

（2.51）其傳遞函數(shù)為

（2.52）其單位階躍響應為

（2.53）微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應是一面積為K，脈沖寬度為零，幅值為無窮大的理想脈沖。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型51自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

第一章閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)中的測速發(fā)電機原理圖為圖2.21所示，其輸出端電壓

，則相應的傳遞函數(shù)為

。

測速發(fā)電機在位置及速度控制中是用得相當廣泛的元件，一是在位置控制系統(tǒng)中，用作一個并聯(lián)校正元件，組成局部反饋——速度反饋，以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，此時的測速發(fā)電機是一個微分環(huán)節(jié)。二是在速度控制系統(tǒng)中作為主反饋元件，用于檢測系統(tǒng)輸出速度，并把速度量轉(zhuǎn)換成電量再反饋到輸入端，形成一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，圖1.15的閉環(huán)速度控制系統(tǒng)便是，此時的測速發(fā)電機是一個比例環(huán)節(jié)。三是用它指示一個轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速。

2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型52自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

5.振蕩環(huán)節(jié)

輸入輸出為二階微分方程描述的系統(tǒng)，其微分方程形式為其時間常數(shù)型的傳遞函數(shù)為

（2.54）其零極點型的傳遞函數(shù)為

（2.55）其中T為時間常數(shù)，K為放大系數(shù)，

為阻尼比

，其值為

，

為無阻尼自然振蕩頻率。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型53自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應為

（2.56）二階振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應在第三章詳細分析。

例如本章第一節(jié)講述的RLC電路，直流電動機，彈簧-質(zhì)量-阻尼器，兩容器液位系統(tǒng)都是常見的二階震蕩環(huán)節(jié)。電樞控制的直流電動機在空轉(zhuǎn)（

）時的傳遞函數(shù)為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型54自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應

6.純滯后環(huán)節(jié)

具有純時間延遲傳遞關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)或延遲環(huán)節(jié)。其傳輸關(guān)系為

（2.57）其傳遞函數(shù)為

（2.58）其單位階躍響應為

（2.59）

延遲環(huán)節(jié)出現(xiàn)在許多控制系統(tǒng)中，如圖2.22所示軋鋼測厚傳輸時間延遲、液體流量檢測時間延遲等純時間滯后都會給系統(tǒng)帶來許多不良的影響。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型55自動控制原理典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和單位階躍響應圖2.22帶有滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型56自動控制原理2.3結(jié)構(gòu)圖

求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)時，需要對輸入輸出的代數(shù)方程組進行消除中間變量，如果方程組的子方程數(shù)較多，消除中間變量是比較麻煩的，而且消除中間變量之后，僅剩輸入輸出兩個變量，信號中間的傳遞過程得不到反映。采用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，便于求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖也作為一種數(shù)學模型，在控制理論中得到了廣泛的應用。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型57自動控制原理2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖又稱為方框圖。它是一種網(wǎng)絡拓撲條件下的有向線段。它由以下幾部分組成。1.信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或傳遞函數(shù)。如圖2.23(a)所示。2.信號的引出點（或測量點）

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。如圖2.23(b)所示。3.函數(shù)方框(或環(huán)節(jié))

函數(shù)方塊具有運算功能，方框里寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，方框的輸出變量就等于方框的輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積，此時的變量為s域，如圖2.23(c)所示。4.求和點（比較點、綜合點）

用符號“

”及相應的信號箭頭表示,.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號,一般“+”可以省略不寫。如圖2.23(d)所示。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型58自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

圖2.23結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型59自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，實質(zhì)上是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學方程兩者的綜合。在結(jié)構(gòu)圖上，用標有傳遞函數(shù)的方框，取代了系統(tǒng)原理圖上的元、部件,同時摒棄了元部、件的具體結(jié)構(gòu)而抽象為數(shù)學模型。這樣，既補充了原理圖所缺少的變量之間的定量關(guān)系，又避免了抽象的純數(shù)學描述，既把復雜原理圖的繪制簡化為方框圖繪制又能直觀了解每個元、部件對系統(tǒng)性能的影響。因此系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是系統(tǒng)的一種數(shù)學模型,它可以對系統(tǒng)特性進行全面的描述。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，可用來方便地確定系統(tǒng)的傳遞因數(shù)。因為任何復雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，通過等效變換底總能簡化為一個等效結(jié)構(gòu)圖。下面舉例說明結(jié)構(gòu)圖的繪制過程。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型60自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制例2.11試繪制圖2.24無源RC網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。

解：（1）列出網(wǎng)絡的運動方程式為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型61自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制（2）畫出上述兩式對應的方框圖，如圖2.25（a）和2.25（b）所示。（3）各框圖按信號的流向依次連接，得到如圖2.25（c）所示該網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型62自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

例2.12試繪制圖1.22位置隨動控制系統(tǒng)的方框圖。

解：圖1.22位置隨動系統(tǒng)是按照參考軸的角位移θr來控制負載的角位移θc。圖中兩個線性電位器分別把輸入角位移和輸出角位移變?yōu)榕c之成比例的電信號。

（1）比較環(huán)節(jié)

（2.60）

式中Kp為電位器的靈敏系數(shù)，單位為V/rad。

誤差信號Us經(jīng)放大器（設放大器系數(shù)為KA）放大后，給直流電動機供電，使之帶動傳動比為j的齒輪組和負載一起轉(zhuǎn)動，使角位移θc跟蹤θr。

（2）放大環(huán)節(jié)

（2.61）

（3）直流電動機

如果不考慮電動機的電感La時，由例2.10知，式（2.4）可以變換為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型63自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制進一步有

（2.62）

（2.63）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型64自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制由式（2.62）和（2.63）可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2.26（a）所示。（4）角位移θm與角速度ω（t）的關(guān)系則

（2.64）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型65自動控制原理結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制（5）減速器（齒輪組）設齒輪組的傳動比為j

（2.65）

將（1）~（5）用方框圖連接起來，得到如圖2-26（b）的位置隨動系統(tǒng)的方框圖。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型66自動控制原理2.3.2方框圖的基本連接與等效變換

為了進一步計算系統(tǒng)的動態(tài)過程性能，需要對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖進行運算和變換，求出總的傳遞函數(shù)。這種運算和變換，就是設法將結(jié)構(gòu)圖化為一個等效的方框，而方框中的數(shù)學表達式即系統(tǒng)總傳遞函數(shù)。變換的實質(zhì)相當于對方程組進行消元，求出系統(tǒng)輸入量對輸出量的總關(guān)系式。

任何復雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框圖之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。結(jié)構(gòu)圖的運算和變換應按等效原理進行。所謂等效，即對結(jié)構(gòu)圖的任一部分進行變換時，交換前后輸入輸出總的數(shù)學關(guān)系應保持不變。另外，運算和變換應盡量簡單易行。

1.串聯(lián)連接

方框與方框首尾相連，前一個方框的輸出，作為后一個方框的輸入這種結(jié)構(gòu)形式連接稱為串聯(lián)連接。如圖2.27(a)是兩個環(huán)節(jié)相串聯(lián)連接，其等效的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（2.66）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型67自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換可以簡化為圖2.27(b)所示。一般，任意n個傳遞函數(shù)依次串聯(lián),其等效傳遞函數(shù)等于n個傳遞函數(shù)的乘積。2.并聯(lián)連接

兩個或多個方框，具有同一個輸入，而以各方柜輸出的代數(shù)和作為總輸出，這種結(jié)構(gòu)形式稱為并聯(lián)連接。如圖2.28(a)為三個環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效的傳遞函數(shù)為

（2.67）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型68自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換可以簡化為圖2.28(b)所示。式(2.89)表明，三個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于各傳遞函數(shù)的代數(shù)和。一般n個方框并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)應等于該n個傳遞函數(shù)的代數(shù)和。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型69自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換3.反饋連接

一個方框的輸出，輸入到另一個方框，得到的輸出再返回作用于前一個方框的輸入端，這種結(jié)構(gòu)稱為反饋連接，如圖2.29(a)所示，其等效的結(jié)構(gòu)圖如圖2.29(b)所示。由圖2.29(a)可得

（2.68）等號右邊第二項移到等號左邊合并，則求得圖2.29(a)反饋連接的等效傳遞函數(shù)為

（2.69）式（2.69）稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，式中分母上的加號，對應于負反饋，減號對應于正反饋。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型70自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換

圖2.29環(huán)節(jié)反饋連接

現(xiàn)對反饋連接定義一些術(shù)語。(1）開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋引入點斷開時，系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號E(s)的比值，稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即

（2.70）

(2)前向通道傳遞函數(shù):斷開反饋環(huán)后，輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。即

（2.71）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型71自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換(3)反向通道傳遞函數(shù):系統(tǒng)主反饋量B(s)與輸出信號C(s)之比。即

（2.72）(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。即

（2.73）

(5)單位反饋：H(s)=1。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（2.74）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型72自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換4.比較點和引出點的移動

在系統(tǒng)方框圖簡化過程中，除了進行方框的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的等效變換外，還需要移動比較點和引出點的位置。這時，應注意在移動前后保持信號的等效性。同一位置引出的信號大小和性質(zhì)要求完全一樣。下面給出引出點后移的變換過程。如圖2.30是引出點后移的等效變換結(jié)果。由圖2.30有

（2.75）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型73自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換例2.13試簡化圖2.31所示結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)

。

圖2.31系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型74自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換解：（1）圖2.31（a）第一個綜合點后移，并與第二個綜合點交換得圖2.32（a）~（c）等效變換圖2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型75自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換則求得傳遞函數(shù)為（2）如圖2.31（b）中綜合點2移向H1前方，并與綜合點1交換。引出點A移向H3的后面，并與引出點B交換。如圖2.33（a）~（c）為簡化過程。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型76方框圖的基本連接與等效變換

（b）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型77自動控制原理方框圖的基本連接與等效變換系統(tǒng)傳遞函數(shù)為2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型78自動控制原理2.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)在工作過程中，經(jīng)常會受到兩類外作用信號的影響，一類是有用信號，常稱為給定信號、輸入信號、參考輸入等，本書用r(t)表示，另一類則是擾動信號，或稱為干擾信號，常用d(t)或n(t)表示。約定信號r(t)通常是加在系統(tǒng)的輸入端，而擾動信號d(t)一般是作用在受控對象上，但也可能出現(xiàn)在其他元部件上，甚至夾雜在給定信號之中。一個閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖2.34表示。圖中R(s)為參考輸入，D(s)為擾動信號。以下給出控制系統(tǒng)中幾種常用傳遞函數(shù)的命名和求法。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型79自動控制原理2.4.1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

圖2.34中，將H(s)的反饋通路斷開，即斷開系統(tǒng)的主反饋通路，系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號E(s)的比值，就是開環(huán)傳遞函數(shù)。即

（2.76）斷開反饋環(huán)后，輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比為前向通道傳遞函數(shù)。即

（2.77）反向通道傳遞函數(shù)為

（2.78）2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型80自動控制原理2.4.2閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.給定輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令D(s)=0，這時圖2.34簡化為圖2.35所示，則給定信號R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（2.79）當系統(tǒng)中只有R(s)輸入信號作用時，系統(tǒng)的輸出C(s)完全取決于

及R(s)的形式。2025/2/25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型81自動控制原理閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2．擾動