第06講 函數(shù)的圖象（九大題型）（講義）（原卷版）-【上好課】2025年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）

第06講函數(shù)的圖象目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：掌握基本初等函數(shù)的圖像 4知識點2：函數(shù)圖像作法 4解題方法總結(jié) 6題型一：由解析式選圖（識圖） 6題型二：由圖象選表達式 8題型三：表達式含參數(shù)的圖象問題 10題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題 12題型五：函數(shù)圖象的變換 15題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值 16題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式 17題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題 18題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點的個數(shù) 1904真題練習·命題洞見 2005課本典例·高考素材 2206易錯分析·答題模板 23易錯點：圖像的變換問題 23答題模板：圖像的變換問題 23

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）函數(shù)圖像的識別（2）函數(shù)圖像的應(yīng)用（3）函數(shù)圖像的變換2023年天津卷第4題，5分2022年天津卷第3題，5分2022年全國乙卷第8題，5分2022年全國甲卷第5題，5分基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點之一，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具．高考中總以一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎(chǔ)來考查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以及靈活地應(yīng)用圖像判斷方程解的個數(shù)，屬于每年必考內(nèi)容之一．復習目標：（1）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).（2）會畫簡單的函數(shù)圖象.（3）會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.

知識點1：掌握基本初等函數(shù)的圖像（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù)．【診斷自測】函數(shù)的圖象是下列的（

）A． B．C． D．知識點2：函數(shù)圖像作法1、直接畫①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性；④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）．2、圖像的變換（1）平移變換①函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個單位得到的；②函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位得到的；③函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向上平移個單位得到的；④函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向下平移個單位得到的；（2）對稱變換①函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱；②若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則對定義域內(nèi)的任意都有或（實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線對稱的兩點連線的中點橫坐標為，即為常數(shù)）；若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則對定義域內(nèi)的任意都有③的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關(guān)于軸對稱翻折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示④的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于軸對稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個偶函數(shù)（如圖（c）所示）．注：的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關(guān)于軸對稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關(guān)于軸的對稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．⑤函數(shù)與的圖像關(guān)于對稱．（3）伸縮變換①的圖像，可將的圖像上的每一點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍得到．②的圖像，可將的圖像上的每一點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍得到．【診斷自測】若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（

）A．直線對稱 B．直線對稱C．直線對稱 D．直線對稱解題方法總結(jié)（1）若恒成立，則的圖像關(guān)于直線對稱．（2）設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．（3）若，對任意恒成立，則的圖象關(guān)于直線對稱．（4）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（5）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（6）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱．（7）函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”．題型一：由解析式選圖（識圖）【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函數(shù)的大致圖像為（

）A．

B．

C．

D．

【典例1-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【方法技巧】利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選出正確答案.【變式1-1】（2024·天津·二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B． C． D．題型二：由圖象選表達式【典例2-1】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【典例2-2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、從定義域值域判斷圖像位置；2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復；4、從單調(diào)性判斷大致變化趨勢；5、從特殊點排除錯誤選項．【變式2-1】（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（2024·湖南·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B．C． D．【變式2-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．題型三：表達式含參數(shù)的圖象問題【典例3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為實數(shù)，的導函數(shù)為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是（

）A． B．C． D．【典例3-2】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【方法技巧】根據(jù)參數(shù)的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關(guān)系，排除相互矛盾的位置關(guān)系，以得出正確選項．【變式3-1】（多選題）（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（多選題）函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【變式3-3】（多選題）（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖像可能為（

）A．

B．

C．

D．

【變式3-4】（多選題）函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題【典例4-1】如圖，長方形的邊，，是的中點．點沿著邊，與運動，記．將動點到兩點距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【典例4-2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）A． B．C． D．E．均不是【方法技巧】（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．【變式4-1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，直線在初始位置與等邊的底邊重合，之后開始在平面上按逆時針方向繞點勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過），它掃過的三角形內(nèi)陰影部分的面積是時間的函數(shù)．這個函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（2024·山東·二模）如圖所示，動點在邊長為1的正方形的邊上沿運動，表示動點由A點出發(fā)所經(jīng)過的路程，表示的面積，則函數(shù)的大致圖像是（

）．A． B．C． D．題型五：函數(shù)圖象的變換【典例5-1】（2024·北京西城·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象再關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·遼寧·三模）已知對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（

）A． B． C． D．【方法技巧】熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換.【變式5-1】（2024·江西贛州·二模）已知函數(shù)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式（

）A． B．C． D．【變式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱 C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于點對稱【變式5-3】已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是（

）A． B． C． D．題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).若，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【典例6-2】用表示a，b，c三個數(shù)中的最小值，則函數(shù)的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧】利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先作出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，從圖像上尋找取得最值的位置，計算出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．【變式6-1】已知，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.若，則正實數(shù)的最大值為.【變式6-2】對，，記，則函數(shù)的最小值為．題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式【典例7-1】已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例7-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的解集是（

）A． B．C． D．【方法技巧】利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍．先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據(jù)題意結(jié)合圖像寫出答案.【變式7-1】已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【變式7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函數(shù)若對任意的都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例8-2】已知函數(shù)設(shè)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【方法技巧】先作出函數(shù)的圖像，觀察參數(shù)的變化怎樣影響函數(shù)的形態(tài)和位置關(guān)系，找到參數(shù)的臨界值，進一步得出參數(shù)的范圍．【變式8-1】已知函數(shù)的定義域為,滿足,且時,.若,都有,則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式8-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點的個數(shù)【典例9-1】（2024·高三·重慶渝中·期中）已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例9-2】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù)．由題設(shè)條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的個數(shù)．【變式9-1】設(shè)函數(shù)，若有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（多選題）已知，若恰有3個零點，則的可能值為（

）A．0 B．1 C． D．2【變式9-3】已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式9-4】（2024·高三·廣東江門·開學考試）定義函數(shù),若至少有3個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2023年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．2．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2020年北京市高考數(shù)學試卷）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．1．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）利用信息技術(shù)，畫出函數(shù)的圖象；（3）求函數(shù)的零點（精確度為0.1）2．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為.試求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象.3．經(jīng)濟學家在研究供求關(guān)系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應(yīng)曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？4．圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象.（1）試說明圖（1）上點A，點B以及射線AB上的點的實際意義；（2）由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖（2）（3）所示，你能根據(jù)圖象，說明這兩種建議是什么嗎？易錯點：圖像的變換問題易錯分析：平移變換是高中數(shù)學圖像變換中的基礎(chǔ)，包括左右平移和上下平移.在平移過程中，學生常常會出現(xiàn)平移方向或平移單位長度的誤判.學生在對稱變換方面的易錯點主要是對稱關(guān)系的混淆.伸縮變換主要涉及圖像的橫向和縱向拉伸或壓縮，學生在這方面的易錯點主要是伸縮比例的理解和應(yīng)用.翻折變換主要涉及圖像沿x軸或y軸的翻折，在這方面的易錯點