2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11章概率第3節(jié)模擬方法-概率的應(yīng)用教學(xué)案文北師大版

PAGE1-第三節(jié)模擬方法——概率的應(yīng)用[最新考綱]1.了解隨機數(shù)的意義，能運用隨機模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義．(對應(yīng)學(xué)生用書第193頁)1．模擬方法對于某些無法準(zhǔn)確知道的概率問題，常借助模擬方法來估計某些隨機事務(wù)發(fā)生的概率．用模擬方法可以在短時間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗．2．幾何概型(1)向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形態(tài)、位置無關(guān)，即P(點M落在G1)＝eq\f(G1的面積,G的面積)，則稱這種模型為幾何概型．(2)幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比．eq\o([常用結(jié)論])幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零． ()(2)幾何概型中，每一個基本領(lǐng)件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等． ()(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)． ()(4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝eq\f(1,9). ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材改編1．在線段[0,3]上任投一點，則此點坐標(biāo)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1B[坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1)，長度為1，[0,3]的區(qū)間長度為3，故所求概率為eq\f(1,3).]2．有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()ABCDA[∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．故選A.]3．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過2分鐘的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)C[試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事務(wù)的區(qū)域長度為2，故所求概率為P＝eq\f(2,5).]4．已知四邊形ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方體ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)B[如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長方形的面積比，即所求概率P＝eq\f(S陰影,S長方形ABCD)＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).](對應(yīng)學(xué)生用書第194頁)⊙考點1與長度(角度)有關(guān)的幾何概型長度、角度等測度的區(qū)分方法(1)假如試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度，然后求解．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事務(wù)的區(qū)域(長度)．(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不行用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．(1)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))上隨機取一個數(shù)α，使tan2α＞1的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)(2)在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC邊上隨機取點P，則∠BAP＜30°的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(3),2)(3)在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點M，則AM＜AC的概率為________．(1)C(2)B(3)eq\f(3,4)[(1)∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，由tan2α＞1，得eq\f(π,4)＜2α＜eq\f(π,3)，則eq\f(π,8)＜α＜eq\f(π,6)，∴tan2α＞1的概率為eq\f(\f(π,6)－\f(π,8),\f(π,6)－\f(π,12))＝eq\f(1,2)，故選C.(2)在Rt△ABC中，AB＝BC，Rt△ABC為等腰直角三角形，令A(yù)B＝BC＝1，則AC＝eq\r(2).在BC邊上隨機取點P，當(dāng)∠BAP＝30°時，BP＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，在BC邊上隨機取點P，則∠BAP＜30°的概率為：P＝eq\f(BP,BC)＝eq\f(\r(3),3)，故選B.(3)過點C作CN交AB于點N，使AN＝AC，如圖所示．明顯當(dāng)射線CM處在∠ACN內(nèi)時，AM＜AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率為P＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).]本例(2)易把∠BAC當(dāng)作試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，本例(3)易把線段AB當(dāng)作試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域．[老師備選例題]1．在長為12cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)C[設(shè)|AC|＝x，則|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).]2．某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時間(即8：15～8：30)，一名職工在7：50到8：30之間到達(dá)單位且到達(dá)單位的時刻是隨機的，則他能有效刷卡上班的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,8)D[該職工在7：50到8：30之間到達(dá)單位且到達(dá)單位的時刻是隨機的，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域為線段AB，且AB＝40，職工的有效刷卡時間是8：15到8：30之間，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域為線段CB，且CB＝15，如圖，所以該職工有效刷卡上班的概率P＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，故選D.]1.某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)B[如圖所示，畫出時間軸．小明到達(dá)的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，依據(jù)幾何概型的概率計算公式，得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，故選B.]2．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧eq\x\to(DE)，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________．eq\f(1,3)[因為在∠DAB內(nèi)任作射線AP，所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在∠CAB內(nèi)，則區(qū)域為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).]⊙考點2與體積有關(guān)的幾何概型與體積有關(guān)的幾何概型問題假如試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用空間幾何體的體積表示，則其概率的計算公式為：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積)，求解的關(guān)鍵是計算事務(wù)的總體積以及事務(wù)A的體積．(1)在邊長為2的正方體內(nèi)部隨機取一點，則該點到正方體8個頂點的距離都不小于1的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)(2)已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)(1)D(2)A[(1)符合條件的點在邊長為2的正方體內(nèi)部，且以正方體的每一個頂點為球心，半徑為1的eq\f(1,8)球體外，則所求概率P＝1－eq\f(\f(4,3)π,8)＝1－eq\f(π,6)，故選D.(2)當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).]解答本例(2)時，應(yīng)利用VP-ABC＝eq\f(1,2)VS-ABC求出點P的臨界值位置，再結(jié)合題意確定點P所在的區(qū)域．1.在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為()A.eq\f(6,π) B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π) D.eq\f(2\r(3),3π)D[由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，球的體積V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up14(3)＝eq\f(\r(3),2)π，則此點落在正方體內(nèi)部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).]2．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________．1－eq\f(π,12)[如圖，與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，其體積V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).事務(wù)“點P與點O距離大于1的概率”對應(yīng)的區(qū)域體積為23－eq\f(2π,3)，依據(jù)幾何概型概率公式得，點P與點O距離大于1的概率P＝eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).]⊙考點3與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型問題解決與面積有關(guān)的幾何概型問題，其解題關(guān)鍵是明確試驗所發(fā)生的區(qū)域及事務(wù)所發(fā)生的區(qū)域面積，其解題流程為：與平面幾何相結(jié)合(1)(2024·南昌模擬)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中給出了勾股定理的絕妙證明．如圖是趙爽的弦圖．弦圖是一個以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成朱(紅)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實＋黃實＝弦實＝弦2，化簡得：勾2＋股2＝弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶eq\r(3)，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽視不計)，則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A．866 B．500C．300 D．134(2)(2024·武漢模擬)把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點，此點落在陰影內(nèi)的概率為()A.eq\f(4,π)－1 B.eq\f(π－1,π)C.eq\f(π－2,4) D．2－eq\f(4,π)(1)D(2)D[(1)設(shè)勾為a，則股為eq\r(3)a，從而弦為2a，圖中大正方形的面積為4a2，小正方形的面積為(eq\r(3)－1)2a2＝(4－2eq\r(3))a2，則圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為P＝eq\f(4－2\r(3)a2,4a2)＝1－eq\f(\r(3),2)，所以落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))≈134，故選D.(2)標(biāo)注圖形并作協(xié)助線如圖：S圓＝π×22＝4π，S陰影＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)S圓－S△COD))×8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×4π－\f(1,2)×2×2))×8＝8π－16，則所求概率為P＝eq\f(8π－16,4π)＝2－eq\f(4,π)，故選D.]解答此類問題的關(guān)鍵是利用平面幾何的學(xué)問求出相關(guān)平面圖形的面積．[老師備選例題]七巧板是我國古代勞動人民的獨創(chuàng)之一，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,16)B[不妨設(shè)小正方形的邊長為1，則兩個小等腰直角三角形的邊長分別為1,1，eq\r(2)，兩個大等腰直角三角形的邊長為2,2,2eq\r(2)，即最大正方形的邊長為2eq\r(2)，則較大等腰直角三角形的邊長分別為eq\r(2)，eq\r(2)，2，故所求概率P＝1－eq\f(\f(1,2)×2＋1＋1＋2×2,8)＝eq\f(1,8).]與線性規(guī)劃相結(jié)合已知關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,2x＋y－4≤0，,x≥0))表示的平面區(qū)域為M，在區(qū)域M內(nèi)隨機取一點N(x0，y0)，則3x0－y0－2≤0的概率為()A.eq\f(5,6)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,3)C[作出不等式組表示的平面區(qū)域M，如圖中陰影部分所示(△ABC及其內(nèi)部)，由題意可知所求概率P＝eq\f(S△ABD,S△ABC)，易得A(0,4)，B(0，－2)，C(2,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5)))，則S△ABC＝eq\f(1,2)×[4－(－2)]×2＝6，S△ABD＝eq\f(1,2)×[4－(－2)]×eq\f(6,5)＝eq\f(18,5)，所以P＝eq\f(S△ABD,S△ABC)＝eq\f(3,5)，故選C.]解答本題的關(guān)鍵是作出平面區(qū)域M，及使3x0－y0－2≤0的區(qū)域，并正確求出它們的面積．1．在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B．4－eq\f(6\r(3),π)C．－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D.eq\f(2,3)B[設(shè)圓的半徑為r，如圖所示．12片樹葉是由24個相同的弓形組成，且弓形AmB的面積為S弓形AmB＝eq\f(1,6)πr2－eq\f(1,2)r2·sineq\f(π,3)＝eq\f(1,6)πr2－eq\f(\r(3),4)r2，因此所求概率為P＝eq\f(24S弓形AmB,S圓)＝eq\f(24\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2)),πr2)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故選B.]2．在區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機取一個實數(shù)a，則滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的點(x，y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)C[作出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S＝eq\f(1,2)×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，依據(jù)幾何概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2).]課外素養(yǎng)提升⑨數(shù)學(xué)建?！獢?shù)學(xué)文化與概率(對應(yīng)學(xué)生用書第196頁)中學(xué)新課標(biāo)把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值”作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的十項理念之一，強調(diào)數(shù)學(xué)文化是貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容．古典概型、幾何概型中經(jīng)常這樣考查數(shù)學(xué)文化．古典概型中的數(shù)學(xué)文化【例1】(2024·赤峰模擬)《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進(jìn)行一場競賽，齊王獲勝的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(5,9)D.eq\f(3,4)A[設(shè)齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C，從雙方的馬匹中隨機選一匹進(jìn)行一場競賽的全部的可能為Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9種，依據(jù)題設(shè)其中Ab，Ac，Bc是田忌勝，共三種可能，則齊王的馬獲勝有6種狀況，所以齊王獲勝的概率為P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選A.][評析]據(jù)題意，設(shè)齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C，用列舉法列舉齊王與田忌賽馬的狀況，可得齊王勝出的狀況，由等可能事務(wù)的概率計算可得答案．【例2】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)C[從八卦中任取一卦，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝8，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝3，∴這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,8)，故選C.][評析]從八卦中任取一卦，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝8，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝3，由此能求出這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率．【素養(yǎng)提升練習(xí)】1．(2024·煙臺模擬)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明白孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式，孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p使得p＋2是素數(shù)，素數(shù)對(p，p＋2)稱為孿生素數(shù)．從10以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)A[依題意，10以內(nèi)的素數(shù)共有4個，分別是2,3,5,7，從中選兩個共6個基本領(lǐng)件，分別是(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)．而10以內(nèi)的孿生素數(shù)有(3,5)，(5,7)兩對，包含2個基本領(lǐng)件，所以從10以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故選A.]幾何概型中的數(shù)學(xué)文化【例3】(2024·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p