專(zhuān)題突破練16　立體幾何中的翻折問(wèn)題、探究性問(wèn)題2025年高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪專(zhuān)題數(shù)學(xué)課后習(xí)題專(zhuān)題突破練含答案

專(zhuān)題突破練16立體幾何中的翻折問(wèn)題、探究性問(wèn)題2025年高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪專(zhuān)題數(shù)學(xué)課后習(xí)題專(zhuān)題突破練含答案專(zhuān)題突破練(分值:90分)學(xué)生用書(shū)P178主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練1.(15分)(2024安徽池州模擬)如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,△EAB與△FAD是兩個(gè)全等的直角三角形,且FA=4,FC與AD交于點(diǎn)G,將Rt△EAB與Rt△FAD分別沿AB,AD翻折,使E,F重合于點(diǎn)P,連接PC,得到四棱錐P-ABCD.(1)證明:BD⊥PC;(2)若M為棱PC的中點(diǎn),求直線BM與平面PCG所成的角的正弦值.(1)證明由題可知PA⊥AD,PA⊥AB,且AB⊥AD.又AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.連接AC,則AC⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以BD⊥PC.(2)解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題可得△PAG∽△CDG,所以AGGD=PA又AD=2,所以AG=43,則B(2,0,0),C(2,2,0),G0,43,0,P(0,0,4),所以GC=2,23,0,PC=(2,2,-4),BP=(-2,0,4).又點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),所以PM=12PC=(1,1,-2),所以BM=設(shè)平面PCG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令y=3,得x=-1,z=1,所以平面PCG的一個(gè)法向量為n=(-1,3,1).設(shè)直線BM與平面PCG所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,BM>|=|n·BM||n||2.(15分)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,且∠ABC=∠A1AC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求平面DAA1與平面C1CAA1所成角的余弦值.(2)在棱CC1所在直線上是否存在點(diǎn)P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說(shuō)明理由.解(1)如圖,取AC中點(diǎn)O,連接A1O,A1C,BD.因?yàn)槔庵骼忾L(zhǎng)均為2,且∠ABC=60°,所以四邊形ABCD是菱形,△ABC是等邊三角形,所以BD過(guò)點(diǎn)O,AC=2,AC⊥BD.又因?yàn)锳A1=2,∠A1AC=60°,所以△A1AC是等邊三角形,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O?平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.又AC,BD?平面ABCD,所以A1O,AC,BD兩兩垂直.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(-3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),所以DA=(3,-1,0),DA1=(3,0,3設(shè)平面DAA1的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m取x=1,則y=3,z=-1,所以平面DAA1的一個(gè)法向量為m=(1,3,-1).易知平面C1CAA1的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),則cos<m,n>=m·n|m||n|=15=(2)存在.因?yàn)镃1(0,2,3),C(0,1,0),B(3,0,0),所以DC1=(3,2,3),CC1=(0,1,3),BC=(因?yàn)辄c(diǎn)P在CC1上,可設(shè)CP=λCC1=(0,λ,3λ),所以BP=BC+CP=(-設(shè)平面DA1C1的一個(gè)法向量為s=(a,b,c),則s取a=1,則b=0,c=-1,所以平面DA1C1的一個(gè)法向量為s=(1,0,-1).因?yàn)锽P∥平面DA1C1,所以BP⊥s,所以s·BP=-3-3λ=所以CP=-CC1,即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上,且CP=C3.(15分)(2024河北張家口模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2.將△ABD沿對(duì)角線BD折起,形成一個(gè)四面體A-BCD,此時(shí)AC=m.(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時(shí)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求當(dāng)二面角A-CD-B的正弦值為多少時(shí),四面體A-BCD的體積最大?解(1)不存在,理由如下:假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時(shí)成立.因?yàn)锳B⊥CD,AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因?yàn)锽C⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以BC⊥平面ACD,所以AB∥BC,或AB與BC重合.又AB∩BC=B,矛盾,所以不存在實(shí)數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時(shí)成立.(2)因?yàn)椤鰾CD的面積為定值,要使四面體A-BCD的體積最大,所以只需讓平面BCD上的高最大即可,易知此時(shí)平面ABD⊥平面BCD.過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O,連接OA.因?yàn)锳O?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.以點(diǎn)O為原點(diǎn),以在平面BCD中過(guò)點(diǎn)O且垂直于BD的直線為x軸,分別以O(shè)D,OA所在直線為y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在Rt△ABD中,BD=AB2+AD2=6,所以AO=AB·ADBD=233,所以BO=AB2-AO2=63.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD,交BD于點(diǎn)E,則CE=AO=233,DE=BO=63,OE=BD-BO-DE=63,則A0,0,233,C23設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得y=2,z=2,所以平面ACD的一個(gè)法向量為n=(1,2,2).易知平面BCD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|m||n|=2關(guān)鍵能力提升練4.(15分)(2024湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖,在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,C,D分別為線段BG與AH的中點(diǎn),現(xiàn)將四邊形CDHG沿直線CD折成一個(gè)五面體AED-BFC.(1)在線段BF上是否存在點(diǎn)M,使CM∥平面ADE?若存在,找出點(diǎn)M的位置;若不存在,說(shuō)明理由.(2)若二面角F-DC-B的大小為60°,求平面ADE與平面DEFC的夾角的余弦值.解(1)存在,M為BF的中點(diǎn),證明如下:如圖,令M為BF的中點(diǎn),取AE中點(diǎn)N,連接MN,DN,則MN∥AB,MN=EF+AB2因?yàn)镃,D分別為BG,AH的中點(diǎn),所以CD∥AB,CD=GH+AB所以CD∥MN,CD=MN,所以四邊形CMND為平行四邊形,所以CM∥DN.又CM?平面AED,DN?平面ADE,所以CM∥平面ADE.(2)因?yàn)镕C⊥CD,BC⊥CD,FC∩BC=C,FC,BC?平面FCB,所以CD⊥平面FCB.又CD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面FCB.因?yàn)槠矫鍱FCD∩平面ABCD=CD,所以∠FCB為二面角F-DC-B的平面角,所以∠FCB=60°.又FC=CB,所以△FCB為等邊三角形.在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,可得BG=43,所以FC=BC=BF=23.過(guò)點(diǎn)F作FO⊥BC交BC于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)取AD中點(diǎn)P,連接OP,OF.易知OP∥CD,所以O(shè)P⊥平面FCB.又FO,BC?平面FCB,所以O(shè)P,BC,FO兩兩垂直.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)P,OB,OF所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(5,3,0),D(3,-3,0),E(1,0,3),C(0,-3,0),所以DE=(-2,3,3),DC=(-3,0,0),DA=(2,23,0).設(shè)平面DEFC的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),則DE·m=-2x1+3y1+3z1=0,DC·m=-3x1=0.設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),則DE取x2=3,則y2=-1,z2=3,所以平面ADE的一個(gè)法向量為n=(3,-1,3),則cos<m,n>=m·n|m||n|=-25.(15分)(2024山西運(yùn)城一模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC將△ADC折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,點(diǎn)P在平面ABC上的射影H落在AB上.(1)求AH的長(zhǎng)度;(2)若M是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,使得平面AMB與平面PBC的夾角的余弦值為34?若存在,求CM的長(zhǎng)度;若不存在,說(shuō)明理由解(1)如圖,作PE⊥AC,交AC于點(diǎn)E,連接EH.因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC上的射影H落在AB上,所以PH⊥平面ABC.又AC?平面ABC,所以PH⊥AC.又PH∩PE=P,PH,PE?平面PHE,所以AC⊥平面PHE.又EH?平面PHE,所以AC⊥EH,由題可知AP=2,PC=4,所以AC=25,所以PE=AP·PCAC=455,所以AE=AP2所以AH=AE·ACAB(2)存在.因?yàn)镻H⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以PH,AB,BC兩兩垂直.以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)H且平行于BC的直線為y軸,分別以HB,PH所在直線為x軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(-1,0,0),P(0,0,3),B(3,0,0),C(3,2,0),所以AB=(4,0,0),BC=(0,2,0),PC=(3,2,-3).設(shè)PM=λPC=(3λ,2λ,-3λ),λ∈[0,1],則MB=PB-PM=(3-3λ,-2λ設(shè)平面AMB的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),所以AB令y1=3λ-3,則x1=0,z1=2λ,所以平面AMB的一個(gè)法向量為m=(0,3λ-3,2λ設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),所以PC取x2=1,則y2=0,z2=3,所以平面PBC的一個(gè)法向量為n=(1,0,3).因?yàn)槠矫鍭MB與平面PBC的夾角的余弦值為34,所以cos<m,n>=m·n|m||n|=23λ27λ2-6λ+3=-核心素養(yǎng)創(chuàng)新練6.(15分)(2024陜西西安一模)如圖,在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,BC=2,AB=5,E,F分別為PC,PB的中點(diǎn),平面AEF與平面ABC的交線為l.(1)證明:l∥平面PBC;(2)若三棱錐P-ABC的體積為36,在直線l上是否存在點(diǎn)Q,使得直線PQ與平面AEF所成的角為α,異面直線PQ與EF所成的角為β,且滿足α+β=π2?若存在,求出線段AQ(1)證明因?yàn)镋,F分別為PC,PB的中點(diǎn),所以EF∥BC.又BC?平面ABC,EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.又EF?平面AEF,平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,所以l∥BC.又BC?平面PBC,l?平面PBC,所以l∥平面PBC.(2)解存在.取AC的中點(diǎn)D,連接PD.因?yàn)椤鱌AC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以AD=12,PD=由題可得AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,所以△ABC的面積為12AC·BC=12×1×2設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,則13×h=36,所以所以PD⊥平面ABC.取AB的中點(diǎn)M,連接DM,則DM∥BC,所以DM⊥AC.又AC,DM?平面ABC,所以PD,AC,DM兩兩垂直.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DM,DP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A12,0,0,P0,0,32,E-14,0,34,F-14,1,34,所以AE=-34,0,34,EF=(0,1,0).設(shè)Q12,t,0,則AQ=(0,t,0),PQ=12,t,-32.設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則AE取z=3,則x=1,y=0,所以平面AEF的一個(gè)法向量為n=(1,0,3),所以cos<n,PQ>=n·PQ|所以sinα=|cos<PQ,n>|=1又cos<PQ,EF>=所以cosβ=|cos<PQ,EF因?yàn)棣?β=π2,所以sinα=cosβ,即121+t當(dāng)t=12時(shí),AQ=0,12,0,所以AQ=|AQ|=12當(dāng)t=-12時(shí),AQ=0,-12,0,所以AQ=|AQ|=1綜上所述,這樣的點(diǎn)Q存在,且有AQ=1專(zhuān)題突破練(分值:102分)學(xué)生用書(shū)P185主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練1.(2023北京,5)(2x-1x)A.-80 B.-40 C.40 D.80答案D解析(2x-1x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C5k(2x)5-k-1xk=(-1)k,25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展開(kāi)式中含2.(2024山東聊城模擬)三名男同學(xué)和兩名女同學(xué)隨機(jī)站成一列,則兩名女同學(xué)相鄰的概率是()A.16 B.25 C答案B解析五名同學(xué)排成一列的排法有A55=120(種),其中兩名女同學(xué)相鄰的排法有A22A44=48(3.(2024廣東湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,則a0+∑i=29ai=A.-2 B.-19 C.15 D.17答案D解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.(1-2x)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C9k(-2x)k=(-1)kC9k2kxk(k=0,1,…,9),所以a1=(-1)1×C91×2=-18,所以a0+∑i=29ai=-14.(2024遼寧沈陽(yáng)二模)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化,每一“重卦”由6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,記事件A=“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3個(gè)陽(yáng)爻”,則P(B|A)=()A.516 B.1132 C答案C解析P(A)=26-126=6364,事件AB=“取出的重卦中有3陽(yáng)3陰或4陽(yáng)2陰或5陽(yáng)1陰”,則P(AB)=C63+5.有5名志愿者參加社區(qū)服務(wù),共服務(wù)星期六、星期日兩天,每天從中任選2人參加服務(wù),則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A.120 B.60 C.40 D.30答案B解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加社區(qū)服務(wù),有5種安排方法,再在星期六、星期日,每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加社區(qū)服務(wù),有4×3=12(種)安排方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5×12=60(種).(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六參加社區(qū)服務(wù),有C52=10(種)安排方法.再?gòu)男瞧诹鶇⒓由鐓^(qū)服務(wù)的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加社區(qū)服務(wù),有2×3=6(種)安排方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有10×6=60(種(方法三)從5名志愿者中,在星期六、星期日兩天各安排2名參加社區(qū)服務(wù),有C52×C52=100(種)安排方法,星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30(種),全相同的安排方法有C52=10(種),所以恰有16.(多選題)(2024河北衡水模擬)對(duì)于(x-1A.常數(shù)項(xiàng)是15B.各項(xiàng)系數(shù)的和是64C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和是32答案ACD解析x-12x6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C6k·(x)6-k(-12x)k=C6令x=1,得1-126=164,所以各項(xiàng)系數(shù)的和是164,故第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故C正確;奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為12×26=32,故D故選ACD.7.(多選題)某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課,且該天上午總共4節(jié)課,下列結(jié)論正確的是()A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié),則有18種不同的安排方法B.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰,且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面,則有6種不同的安排方法C.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰,則有12種不同的安排方法D.若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法答案ABC解析對(duì)于A,先安排數(shù)學(xué)課,有3種排法,再安排其他3節(jié)課,有A33種排法,故總共有3A33=18(種)排法,故A正確;對(duì)于B,采用捆綁法,有A33=6(種)排法,故B正確;對(duì)于C,先排英語(yǔ)課和物理課,有A22種排法,再采用插空法排語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課,有A32種排法,故總共有A22A32=12(種)排法,故C正確;對(duì)于D,4節(jié)課共有A44種排法,語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課的排列順序共有A8.(5分)(2024甘肅定西一模)已知某廠甲、乙兩車(chē)間生產(chǎn)同一批衣架,且甲、乙兩車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的60%,40%,甲、乙車(chē)間的優(yōu)品率分別為95%,90%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,則取到優(yōu)品的概率為.(用百分?jǐn)?shù)表示)

答案93%解析從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,設(shè)A1=“取到的產(chǎn)品由甲車(chē)間生產(chǎn)”,A2=“取到的產(chǎn)品由乙車(chē)間生產(chǎn)”,B=“取到的產(chǎn)品為優(yōu)品”.由題可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課,學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課,并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén),則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

答案64解析(方法一直接法)若選2門(mén)課,只需體育類(lèi)和藝術(shù)類(lèi)各選1門(mén),有C41×C4若選3門(mén)課,則需體育類(lèi)選1門(mén)、藝術(shù)類(lèi)選2門(mén),或體育類(lèi)選2門(mén)、藝術(shù)類(lèi)選1門(mén),有C41×C42+C42×C4(方法二間接法)由題意可知,從8門(mén)課中選擇2門(mén)或者3門(mén)共有C82+C83=84(種)不同的選課方案,只選擇體育類(lèi)或藝術(shù)類(lèi)的選課方案有C21C42+C2關(guān)鍵能力提升練10.(2024山東臨沂一模)將1到30這30個(gè)正整數(shù)分成甲、乙兩組,每組各15個(gè)數(shù),使得甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2,則不同的分組方法數(shù)是()A.2(C137C.2C146C答案B解析因?yàn)榧捉M、乙組均為15個(gè)數(shù),所以其中位數(shù)也均為從小到大排列的第8個(gè)數(shù),即各組小于中位數(shù)的有7個(gè)數(shù),大于中位數(shù)的也有7個(gè)數(shù).因?yàn)榧捉M的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2,所以甲組的中位數(shù)和乙組的中位數(shù)中間有1個(gè)數(shù),所以小于甲組的中位數(shù)的數(shù)至少有7×2-1=13(個(gè)),至多有7×2=14(個(gè)),所以甲組的中位數(shù)為14或15.若甲組的中位數(shù)為14,則乙組的中位數(shù)為16,15一定在乙組,此時(shí)從1~13中選7個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的6個(gè)數(shù)放到乙組,再?gòu)?7~30中選7個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的7個(gè)數(shù)放到乙組,此時(shí)有C137若甲組的中位數(shù)為15,則乙組的中位數(shù)為17,16一定在甲組,此時(shí)從1~14中選7個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的7個(gè)數(shù)放到乙組,再?gòu)?8~30中選6個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的7個(gè)數(shù)放到乙組,此時(shí)有C147綜上可得不同的分組方法數(shù)是C137C147+11.(多選題)(2024廣東廣州一模)甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別),先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱,分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球,則()A.P(A1)=35B.P(B)=11C.P(B|A1)=950D.P(A2|B)=2答案ABD解析依題意可得P(A1)=35,P(A2)=若從甲箱中取出紅球,則乙箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,所以P(B|A1)=C3若從甲箱中取出白球,則乙箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球,所以P(B|A2)=C22C52=110,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=P(A2|B)=P(A2B)故選ABD.12.(2024山東濟(jì)南一模)某公司現(xiàn)有員工120人,在榮獲“優(yōu)秀員工”稱(chēng)號(hào)的85人中,有75人是高級(jí)工程師,既沒(méi)有榮獲“優(yōu)秀員工”稱(chēng)號(hào)又不是高級(jí)工程師的員工共有14人,公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪,被選中的員工是高級(jí)工程師的概率為()A.38 B.1724 C答案C解析由題意得,試驗(yàn)的樣本空間Ω的樣本點(diǎn)總數(shù)為120,即n(Ω)=120.每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的,所以這是一個(gè)古典概型.設(shè)事件A=“被選中的員工是高級(jí)工程師”,則n(A)=120+75-85-14=96,所以所求概率為P=n(A)13.(多選題)(2024山東日照一模)從標(biāo)有1,2,3,…,8的8張卡片中有放回地抽取兩次,每次抽取一張,依次得到數(shù)字a,b,記點(diǎn)A(a,b),B(1,-1),O(0,0),則()A.∠AOB是銳角的概率為7B.∠ABO是直角的概率為1C.△AOB是銳角三角形的概率為7D.△AOB的面積不大于5的概率為43答案ACD解析由題可知點(diǎn)A位于第一象限.用圖表表示點(diǎn)A的坐標(biāo),如圖.ab123456781(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)8(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)(8,8)可以得到,試驗(yàn)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n(Ω)=C81C81=對(duì)于A,如圖,設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)O,且與OB垂直,因?yàn)閗OB=-1,所以l:y=x,所以當(dāng)a<b時(shí),∠AOB是銳角.設(shè)A=“∠AOB是銳角”,則n(A)=28,所以P(A)=n(A)n(對(duì)于B,如圖,設(shè)直線m過(guò)點(diǎn)B,且與OB垂直,所以l:y+1=x-1,即l:y=x-2,所以當(dāng)b=a-2時(shí),∠ABO是直角.設(shè)B=“∠ABO是直角”,則n(B)=6,所以P(B)=n(B)n(對(duì)于C,如圖,若△AOB為銳角三角形,則點(diǎn)A位于直線l和m之間,由題易知點(diǎn)A位于直線y=x-1上,所以當(dāng)b=a-1時(shí),△AOB為銳角三角形.設(shè)C=“△AOB為銳角三角形”,則n(C)=7,所以P(C)=n(C)n(對(duì)于D,如圖,|OB|=2,直線OB:y=-x,即x+y=0.設(shè)直線n:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直線OB與直線n的距離為d,則d=|c若△AOB的面積為5,則12|OB|d=5,即22·22c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以當(dāng)b≤-a+10,即a+b≤10時(shí),設(shè)D=“△AOB的面積不大于5”,則n(D)=43,所以P(D)=n(D)n(Ω)=14.(多選題)(2024山東濟(jì)南一模)下列等式中正確的是()A.∑k=18C8C.∑k=28k-1答案BCD解析對(duì)于A,因?yàn)?1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8,令x=1,得28=1+C81+C82+…+C對(duì)于B,因?yàn)镃n2+Cn3=Cn+13,所以∑k=28Ck2=C22對(duì)于C,因?yàn)?(所以∑k=28k-1k!=∑k=281(k對(duì)于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,對(duì)于(1+x)16的展開(kāi)式,其含有x8的項(xiàng)的系數(shù)為C168,對(duì)于(1+x)8(1+x)8的展開(kāi)式,要得到含有x8的項(xiàng)的系數(shù),須從第一個(gè)式子的展開(kāi)式中取出含xk(k=0,1,…,8)的項(xiàng),再?gòu)牡诙€(gè)式子的展開(kāi)式中取出含x8-k的項(xiàng),它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)相乘后求和,得∑k=08C8kC815.(5分)(2024廣東佛山模擬)已知a=1+C2012+C20222+C20323+…+C20答案1解析a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1001010-C101109+…+C108102-C10910+C1010=故a除以10所得的余數(shù)為1.16.(5分)(2024河北邢臺(tái)模擬)將1,2,3,…,9這9個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中(要求每個(gè)數(shù)都要填入,每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)),記第1行中最大的數(shù)為a,第2行中最大的數(shù)為b,第3行中最大的數(shù)為c,則a<b<c的填法共有種.

答案60480解析由題可知,c=9,c可選的位置有3個(gè),第3行其余2個(gè)位置任取2個(gè)數(shù),共有C31A82種情況;第2行,取剩下6個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為b,可選的位置有3個(gè),其余2個(gè)位置任取2個(gè)數(shù),共有C31A52種情況;第1行,剩下3個(gè)數(shù)任意排列,則有A33核心素養(yǎng)創(chuàng)新練17.(17分)(2024江蘇蘇州模擬)在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中,主持人從編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè),放入一件獎(jiǎng)品,再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè),若獎(jiǎng)品在此箱子里,則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱,在打開(kāi)2號(hào)箱之前,主持人先打開(kāi)了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則,主持人將隨機(jī)打開(kāi)甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.(1)計(jì)算主持人打開(kāi)4號(hào)箱的概率;(2)當(dāng)主持人打開(kāi)4號(hào)箱后,現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì),請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)箱,還是改選1號(hào)或3號(hào)箱?(以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù))解(1)設(shè)Ai=“i號(hào)箱里有獎(jiǎng)品”(i=1,2,3,4),B=“主持人打開(kāi)4號(hào)箱”,則Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4兩兩互斥.由題意可知,P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=14,P(B|A1)=12,P(B|A2)=13,P(B|A3)=12,P(B|A4)=0.由全概率公式,得P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)(2)在主持人打開(kāi)4號(hào)箱的條件下,1號(hào)箱、2號(hào)箱、3號(hào)箱里有獎(jiǎng)品的條件概率分別為P(A1|B)=P(P(A2|B)=P(P(A3|B)=P(所以甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.專(zhuān)題突破練(分值:58分)學(xué)生用書(shū)P187主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練1.(多選題)某學(xué)校共有2000名男生,為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況,學(xué)校抽查了其中100名男生的體重情況.根據(jù)所得樣本數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示,則()A.樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值為67.5B.樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)的估計(jì)值為72.5C.樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為66D.該校男生中低于60kg的人數(shù)大約為300答案ABD解析對(duì)于A,在頻率分布直方圖中,體重在區(qū)間[65,70)內(nèi)的學(xué)生最多,所以樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值為67.5,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)?0.03+0.05+0.06)×5=0.7,0.7+0.04×5=0.9,所以80%分位數(shù)落在區(qū)間[70,75)內(nèi).設(shè)80%分位數(shù)為x,則0.7+0.04(x-70)=0.8,解得x=72.5,所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)的估計(jì)值為72.5,故B正確;對(duì)于C,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為5×57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02=66.75,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,被抽到的100名男生中體重低于60kg的頻率為0.03×5=0.15,故可估計(jì)該校男生體重低于60kg的概率為0.15,所以該校男生中低于60kg的人數(shù)大約為2000×0.15=300,故D正確.故選ABD.2.(多選題)(2024甘肅隴南一模)某廠近幾年陸續(xù)購(gòu)買(mǎi)了幾臺(tái)A型機(jī)床,該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間x(單位:年)與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用y(單位:萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料:x/年23456y/萬(wàn)元2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=1.23x+a^,則(A.a^=0B.y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r>0C.表中維修費(fèi)用的第60百分位數(shù)為6D.該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間為10年時(shí),當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用一定是12.38萬(wàn)元答案ABC解析根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得x=4,y=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5,所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(4,5).將(4,5)代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=由表中數(shù)據(jù)可得y隨著x增大而增大,x與y正相關(guān),所以相關(guān)系數(shù)r>0,故B正確;維修費(fèi)用從小到大依次為2.2,3.8,5.5,6.5,7,因?yàn)?×60%=3,所以第60百分位數(shù)為5.5+6.52故選ABC.3.(多選題)(2024山東德州模擬)進(jìn)入冬季,哈爾濱旅游火爆全網(wǎng),下圖是一周內(nèi)哈爾濱冰雪大世界和中央大街日旅游人數(shù)的折線圖,則()A.中央大街日旅游人數(shù)的極差是1.2萬(wàn)B.冰雪大世界日旅游人數(shù)的中位數(shù)是2.3萬(wàn)C.冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)比中央大街大D.冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街大答案BC解析中央大街日旅游人數(shù)的最大值為2.8萬(wàn),最小值為0.9萬(wàn),所以極差為1.9萬(wàn),故A錯(cuò)誤;冰雪大世界日旅游人數(shù)由小到大依次為1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位數(shù)為2.3,故B正確;冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均值為1.7+1.中央大街日旅游人數(shù)的平均值為2.8+2.8+2.4+2.7+1.1+0.冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差為1.72+1.82+1.92+2.32+2中央大街日旅游人數(shù)的方差為2.82+2.82+2.故冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街小,故D錯(cuò)誤.故選BC.4.(17分)(2023全國(guó)乙,理17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn),每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下:試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高如果z≥2s210,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,∴z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,∴s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64(2)∵2s210=26.1<11,∴可判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.關(guān)鍵能力提升練5.(多選題)(2024廣東汕頭一模)某次考試后,為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī),整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析學(xué)生的成績(jī)分布情況,計(jì)算得到這100名學(xué)生中,成績(jī)位于[80,90)內(nèi)的學(xué)生成績(jī)的方差為12